第05讲 线段、角的轴对称性-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

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第05讲 线段、角的轴对称性

1、 理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。

1．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

2．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．


一．角平分线的性质（共15小题）
1．（2022秋•邗江区期中）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（　　）
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
2．（2022秋•邗江区校级期末）∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（　　）
A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5
3．（2022秋•广陵区校级期末）如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为 　 　．

4．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　．

5．（2022秋•通州区校级月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2022秋•东台市期中）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022秋•徐州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面积为 　 　．

8．（2022秋•启东市期末）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 　 　m．

9．（2022秋•句容市期末）如图，射线OQ平分∠MON，点P是射线OQ上一点，且PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离等于 　 　．





10．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是 　 　．

11．（2022秋•镇江期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
12．（2022秋•海安市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
13．（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，则△AOB的面积为 　 　．


14．（2022秋•阜宁县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是　 　．

15．（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．




二．线段垂直平分线的性质（共12小题）
16．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝　 　．

17．（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 　 　．

18．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝　 　．

19．（2022秋•启东市校级期末）如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　cm．

20．（2022秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．












21．（2022秋•广陵区校级期末）如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．







22．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（　　）

A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM
23．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（　　）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
24．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，且BD＝AB﹣2．
（1）求证AB＝AD；
（2）求CD长．






25．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC＝7cm，则DC的长为（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
26．（2022秋•南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝　 　°．
27．（2022秋•邗江区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为　 　cm．


一、单选题
1．（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（    ）

A． B． C． D．
2．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，中，，，点、分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（  ）

A． B． C． D．
3．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，，则的面积等于（　　）

A．30 B．60 C．24 D．48
4．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长是，则的周长是（   ）

A．22 B．15 C．17 D．18
5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（    ）
  
A． B． C． D．
6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（    ）

A．6 B．6 C．3 D．3
7．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，则的长为（    ）．
  
A． B． C． D．

二、填空题
8．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是____．

9．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则PE的长是______．

10．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长为 _____．

11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，的三边，，的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 ：： ___________

12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．

三、解答题
13．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，于点E，于点F，若．

(1)求证：平分；
(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．










14．们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，对角线，相交于点，，，垂足分别是，，求证；




15．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）已知，求作点P，使得点P与三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．



16．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，校园有两条路、，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点． （请保留作图痕迹）





17．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合．

(1)求证：是的平分线；
(2)连接，判断与的位置关系，并说明理由．











一、单选题
1．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2．如图所示，在四边形ABCD中，，于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（ ）

A． B． C． D．
3．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）的交点．
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点
4．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°．

7．如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝5，△AEC的周长为12，则AB＝___．

8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为_____．

9．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD= 6 ，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．


10．如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．

三、解答题
11．作图题：

（1）在图1中，画出关于直线的对称图形．
（2）在图2中，已知和、两点，在内部找一点，使，且到的两边、的距离相等．





12．作图题：（1）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须符合下列条件：①到两公路、的距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

（2）如图，先将向下平移3个单位得到，再以直线为对称轴将翻折得到，请在所给的方格纸中依次作出和．





13．已知，如图，在△ACB中，∠C=90°．
（1） 作∠B的平分线BD交AC于点D．（要求尺规作图，保留痕迹）
（2） 过点D作斜边AB的垂线段，垂足为点E． （要求尺规作图，保留痕迹）
（3） 求证：CD=ED．