新教材2023高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质及线面面面间的距离分层演练新人教A版必修第二册

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8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面垂直的性质及线面、面面间的距离
A级　基础巩固
1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
(　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
解析:由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们相互平行.
答案:B
2.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,若C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系不正确的是 (　　)

A.PA⊥BCB.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PBD.PC⊥BC
解析:由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,A项不符合题意;因为AB为圆的直径,所以BC⊥AC,且AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,B、D项均不符合题意.故选C.
答案:C
3.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=(　　)
A.2 B.1 C. D.
解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.如图所示,连接OD,则=. 因为OA=AB,所以=. 因为AC=1,所以BD=2.

答案:A
4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是菱形.
解析:易知BD⊥平面PAC.所以BD⊥AC.因为四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD一定是菱形.
5.已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点.
求证:DE⊥PE.
证明:如图,连接AE.

在矩形ABCD中,由AD=4,AB=2,E为BC的中点,
可得AE=ED=2,所以AD2=AE2+DE2,所以AE⊥DE.
因为PA⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,所以PA⊥DE.
因为PA∩AE=A,PA⊂平面PAE,AE⊂平面PAE,
所以DE⊥平面PAE.
因为PE⊂平面PAE,所以DE⊥PE.
B级　能力提升
6.若l,m,n表示三条互不重合的直线,α表示平面,则下列说法中正确的个数为 (　　)
①l∥m,m∥n,l⊥α⇒n⊥α;②l∥m,m⊥α,n⊥α⇒l∥n;③m⊥α,n⊂α⇒m⊥n.
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:①正确,因为l∥m,m∥n,所以l∥n.因为l⊥α,所以n⊥α;②正确,因为l∥m,m⊥α,所以l⊥α.因为n⊥α,所以l∥n;③正确,由线面垂直的定义可知其正确.
答案:C
7.地面上有两根相距a m的旗杆,若它们的高分别是 b m和 c m
(b>c),则它们上端的距离为 m.
解析:由线面垂直的性质定理可知,两根旗杆所在直线互相平行.如图所示,它们上端的距离d=(m).

8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,平面AB1D1到平面BC1D的距离为.
解析:由题意可知,
原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h.
由题意可得△AB1D1为等边三角形,各边长度均为2.
由等体积法可得,=,
即h×××22×sin60°=××××,解得h=,
即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.
9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,直线l⊥平面PCD,且直线l不经过点E.求证:
l∥AE.

证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.
因为四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD.
因为PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.因为AE⊂平面PAD,所以AE⊥CD.
因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
因为直线l⊥平面PCD,且直线l不经过点E,
所以l∥AE.

C级　挑战创新
10.开放性问题如图所示,直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α),从点P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于直升机玻璃窗所在的平面β.试探讨平面β与平面α的位置关系.

解:平面β与平面α必相交.
假设平面α与平面β平行.因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β.
因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB,与已知PA∩PB=P矛盾,
所以平面β必与平面α相交.