高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时达标测试

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4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第2课时 等差数列的性质及其应用
A级　基础巩固
1.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*),若a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4= (　　)
A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9
解析:因为2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*),所以数列{an}是等差数列.
由等差数列性质,得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3+a4=3+4=7.
答案:B
2.多选题下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题,其中的真命题为 (　　)
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递增数列
D.数列是递增数列
解析:d>0,an+1-an=d>0 ,所以{an}是递增数列,故A正确;
nan=n[a1+(n-1)d]=dn2+(a1-d)n=d2-2d,当n≤时,数列{nan}不是递增数列,故B不正确;
=d+,当a1-d≥0时,不是递增数列,故C不正确;
an+3nd=4nd+a1-d,因为d>0,所以{an+3nd}是递增数列,故D正确.
答案:AD
3.将给定的9个数排成如图所示的数表,若每行的3个数按从左至右的顺序构成等差数列,每列的 3个数按从上到下的顺序也构成等差数列,且 a22=2,则表中所有数之和为 (　　)


A.2 B.18 C.20 D.512
解析:因为每行的3个数按从左至右的顺序构成等差数列,所以a11+a12+a13=3a12,a21+a22+a23=3a22,a31+a32+a33=3a32.因为每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列,所以a12+a22+a32=3a22,所以表中所有数之和为9a22=9×2=18.
答案:B
4.已知数列{an}为等差数列,若a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为-.
解析:由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=,
所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.
5.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为 1或2.
解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2.
6.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=21,a1a2a3=231.
(1)求该数列中a2的值;
(2)求该数列的通项公式an.
解:(1)由等差数列的性质,得a1+a2+a3=3a2=21,所以a2=7.
(2)设等差数列{an}的公差为d,
则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=7(7-d)(7+d)=7(49-d2)=231,解得d=±4.
当d=4时,an=a2+(n-2)d=4n-1,当d=-4时,an=a2+(n-2)d=-4n+15.
B级　拓展提高
7.我国古代有一道数学问题:今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,中间三尺重几何?意思是:现有一根金锤,长5尺,头部1尺,质量为4斤,尾部1尺,质量为2斤,且从头到尾,每一尺的质量构成等差数列(注:尺、斤为我国古代计量单位,1米=3尺,1千克=2斤),则中间三尺的质量一共为(　　)
A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤
解析:原问题等价于等差数列中,已知a1=4,a5=2,求a2+a3+a4的值.
由等差数列的性质,可知a2+a4=a1+a5=6,a3==3,所以a2+a3+a4=9,即中间三尺的质量一共为9斤.
答案:D
8.多选题已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 (　　)
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
解析:设等差数列{an}的公差为d,易知 d>0,因为等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
所以a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,
所以a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误.
又a51=a1+50d=0,所以a1=-50d.
所以a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.
答案:BD
9.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=18.
解析:因为a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=.
因为a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,所以a9=7,
所以公差d=(a9-a7)=,所以ak-a9=(k-9)d=(k-9)=6,解得k=18.
10.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
所以解得或
所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
11.设Tn为数列{an}的前n项的积,即Tn=a1·a2·…·an.
(1)若Tn=n2,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足Tn=(1-an)(n∈N*),证明数列为等差数列,并求{an}的通项公式.
解:(1)当n=1时,a1=T1=1.
当n≥2时,an==,n=1不符合此式.
所以an=
(2)当n=1时,a1=T1=(1-a1),所以a1=,
当n≥2时,2Tn=1-an=1-,
所以-=2,所以数列为等差数列,
所以=3+2(n-1)=2n+1,
所以Tn=,
所以an=1-2Tn=.
C级　挑战创新
12.多空题若关于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0(m>n)的四个根组成一个首项为的等差数列,则m=,n=.
解析:由题意,设原方程的四个根分别为,+d,+2d,+3d,则+++=2+2,解得d=,所以这四个根依次为,,,.又因为m>n,且要保证每组两数和为2,所以n=×=,m=×=.
13.多空题已知f(x)=x2-4x+2,若数列{an}是递减的等差数列,a1=f(a+1),a2=0,a3=f(a-1),则数列{an}的公差为-2,数列{an}的通项公式为an=4-2n.
解析:因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,所以f(a-1)+f(a+1)=0,即(a-1)2-4(a-1)+2+(a+1)2-4(a+1)+2=0,解得a=1或a=3.
又因为数列{an}是递减的等差数列,所以当a=1时,a1=f(2)=-2,公差为a2-a1=2,不符合题意,舍去.当a=3时,a1=2,公差为a2-a1=-2,所以数列{an}的通项公式为an=2-2(n-1)=4-2n.
14.多空题若数列{an},{bn}满足a1=1,且an+1,1+an是函数f(x)=x2-bnx+an的两个零点,则a2=.当bn>时,n的最大值为5.
解析:由已知可得
所以a2==,-=1,
所以是等差数列,
所以=+(n-2)×1=n,所以an=.
因为bn=an+1+an+1=++1>,
所以n2-5n-3<0,
解得