新教材2023高中数学第八章立体几何初步章末复习课新人教A版必修第二册 试卷

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第八章 立体几何初步
章末复习课




要点训练一　空间几何体的结构特征
1.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,先变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,再依据题意判定.
2.通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
1.设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相等的直四棱柱是正方体;③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:底面是矩形的直平行六面体是长方体,①错误;棱长都相等的直四棱柱是正方体,②正确;侧棱垂直于底面两条相邻边的平行六面体是直平行六面体,③错误;任意侧面上两条对角线相等的平行六面体是直平行六面体,④错误.故命题正确的个数是1.
答案:A
2.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 (　　)
A.1个B.2个 C.3个 D.4个
解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,取四棱锥A1-ABCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.

答案:D
要点训练二　空间几何体的表面积与体积
1.空间几何体表面积的求法:
(1)解决以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题,应注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略:
(1)若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,再根据条件求解.　　　　　　　　　　　
1.已知一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为12.
解析:由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.设该六棱锥的高为h,则×6××22×h=2,解得h=1.由题意,得底面正六边形的中心到其边的距离为,所以侧面等腰三角形底边上的高为=2,所以该六棱锥的侧面积为6××2×2=12.
2.如图所示,三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA,OB,OC两两垂直,三个侧面OAB,OAC,OBC的面积分别为1.5 cm2,1 cm2,3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.

解:设OA,OB,OC的长依次为x cm,y cm,z cm,
由已知可得xy=1.5,xz=1,yz=3,解得x=1,y=3,z=2. 将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以△OAB为底面,易知OC为三棱锥C-OAB的高.故V三棱锥O-ABC=VC-OAB=S△OAB·OC=×1.5×2=1(cm3).
3.如图所示,已知三棱柱ABC-A'B'C',侧面B'BCC'的面积是S,点A'到侧面B'BCC'的距离是a,求三棱柱ABC-A'B'C'的体积.

解:连接A'B,A'C,如图所示,

这样就把三棱柱ABC-A'B'C'分割成了两个棱锥,即三棱锥A'-ABC和四棱锥A'-BCC'B'.
设所求体积为V,显然三棱锥A'-ABC的体积是V.
而四棱锥A'-BCC'B'的体积为Sa,
故有V+Sa=V,所以V=Sa.
要点训练三　与球有关的切、接问题
与球相关问题的解题策略:
(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体,则截面一要过球心, 二要过长方体或正方体的两条体对角线,才有利于解题.
(2)对于“内切”和“外接”等问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间的关系,然后把相关的元素放到这些关系中来解决.　　　　　　　　　　　　
1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为 (　　)
A.π B.π C.π D.16π
解析:如图所示,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF.

由球的性质可知△PAF为直角三角形,且AE⊥PF.
因为该棱锥的高为6,底面边长为4,所以AE=2,PE=6,所以侧棱长PA====2. 设球的半径为R,则PF=2R. 由△PAE∽△PFA,得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=,所以S=4πR2=4π×()2=.
答案:B
2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是π,那么这个正三棱柱的体积是 (　　)
A.96 B.16 C.24 D.48
解析:由球的体积公式可求得球的半径R=2. 设球的外切正三棱柱的底面边长为a,高即侧棱长,为h,则h=2R=4. 在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,得×=R=2,解得a=4. 故这个正三棱柱的体积V=××(4)2×4=48.
答案:D
要点训练四　空间中的平行关系
1.平行问题的转化关系:

2.直线与平面平行的主要判定方法:
(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法:
(1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.　　　　　　　　　　
1.如图所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N分别为BB',A'C'的中点.求证:MN∥平面ABC'.

证明:取B'C'的中点P,连接MP,NP(图略),则MP∥BC',NP∥A'B'.
因为A'B'∥AB,所以NP∥AB.
因为AB⊂平面ABC',NP⊄平面ABC',所以NP∥平面ABC'.
同理MP∥平面ABC'.
因为NP∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.
因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平面ABC'.
2.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,过点M作MH⊥AB于点H.求证:平面MNH∥平面BCE.

证明:因为正方形ABCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,所以MH∥BC.
因为BF=AC,AM=FN,所以=.
因为MH∥BC,所以=,
所以=,所以NH∥AF∥BE.
因为MH⊂平面MNH,NH⊂平面MNH,MH∩NH=H,BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,
所以平面MNH∥平面BCE.
要点训练五　空间中的垂直关系
1.空间中垂直关系的相互转化.

2.判定线线垂直的方法:
(1)平面几何中证明线线垂直的方法.
(2)线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;a⊥α,b∥α⇒a⊥b.
3.判定线面垂直的常用方法:
(1)利用线面垂直的判定定理.
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直”.
(4)利用面面垂直的性质.
4.判定面面垂直的方法:
(1)利用定义:两个垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.　　　　　　　　　
1.如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.求证:平面COD⊥平面AOB.

证明:由题意,得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.
因为二面角B-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.
因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.
因为CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.
2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=
CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.

(1)证明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD.因为AC∩PA=A,AC⊂平面APC,PA⊂平面APC,所以BD⊥平面APC.
(2)解:连接OG,如图所示.

因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD,所以PC⊥OG.
在△ABC中,由余弦定理,
得AC==2.
在Rt△PAC中,得PC===.
所以由△GOC∽△APC可得GC==.
从而PG=,所以=.
要点训练六　空间角的求解方法
1.找异面直线所成角的三种方法:
(1)利用图中已有的平行线平移.
(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.
(3)补形平移.
2.线面角.
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.
3.求二面角的两种常用方法:
(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
1.如图所示,在三棱锥 P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,D,E分别是BC,AB的中点,AC>AD,设PC与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P-BC-A的平面角为γ,则α,β,γ的大小关系是αAD,所以AC>AD>AH,所以