人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时测试题

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4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时 等差数列的前n项和的性质及其应用
A级　基础巩固
1.数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和,若S7=,则sin a4= (　　)
A.-　　　　　B.-C. D.
解析:因为S7=(a1+a7)=7a4=,
所以a4=,所以sin a4=sin=-sin=-.
答案:A
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S6=36,Sn=324,Sn-6=144(n>6),则n= (　　)
A.15 B.16C.17 D.18
解析:因为后6项的和等于Sn-Sn-6=324-144=180,
因此6(a1+an)=180+36,所以a1+an=36.
因为Sn=324,所以Sn=(a1+an)=324,
所以×36=324,所以n=18.
答案:D
3.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+= (　　)
A. B.C. D.
解析:因为=,
所以+=+=====.
答案:C
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m=10.
解析:因为{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am.
由am-1+am+1-=0,得2am-=0.
由S2m-1=38,知am≠0,所以am=2.
又因为S2m-1=38,即=38,则=38,所以(2m-1)×2=38,解得m=10.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=5.
解析:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,故d=1.
因为Sm=0,故ma1+d=0,即a1=-.
因为am+am+1=5,
所以am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=m=5.
6.已知等差数列{an}满足a4=7,a10=19,其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn==n2.
(2)bn===,所以数列{bn}的前n项和为Tn===.
B级　拓展提高
7.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若公差d=,且S100=145,则a2+a4+a6+…+a98+a100的值为 (　　)
A.70 B.75C.80 D.85
解析:设P=a1+a3+…+a99,Q=a2+a4+…+a100,
则解得
答案:D
8.已知等差数列{an}的项数为奇数,若奇数项的和为40,偶数项的和为32,则a5= (　　)
A.8 B.9C.10 D.11
解析:设等差数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,公差为d.
因为奇数项的和为40,偶数项的和为32,
所以40=a1+a3+…+a2k+1,32=a2+a4+…+a2k,
所以72==(2k+1)ak+1,8=a2k+1-kd=ak+1,
所以9=2k+1,即等差数列{an}共有9项,且S9==9a5=72,
所以a5=8.
答案:A
9.设等差数列{an}的公差不为0,其前n项和为Sn,若+(a2-1)=821,+(a820-1)=-821,则 S821=821.
解析:设f(x)=x3+x,
易知f(x)在R上为奇函数,且单调递增.
因为f(a2-1)=821,f(a820-1)=-821,
所以a2-1+a820-1=0,所以a1+a821=a2+a820=2,
所以S821==821.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2+x的图象上.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,不等式Tn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)因为点(n,Sn)在函数y=x2+x的图象上,
所以Sn=n2+n(n∈N*).①　　　
当n=1时,a1=S1=1.
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1), ②
①-②,得an=n.
当n=1时,a1=S1=1,符合an=n.
所以an=n(n∈N*).
(2)由(1),得==,
所以Tn=+++…+
=
=
=-.
因为Tn+1-Tn=>0,
所以数列{Tn}递增,
所以{Tn}中的最小项为T1=.
要使不等式Tn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要>loga(1-a),即loga(1-a) 故实数a的取值范围为.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+9n+2(n∈N*).
(1)判断数列{an}是否为等差数列.
(2)设Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求Rn.
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn,是否存在最小的正整数n0,使得不等式Tn<对一切正整数n总成立?如果存在,求出n0的最小值;如果不存在,说明理由.
解:(1)由题意,知数列{an}的前n项和Sn=-n2+9n+2(n∈N*),
当n=1时,a1=S1=10,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+9n+2-[-(n-1)2+9(n-1)+2]=-2n+10,当n=1时,不符合此式,
所以数列{an}的通项公式为an=
所以数列{an}不是等差数列.
(2)由(1)知,令an≥0,解得n≤5,
所以当1≤n≤5,n∈N*时,an≥0,当n≥6,n∈N*时,an<0.
①当n≤5时,Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+9n+2.
②当n≥6时,Rn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+…+an)=R5-=n2-9n+42.
综上,可得Rn=
(3)由(1),可得当n=1时,b1=,
当n≥2时,bn===,
Tn=b1+b2+b3+…+bn== ==-<,
要使得不等式Tn<对一切正整数n总成立,则≤,即n0≥24,
所以n0的最小值为24.
C级　挑战创新
12.多选题数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,,…,,,…,,…,则以下运算和结论正确的是 (　　)
A.a24=
B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等差数列
C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=
D.若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=
解析:以2到7为分母的项共有1+2+3+…+6=21(个),故a22=,a23=,a24=,故A项错误;
对于B项,设构造的新数列为{bn},则bn=++…+==为等差数列,故B项正确;
数列的前n项和为Tn=,故C项正确;
根据C项可知,T6==,即S21=>10,S20=-<10,此时a20=,故D项正确.
答案:BCD