新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用质量评估新人教A版选择性必修第二册 试卷

这是一份新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用质量评估新人教A版选择性必修第二册，共9页。
第五章质量评估
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.下列求导正确的是(　　)
A.'=B.(ex-x2)'=ex-x2·(1+2x2)
C.(6cos x)'=6sin xD.(+ln x)'=
答案:D
2.设f(x)在x=x0处可导,则=(　　)
A.-f'(x0)B.f'(-x0)C.f'(x0)D.2f'(x0)
解析:=-=-f'(x0).
答案:A
3.曲线y=x在点(1,1)处的切线的斜率等于 (　　)
A.2e B.eC.2 D.1
解析:y'=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲线在点(1,1)处的切线的斜率为y'|x=1=2.
答案:C
4.函数f(x)=的大致图象是(　　)

解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B,D.
因为当x∈(0,+∞)时,f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=e,
所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)0的解集为(　　) A.(0,1) B.(1,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞)
解析:令F(x)=(x>0),则F'(x)=.因为f(x)>xf'(x),所以F'(x)0,得>,所以1.
答案:C
二、多项选择题:本题共4小题,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)的定义域为R,且导数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)的单调递增区间是(-2,0),(2,+∞)
B.函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞)
C.-2是函数f(x)的极小值点
D.2是函数f(x)的极小值点
解析:由题图可知,当x0,此时函数f(x)单调递增;当-22时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(x-a)
D.函数f(x)有且只有一个零点
解析:f(x)=x3-2x2-4x-7的导数为f'(x)=3x2-4x-4.
令f'(x)=0,解得x=-或x=2.
当f'(x)>0,即x2时,函数f(x)单调递增;
当f'(x)f(a)+f'(a)(x-a),即证明f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax>0在x>2,a>2,且x≠a时恒成立,
令g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a),
则g'(x)=3x2-4x-3a2+4a,
令h(x)=g'(x),h'(x)=6x-4.
因为当x>2时,h'(x)>0,所以g'(x)在区间(2,+∞)上单调递增.
又因为g'(a)=0,所以当20,
所以g(x)在区间(2,a)内单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.
因为x≠a,所以g(x)>g(a)=0恒成立,
所以恒有f(x)>f(a)+f'(a)·(x-a).
故选项C正确.
答案:BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
解析:y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=ex(3x2+9x+3),所以所给曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=e0×3=3,所以切线方程为y=3x.
14.已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导数,若f'(1)=3,则a的值为3.
15.设某工厂生产x件产品的成本(单位:元)为C=25 000+200x+x2,则当平均每件产品的成本最低时,x=1 000,此时平均最低成本为250元.(本题第一空2分,第二空3分) 
解析:设平均成本为y元,
则y==+200+(x>0),y'=+.
令y'=0,得x=1 000或x=-1 000(舍去).
当00,
故当x=1 000时,y取得最小值,最小值为250,即平均最低成本为250元.
16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是(-1,0].
解析:f'(x)=.由f'(x)>0,解得-10).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值为,求a的值.
解:函数f(x)的定义域为(0,2),f'(x)=-+a.
(1)当a=1时,f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=(负值舍去),
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2).
(2)当x∈(0,1]时,由a>0,得f'(x)=+a>0,
即函数f(x)在区间(0,1]上单调递增,故函数f(x)在区间(0,1]上的最大值为f(1)=a,因此a=.
19.(12分)某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果处理池的外周壁每米的建造价格为400元,中间两条隔墙每米的建造价格为248元,池底每平方米的建造价格为80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖),那么当污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.

解:设矩形污水处理池的长为x m,则宽为 m.
根据题意,得解得10≤x≤16,总造价f(x)=×400+×2×248+200×80=800x++16 000(10≤x≤16).
令f'(x)=800-=0,解得x=18(负值舍去).
当x∈(0,18)时,f'(x)0,函数f(x)为区间(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
则当x∈(0,a)时,f'(x)0,函数f(x)在区间(ln a,+∞)上单调递增.故f(x)min=f(lna)=a-aln a.
g(x)的定义域为(0,+∞).因为g(x)=ax-ln x,所以g'(x)=a-.
令g'(x)=0,解得x=.所以当00,函数g(x)在区间上单调递增.故g(x)min=g=1+ln a.
因为函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值,所以a-aln a=1+ln a.又a>0,所以a-aln a=1+ln a化为ln a-=0.
令h(x)=ln x-,x>0,则h'(x) =-=-=,又x>0,所以h'(x)=>0恒成立,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,h(a)=0,且a>0,所以a=1.
(2)证明:由(1)知a=1,函数f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=x-ln x在区间(0,1)内单凋递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
设u(x)=f(x)-g(x)=ex-2x+ln x(x>0),则u'(x)=ex-2+>ex-2.当x≥1时,u'(x)≥e-2>0,所以函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
因为u(1)=e-2>0,所以当x≥1时,u(x)≥u(1)>0恒成立,即f(x)-g(x)>0在x≥1时恒成立,所以x≥1时,f(x)>g(x).
因为f(0)=1,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,g(1)=1,函数g(x)在区间(0,1)内单调递减,所以函数f(x)与函数g(x)的图象在区间(0,1)内存在唯一交点,设该交点为M.此时可作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象,如图所示.

当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时,设这三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则由图象知,x1