高中人教A版 (2019)8.2 一元线性回归模型及其应用同步测试题

这是一份高中人教A版 (2019)8.2 一元线性回归模型及其应用同步测试题，共6页。试卷主要包含了9,且等内容，欢迎下载使用。
8.2 一元线性回归模型及其应用
A级　基础巩固
1.某地开始使用中西医结合方法治疗某种流感后,取得了不错的成效,该地每周治愈的患者人数如下表所示:
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(y)
2
17
36
93
142
由表格可得y关于x的二次回归方程为=6x2+a,则此回归模型第2周的残差(观测值与预测值之差)为(　　)
A.5B.4C.1D.0
解析:设t=x2,则=(1+4+9+16+25)=11,
=(2+17+36+93+142)=58,
a=58-6×11=-8,所以=6x2-8.
令x=2,得e2=y2-=17-6×22+8=1.
答案:C
2.在大学生建模比赛中,编号为1,2,3,4的4名同学对得到的数据进行分析,其中对变量x,y进行回归分析,得到的结果如表所示. 则这4名同学中建立的经验回归方程的拟合效果最好的是 (　　)
编号
1
2
3
4
残差平方和
12.37
13.98
9.817
14.32
决定系数R2
0.873 4
0.930 2
0.959 2
0.766 5
A.1号　　　B.2号　　　C.3号　　　D.4号
解析:根据回归分析的思想,残差平方和越小,模型拟合效果越好,决定系数R2越接近于1,经验回归方程的拟合效果越好,所以由表格中的数据得出3号同学的经验回归方程拟合效果最好.
答案:C
3.根据表中的样本数据得到的经验回归方程为=x+,若=7.9,则x每增加1,估计y (　　)
x
3
4
5
6
7
y
4
2.5
-0.5
0.5
-2
A.增加1.4B.减少1.4 C.增加1D.减少1
解析:由题意可得,=5,=0.9.
因为经验回归方程为=x+, =7.9,且
经验回归直线过点(5,0.9),所以0.9=5+7.9,解得=-1.4,
所以x每增加1,估计y减少1.4.
答案:B
4.已知一组观测数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之间满足yi=bxi+a+ei
(i=1,2,…,n),若ei恒为0,则R2的值为1.
解析:由ei恒为0,知yi=,即yi-=0,
故R2=1-=1-0=1.
5.某考察团对全国十个城市居民人均工资水平x(单位:千元)与居民人均消费水平y(单位:千元)进行统计调查,调查发现y与x具有线性相关关系,经验回归方程为=0.66x+1.562.若其中某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为83%.
解析:将y=7.675代入经验回归方程=0.66x+1.562,
可计算得x≈9.262,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.
6.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了四次试验,所得数据如下表所示:
加工零件的数量x/个
2
3
4
5
加工的时间y/h
2.5
3
4
4.5
(1)求y关于x的经验回归方程.
(2)预测加工10个零件需要多少时间?
参考公式:==, =-.
解:(1)由已知可得,=3.5,=3.5,
xiyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5,=4+9+16+25=54,
所以===0.7,
所以=3.5-0.7×3.5=1.05,
所以所求经验回归方程为=0.7x+1.05.
(2)当x=10时, =0.7×10+1.05=8.05,
所以预测加工10个零件需要8.05 h.
B级　拓展提高
7.四张残差图如图所示,其中模型的拟合效果最好的是 (　　)

A B

C D
解析:四张残差图中,只有选项A,B中的残差图中的残差是均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内,且选项B中的残差分布集中在更狭窄的范围内,所以选项B中模型的拟合效果最好.
答案:B
8.多选题下列关于回归分析的说法中正确的是 (　　)
A.回归直线一定过样本中心(,)
B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适
C.甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80,则模型乙的拟合效果更好
D.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
解析:对于A选项,回归直线一定过样本中心(,),A选项正确;对于B选项,残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,B选项正确;对于C选项,甲、乙两个模型的R2分别约为 0.98 和0.80,则模型甲的拟合效果更好,C选项错误;对于D选项,两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好,D选项正确.
答案:ABD
9.某共享单车企业在A城市就“每天一辆单车平均成本y(单位:元)与租用单车数量x(单位:千辆)之间的关系”进行了调查,并将相关数据统计如下表所示.
x
2
3
4
5
8
y
3.2
2.4
2
1.9
1.5
根据以上数据,研究人员设计了两种不同的回归分析模型,得到两个拟合函数:
模型甲:=+0.8,模型乙:=+1.6.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:
①完成下表(计算结果精确到0.1元);
x
y
模型甲
模型乙
预测值
残差
预测值
残差
2
3.2




3
2.4
2.4
0
2.3
0.1
4
2
2.0
0
2.0
0
5
1.9
1.8
0.1
1.9
0
8
1.5
1.4
0.1


②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2,并通过比较Q1,Q2的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)这家企业在A城市投放共享单车后,受到广大市民的热烈欢迎并供不应求,于是该企业决定增加单车的投放量.根据市场调查,市场投放量达到1万辆时,平均每辆单车一天能收入8元、6元的概率分别为0.6,0.4;市场投放量达到1.2万辆时,平均每辆单车一天能收入8元、6元的概率分别为0.4,0.6.若按(1)中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本,则该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润? (利润=收入-成本)请说明理由.
解:(1)①经计算,可得下表:
x
y
模型甲
模型乙
预测值
残差
预测值
残差
2
3.2
3.2
0
3.2
0
3
2.4
2.4
0
2.3
0.1
4
2
2.0
0
2.0
0
5
1.9
1.8
0.1
1.9
0
8
1.5
1.4
0.1
1.7
-0.2
②由①中数据,得Q1=0.12+0.12=0.02,
Q2=0.12+(-0.2)2=0.05.
因为Q159 200,所以选择投放1.2万辆能获得更多利润.
C级　挑战创新
10.已知函数模型y=sin2α+2sin α+1,若将y转化为关于t的经验回归方程,则需作变换 t=(sin α+1)2.　 
解析:因为要转化为y关于t的经验回归方程,实际上就是y关于t的一次函数.由y=(sin α+1)2,若令t=(sin α+1)2,则可得y与t的函数关系式为y=t,此时变量y与变量t呈现出线性相关关系.
11.多选题某大型电子商务平台每年都会举行商业促销狂欢活动,现统计了该平台从2012年到2020年共9年促销当天的销售额(单位:亿元)并作出散点图,将销售额y看成以年份序号x(2012年作为第1年)的函数.运用Excel软件,分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合,效果如下图,则下列说法正确的是(　　)

A.销售额y与年份序号x呈正相关关系
B.根据三次多项式函数可以推测2021年促销当天的销售额约为2 684.54亿元
C.三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D.销售额y与年份序号x线性相关不显著
解析:散点从左下到右上分布,所以销售额y与序号x呈正相关关系,故A正确;
令x=10,由三次多项式函数得2 683.54,所以2021年促销当天的销售额约为2 683.54亿元,故B错误;
用三次多项式回归曲线拟合的决定系数R2=0.999,而回归直线拟合的相关系数r2=0.936,所以回归曲线拟合效果更好,故C正确;
因为相关系数r2=0.936,r∈(0.75,1)非常接近1,故销售额y与年份序号x线性相关显著,故D错误.
答案:AC