新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末复习课新人教A版选择性必修第二册 试卷

这是一份新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末复习课新人教A版选择性必修第二册，共11页。
第五章 一元函数的导数及其应用
章末复习课

回顾本章学习过程,建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.


要点训练一　导数的定义及几何意义
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况:
(1)若已知点是切点,则在该点处的导数就是该点处的切线的斜率.
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
注意:曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如,曲线y=x3在点(1,1)处的切线l与曲线y=x3还有一个交点(-2,-8).
1.若=1,则f'(x0)=(　　) A. B.C.- D.-
解析:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化=就是函数y=f(x)在x=x0处的导数,其中关键的是Δy与Δx之间的对应关系,==-f'(x0)=1,所以f'(x0)=-.
答案:D
2.设函数f(x)在定义域内都存在导数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)
A.2 B.-1C.1 D.-2
解析:根据导数的定义可知==-1,即y'|x=1=-1,故由导数的几何意义可知y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为-1.
答案:B
3.(2022·新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
解析:因为y=(x+a)ex,所以y'=ex+(x+a)ex.
设切点的坐标为(x0,(x0+a)),则切线的斜率k=+(x0+a),所以切线方程为y-(x0+a)·=[+(x0+a)](x-x0).
又切线过原点,所以-(x0+a)=[+(x0+a)](-x0).整理,得+ax0-a=0.
因为存在两条切线,所以方程+ax0-a=0有两个不相等的实根.所以Δ=a2+4a>0,解得a0,即a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
4.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,则 的值是8.
解析:
=
=+,
由于f(3)=2,上式可化为-3=2-3×(-2)=8.
要点训练二　导数的计算
应用导数运算法则的注意点:
(1)准确理解、记忆导数的运算法则.导数的四个运算法则中除法的法则较为复杂,特别注意分子的连接符号是减号,容易错记为加号.
(2)先把函数解析式化简、变形再求导数.对于较为复杂的函数解析式,遵循先化简后求导的原则,化简为基本初等函数的基本运算后求导.
1.函数f(x)=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为(　　)
A.ab B.-a(a-b)C.0 D.a-b
解析:因为f(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab,所以f'(x)=2x-(a+b),
所以f'(a)=2a-(a+b)=a-b.
答案:D
2.设函数f(x)的导数为f'(x),且满足f(x)=+2xf'(1),则f'(1)-f'(-1)=(　　)
A.1 B.-1C.0 D.2
解析:由f(x)=+2xf'(1),得f'(x)=-+2f'(1),
则f'(1)=-1+2f'(1),解得f'(1)=1.
则f'(x)=-+2,
则f'(-1)=-1+2=1.
故f'(1)-f'(-1)=0.
答案:C
3.求下列函数的导数:
(1)y=xcos 2x;
(2)y=.
解:(1)y'=cos 2x-2xsin 2x.
(2)因为y==+x3+x-2sin x,
所以y'=()'+(x3)'+(x-2sin x)'=-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x.
要点训练三　导数与函数的单调性
求可导函数单调区间的一般规律:
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先).
(2)求导数f'(x).
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f'(x)>0或 f'(x)0,所以f(x)g(b)>f(b)g(x).
答案:C
2.多空题函数y=-x3+x2+5的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞).
解析:y'=-x2+2x,令y'>0,得00,f(x)单调递增.
当0时,若x∈(-∞,0),则f'(x)>0,f(x)单调递增;
若x∈(0,ln(2a)),则f'(x)0.
而f=2a[ln(2a)-1]-a[ln(2a)]2+2a=
2aln(2a)-a[ln(2a)]2=a[2-ln(2a)]ln(2a),
由于0,g(x)为增函数.
故函数g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)=4,
因此a的取值范围是a>4.
答案:D
3.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是a>2或a0,即36a2-36(a+2)>0,解得a>2或a0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
解:(1)f'(x)=-a(x>0).
①当a≤0时,f'(x)=-a>0,
即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f'(x)=-a=0,可得x=,
当0φ(0)=1>0,
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当k≥时,函数φ(x)=ex-2kx在区间(0,ln(2k))内单调递减,在区间(ln(2k),+∞)上单调递增,
于是f'(x)=φ(x)≥φ(ln(2k))=eln(2k)-2kln(2k).
由eln(2k)-2kln(2k)≥0,得2k-2kln(2k)≥0,
则≤k≤.
综上所述,k的取值范围是.
2.已知函数f(x)=ln x-,且f(x)0;
当x∈(3,9]时,y'