重难点02全等三角形中“倍长中线”模型-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

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重难点02全等三角形中“倍长中线”模型

1.识别几何模型。
2.利用“倍长中线”模型解决问题

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

图一


图二


图三

例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．

方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴AC=BE，∠E=∠2
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Com]
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：

如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（AAS）
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
【变式1】如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．
证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴
在和中
∴∴
在中，
∴．
【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．
（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

解：（1）如图，

（2）证明：如图，
∵AD为BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）证明：如图，
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC
∵DE=AD
∴AE=2 AD
在△ABE中，AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
（4）在△ABE中，
AB-BE