人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理随堂练习题，共4页。试卷主要包含了的展开式中的常数项是，所以常数项为第9项，的展开式中倒数第3项为，9192被100除所得的余数为等内容，欢迎下载使用。
6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理
A级　基础巩固
1.在的展开式中,含x4的项的系数是(　　)
A.-10B.10C.-5D.5
解析:的展开式的通项为Tr+1=(x2)5-r·=
(-1)r··x10-3r.令10-3r=4,得r=2.所以含x4的项的系数是(-1)2×=10.
答案:B
2.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)
A.-840B.840C.210D.-210
解析:在通项Tk+1=(-y)kx10-k中,令k=4,得(x-y)10的展开式中x6y4的系数为×(-)4=840.
答案:B
3.的展开式中的常数项是(　　)
A.第7项B.第8项 C.第9项 D.第10项
解析:二项展开式的通项为Tk+1=·x12-k=·2k·.令12-k=0,得k=8.所以常数项为第9项.
答案:C
4.的展开式中倒数第3项为.
解析:由n=7,可知展开式中共有8项,
所以倒数第3项即为第6项,
所以T6=(2x)2·=×22×=.
5.在的展开式中,若常数项为60,则n的值为6.
解析:Tk+1=()n-k=2k.
令=0,得n=3k.
根据题意,得2k=60,经验证知k=2,故n=6.
6.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:
(1)n的值;
(2)展开式中x5的系数;
(3)含x的整数次幂的项的个数.
解:的展开式的通项为Tk+1=·=
(-1)k.
(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.
(2)由(1)知(x2-)10的展开式的通项为Tk+1=(-1)k()10-k.
令20-k=5,得k=6.
所以x5的系数为(-1)6×()4×=.
(3)要使20-k为整数,即为整数,只需k为偶数,
由于k=0,1,2,3,…,9,10,
故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
B级　拓展提高
7.9192被100除所得的余数为(　　)
A.1B.81C.-81D.992
解析:利用9192=(100-9)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式.
方法一(100-9)92=×10092-×10091×9+×10090×92--×
100×991+×992.
展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.而992=(10-1)92=×1092-×1091+…+×102-×10+1,
前91项均能被100整除,后两项的和为-919.因原式为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,
所以9192被100除所得的余数为81.
方法二(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+.
前91项均能被100整除,后两项的和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得的余数为81.
答案:B
8.(2022·上海卷)在(x3+)12的展开式中,含项的系数为66.
解析:展开式的通项公式为Tk+1=(x3)12-k()k=x36-4k,由36-
4k=-4,解得k=10,即T11=x-4=,即含项的系数为66.
9.多选题设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则满足=
2an-1an+1的正整数n的值可能为(　　)
A.1B.2C.3D.4
解析:(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)r=2rxr,r=0,1,2,3,4,5.所以a0=20=1,a1=21=10,a2=22=40,a3=23=80,a4=24=80,
a5=25=32.满足=2an-1an+1的有=2a1a3,=2a2a4,故选BC.
答案:BC
10.(2022·新高考全国Ⅰ卷)(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28(用数字作答).
解析:(x+y)8的通项公式为Tr+1=x8-ryr,
当r=6时,T7=x2y6,当r=5时,T6=x3y5,所以(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-=28-56=-28.
11.利用二项式定理证明:49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.
证明:49n+16n-1
=(48+1)n+16n-1
=·48n+·48n-1+…+·48++16n-1
=·48n+·48n-1+…+·48+16n,
48和16n都可以被16整除,所以·48n+·48n-1+…+·48+16n可以被16整除.
所以49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.
C级　挑战创新
12.多空题在的展开式中,第4项的二项式系数是84,第4项的系数是-.
解析:Tk+1=×(x2)9-k×=××x18-3k,当k=3时,T4=×
×x9=-x9,所以第4项的二项式系数为=84,第4项的系数为-.
13.多空题已知二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=80,a1+a3+a5=122.
解析:因为(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以a4=×24=80,
a1+a3+a5=×21+×23+×25=122.
14.多空题若f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的展开式中含x的项的系数是19,则f(x)的展开式中含x2的项的系数的最小值为81;当f(x)的展开式中含x2的项的系数取最小值时,f(x)的展开式中含x7的项的系数为156.
解析:由题意,知m+n=19,所以m=19-n.
含x2的项的系数为
+=+
=+
=n2-19n+171=+.
因为n∈N*,所以当n=9或n=10时,含x2的项的系数取最小值,最小值为+=81.
而此时含x7的项的系数为+=+=156.