新教材2023高中数学第六章计数原理章末复习课新人教A版选择性必修第三册 试卷

这是一份新教材2023高中数学第六章计数原理章末复习课新人教A版选择性必修第三册，共7页。
第六章 计数原理
章末复习课

回顾本章学习过程,建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.


要点训练一　两个计数原理
(1)应用分类加法计数原理时,应准确进行“分类”,明确分类的标准:每一种方法必属于某一类(不漏),任何不同类的两种方法是不同的方法(不重),每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”.
(2)应用分步乘法计数原理时,应准确理解“分步”的含义,完成这件事情,需要分成若干步骤,只有每个步骤都完成了,这件事情才能完成.
1.某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)
A.14　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.48
解析:分两类:第一类,甲企业有1人发言,有2种情况,另两位发言人来自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原理,得N1=2×6=12;
第二类,3人全来自其余4家企业,有4种情况.
综上可知,共有N=N1+N2=12+4=16种情况.
答案:B
2.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同站法的种数是336(用数字作答).
解析:正面考虑,问题较复杂,不易解决,则从反面考虑,即先不考虑“每级台阶最多站2人”的情况.因为甲、乙、丙3人站这7级台阶,每人都有7种不同的站法,因此共有73种不同的站法,而3人同站在一级台阶的站法有7种,是不符合题意的.所以满足条件的不同站法的种数是73-7=336.
要点训练二　排列与组合
将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列、组合应用题的关键一步.(1)正确分类或分步,恰当选择计数原理.(2)有限制条件的排列、组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.排列、组合讨论的问题的共同点是“元素不相同”,不同点是排列与顺序有关,组合与顺序无关.
1.自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展.某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为(　　)
A.72B.108C.180D.216
解析:根据题意,分析可得,必有2人参加同一社团,首先分析甲,甲不参加“围棋苑”,则有3种情况,再分析其他4人,若甲与另外1人参加同一个社团,则有=24种情况,若甲是1人参加一个社团,则有·=36种情况,则除甲外的4人有24+36=60种情况,故不同的参加方法的种数为3×60=180种,故选C.
答案:C
2.学校公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树,垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树,要求2棵银杏树必须相邻,则不同的种植方法共有240种.
解析:分两步完成:
第一步,将2棵银杏树看成一个元素,考虑其顺序,有种种植方法;
第二步,将银杏树与4棵桂花树全排列,有种种植方法.
由分步乘法计数原理,得不同的种植方法共有·=240种.
3.从2名女生和4名男生中选3人参加科技比赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有16种(用数字作答).
解析:方法一(直接法)当有1名女生和2名男生入选时,有×=12种选法;当有2名女生和1名男生入选时,有×=4种选法.所以共有12+4=16种选法.
方法二(间接法)没有女生入选时,有种选法,所以至少有1名女生入选的选法共有-=20-4=16种.
4.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成1 260个没有重复数字的四位数(用数字作答). 
解析:若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为××;若取的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为×××.综上所述,一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为××+×××=720+540=1 260.
要点训练三　二项式定理
对于二项式定理的考查常出现两类问题,一类是直接运用通项来求特定项.另一类,需要运用转化思想将问题转化为二项式定理来处理.从近几年高考命题趋势来看,本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主,难度不大,但不排除综合其他知识,具体归纳如下:
(1)考查通项问题.
(2)考查系数问题:
①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和;
②一般采用通项或赋值法解决.
(3)可转化为二项式定理解决问题.
1.(1+x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A.15B.20C.30D.35
解析:因为(1+x)6的通项为Tr+1=xr,所以(1+x)6的展开式中含x2的项为1·x2和·x4.因为+=2=2×=30,所以(1+x)6的展开式中x2的系数为30.
答案:C
2.已知的展开式中各项系数的和为625,则展开式中含x的项的系数为(　　)
A.216B.224C.240D.250
解析:令x=1,得展开式中各项系数的和为5n.因为展开式中各项系数的和为625,所以5n=625,所以n=4,所以的展开式的通项为Tr+1=×(2x)4-r×=3r×24-r××.
令4-=1,解得r=2.所以展开式中含x的项的系数为9×4×=216,故选A.
答案:A
3.的展开式中的常数项是7.
解析:的展开式的通项为Tr+1=()8-r=
.
令=0,解得r=2.所以常数项是=7.
4.多空题在(+x)9的展开式中,常数项是16,系数为有理数的项的个数是5.
解析:(+x)9的展开式的通项为Tr+1=()9-r·xr=xr.令r=0,得常数项是T1=16.当r=1,3,5,7,9时,系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数是5.
要点训练四　利用树状图解决排列问题或组合问题
画树状图是解决排列问题或组合问题的一种行之有效的方法,它能直观地把各种情况不重复、不遗漏地表示出来,在解题中常会收到意想不到的效果.
1.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有(　　)

A.8种B.10种C.12种D.32种
解析:从A到B最短路径需经过3条横线段,2条纵线段.每种走法都是从5条线段选出3条横线段.故共有=10种走法.
答案:B
2.如图,一块地分为5个区域,现给各区域着色,要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法有72种(用数字作答).

解析:结合分步乘法计数原理画出树状图如下.(k1,k2,k3,k4代表4种不同的颜色)

由此得出着色方法共有4×18=72(种).
3.把9个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个箱子中,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法有多少种?
解:由题意可知,在编号为1的箱子中放球的个数应该为1个,2个,3个,4个,四种情形(不小于编号1,且余下球至少要5个).依此类推得树状图如图所示.

由此可知放法N=4+3+2+1=10(种).
要点训练五　转化思想
转化思想是解决数学问题的重要思想,数学解题的本质就是转化,把生疏问题转化为熟悉问题、把抽象问题转化为具体问题、把复杂问题转化为简单问题、把一般问题转化为特殊问题、把高次问题转化为低次问题等.转化思想包含了数学特有的数、式、形的相互转换.
1.(2020·全国Ⅰ卷)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为
(　　)
A.5B.10C.15D.20
解析:因为(x+y)5=,所以要求展开式中x3y3的系数即为求(x2+y2)(x+y)5的展开式中x4y3的系数.因为(x2+y2)(x+y)5展开式含x4y3的项为x2·x2·y3+y2·x4·y=15x4y3.所以(x+y)5的展开式中x3y3的系数为15.故选C.
答案:C
2.已知(1+λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同,(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=242,则的展开式中的常数项为(　　)
A.32B.24C.4D.8
解析:因为(1+λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同,所以=,求得n=5.
令x=0,则a0=1;
令x=1,则a0+a1+a2+…+an=(1+λ)5=242+1=243,
即(1+λ)5=243,解得λ=2.
所以的展开式的通项为Tr+1=2rx4-2r.
令4-2r=0,解得r=2.
所以的展开式中的常数项为×22=24.
故选B.
答案:B
3.已知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a,b∈A,则|a|