高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列第2课时一课一练

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7.2 离散型随机变量及其分布列 第2课时 两点分布及随机变量分布列的应用
A级　基础巩固
1.若随机变量X的分布列如下表所示,则a2+b2的最小值为(　　)
X
0
1
2
3
P

a

b
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析:由分布列的性质,得+a++b=1,解得a+b=,
所以a2+b2≥=,当且仅当a=b=时,等号成立.
答案:C
2.从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,设X表示第1次抽到中奖彩票时抽奖的次数,则P(X=3)=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析:从只有3张中奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,
则所有的情况为.
因为X=3表示第1次抽到中奖彩票时的抽奖次数为3,
所以前2次抽取没有中奖,第3次抽取中奖的情况为,
所以P(X=3)==.
答案:D
3.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动,记女生入选的人数为X,则X的分布列为(　　)
A.
X
0
1
2
P



B.
X
1
2
3
P



C.
X
0
1
2
P



D.
X
0
1
2
P



解析:X的所有可能取值为0,1,2.
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
故X的分布列为
X
0
1
2
P



答案:A
4.已知随机变量X的分布列如下表,则P(=1)=.
X
1
2
3
4
P




解析:依题意可得,P(|X-2|=1)=P(X=3)+P(X=1)=+=.
5.一个不透明的盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列.
解:(1)由古典概型的概率计算公式,得P==.
(2)X的所有可能取值为1,2,3.
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列为
X
1
2
3
P



B级　拓展提高
6.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则在下列事件中概率为的是(　　)
A.都不是一等品
B.恰有1件一等品
C.至少有1件一等品
D.至多有1件一等品
解析:设取到一等品的件数是X,
则X=0,1,2.P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)==.
因为P(X=0)+P(X=1)=,
所以满足题设的事件是“至多有1件一等品”.
答案:D
7.如图所示,A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取3条线且在单位时间内能通过的最大信息总量为X,则P(X≥8)=.

解析:由已知,得X的可能取值为7,8,9,10.
P(X=7)==,
P(X=8)==,
P(X=9)==,
P(X=10)==.
所以X的分布列为
X
7
8
9
10
P




所以P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=++=.
8.一个不透明口袋中有大小、质地均相同的4个红球、3个黑球.随机取球,设取到1个红球得2分,取到1个黑球得1分,从袋中随机取4个球,记得分为随机变量X.
(1)求得分X的分布列;
(2)求得分大于6分的概率.
解:(1)从袋中随机取4个球的情况分别为1红3黑、2红2黑、
3红1黑、4红,分别得分为5分、6分、7分、8分.
故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X=5)==,P(X=6)==,P(X=7)==,P(X=8)==.
故X的分布列为
X
5
6
7
8
P




(2)根据随机变量X的分布列,可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.
9.为了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学段抽取了100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:h)的数据,绘制表格的一部分如下.
公益劳动时间/h
男生人数
女生人数
初中学段人数
高中学段人数
[0,5)
6
5
a

[5,10)
9
12
8

[10,15)
10
13
11

[15,20)
10
8
11

[20,25)
9
6
10

[25,30)
4
8
7

(1)从男生中随机抽取1人,求抽到的男生参加公益劳动时间在区间[10,20)上的概率;
(2)从参加公益劳动时间在区间[25,30)上的学生中抽取3人进行面谈,记X为抽到高中学段的人数,求X的分布列.
解:(1)由题意可得,100名学生中共有48名男生,其中共有20人参加公益劳动时间在区间[10,20)上.所以从男生中随机抽取1人,抽到的男生参加公益劳动时间在区间[10,20)上的概率P==.
(2)由题意可得,
公益劳动时间在区间[25,30)上的学生人数为4+8=12.
因为初中学段人数为7,所以高中学段人数为12-7=5.
所以X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




10.某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200元/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下表.已知该公司注册的会员中没有消费超过5次的.从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下.假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题.
(1)某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;
(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为X元,求X的分布列.
消费次数
收费比率
第1次
1
第2次
0.95
第3次
0.90
第4次
0.85
≥5次
0.80

消费次数
人数
1
60
2
20
3
10
4
5
5
5
解:(1)因为第一次消费时,公司获得利润为 200-150=50(元),
第二次消费时,公司获得利润为200×0.95-150=40(元),
所以两次消费中,公司获得的平均利润为=45(元).
(2)因为公司成本为150元,
所以消费一次公司获得的平均利润为50元,
消费两次公司获得的平均利润为=45(元),
消费三次公司获得的平均利润为=40(元),　
消费四次公司获得的平均利润为=35(元),
消费五次公司获得的平均利润为=30(元),
X的所有可能的取值为50,45,40,35,30,
P(X=50)==0.6,P(X=45)==0.2,
P(X=40)==0.1,P(X=35)==0.05,
P(X=30)==0.05.故X的分布列为
X
50
45
40
35
30
P
0.6
0.2
0.1
0.05
0.05
C级　挑战创新
11.多空题已知随机变量X的分布列如下表:
X
-1
0
1
P
a
b
c
若a,b,c成等差数列,公差为d,则P(|X|=1)=,d的取值范围为.
解析:因为a,b,c成等差数列,
所以2b=a+c.
由a+b+c=1,解得b=,
则P(|X|=1)=a+c=2b=.
由题意可得,a=-d,c=+d.
根据分布列的性质,得解得-≤d≤.