重难点05轴对称之“将军饮马”模型-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

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重难点05轴对称之“将军饮马”模型

1.识别几何模型。
2.利用“将军饮马”模型解决问题

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【模型解析】
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

类型一：两定一动之点点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
类型二：两定两动之点点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
类型三：一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2.5，0）
【分析】作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，此时△ABC的周长最小，求出直线AB'的解析式y＝2x+4与x轴的交点即可．
【解答】解：作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，
∴BC＝B'C，
∴BC+AC＝B'C+AC≥AB'，此时△ABC的周长最小，
∵B（﹣5，6），
∴B'（﹣5，﹣6），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣1，2），B'（﹣5，﹣6）代入，
得，
∴，
∴y＝2x+4，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
故选：C．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．（2022秋•江都区月考）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，S△ABC＝6，AD⊥BC于点D，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（　　）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【分析】由垂直平分线的性质知AP＝BP，则PB+PD＝AP+PD，从而PB+PD最小值为AD的长，利用面积即可求出AD的长．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴PB+PD＝AP+PD，
即点P在AD上时，PB+PD最小值为AD的长，
∵BC＝3，S△ABC＝6，
∴×3×AD＝6，
∴AD＝4，
∴PB+PD最小值为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质等知识，将PB+PD最小值转化为AD的长是解题的关键．
3．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时PB+PC最小，证明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC．
【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，
∴P点在AD的垂直平分线上，
作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，
由对称性可知，B'P＝BP，
∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，
∵AD＝BB'，AD＝BC，
∴BB'＝BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB＝∠B'＝45°，
∴∠B'BP＝45°，
∴∠PBC＝45°，
故选：B．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
4．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（　　）

A．4 B．2 C．3 D．+2
【分析】过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F．依据轴对称的性质即可得到∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，再根据四边形ADEF是平行四边形，即可得出AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2．当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，利用勾股定理求得A'C的长即可．
【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F，
∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，
∴AE+CE＝A'E+CE，
由题可得，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠A'FC＝45°×2＝90°，
∵AF∥DE，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2，
当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示．
此时，Rt△A'FC中，A'C＝＝＝，
∴AE+CE的最小值为，
故选：B．

【点评】此题主要考查了最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
5．（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）

A． B． C．a+b D．a
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故选：B．

【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
二．填空题（共5小题）
6．（2022秋•句容市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 　　．

【分析】作F关于AD的对称点F'，由角的对称性知，点F'在AB上，当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，再利用面积法求出CF'的长即可．
【解答】解：作F关于AD的对称点F'，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点F'在AB上，
∴EF＝EF'，

∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝，
∴12×8＝10×CF'，
∴CF'＝，
∴EC+EF的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．
7．（2021秋•如皋市月考）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 　　．

【分析】过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，BE+EF的最小值为CF，求出CF即可．
【解答】解：过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，
∵AD是等边三角形ABC的高，
∴BE＝CE，
∴BE+EF＝CE+EF≥CF，
∴BE+EF的最小值为CF，
∵BC＝6，AB＝6，
∴BF＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴BE+EF的最小值为3，
故答案为：3．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短是解题的关键．
8．（2022秋•镇江期中）如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为 　26　．

【分析】连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，根据题意可得△DFC为等边三角形，由等边三角形的三线合一可得GF＝GD，以此得出MF+MA的最小值为GF+AG＝GD+AG＝AD，由AB∥CD可得△ABD为直角三角形，最后根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，

∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴∠BCD＝60°，CD＝CD，
∵点F为BC的中点，
∴FD＝BF＝CF＝BC＝CD，
∴△DFC为等边三角形，
∵射线CN平分∠BCD，
∴CP垂直平分DP，
∴GF＝GD，点D为点F关于CN的对称点，
∴当M在点G时，此时MF+MA为GF+AG＝GD+AG＝AD取得最小值，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝10，BD＝24，
∴．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，得出MF+MA的最小值为AD是解题关键．
9．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为　　．

【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PC+PD的最小值为2．
【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，
则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∠CBE＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝BC＝2，
∴BE＝2，
∵PC+PD＝PC+PE，
∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，
∵AC＝BC＝4，D为BC的中点，
∴CD＝DB＝BE，
又∵∠ACD＝∠CBE＝90°，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴CE＝AD＝2，
∴PC+PD的最小值为2．
故答案为：2．

【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
10．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 　45°　．

【分析】过点D作DF⊥AC于点F，可知点D在到AC的距离为1的直线上，作出该直线l，利用将军饮马模型，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理分别求得∠ABA′和∠ABC的度数，则结论可求．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，

∵DE∥AB，
∴∠DEF＝∠BAC＝30°，
∵DF⊥AC，
∴DF＝DE＝1，
∴点D到直线AC的距离等于定值1．
过点D作直线l∥AC，则点D在直线l上运动，
作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，由将军饮马模型可知：
此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．
由题意：AA′⊥l，AG＝GA′，
∵l∥AC，DF⊥AC，
∴四边形AFDG为矩形，
∴AG＝DF＝1，
∴AA′＝AG+A′G＝2，
∵AB＝AC＝2，
∴AB＝AA′，
∴∠ABA′＝∠A′．
∵∠BAC＝30°，∠FAG＝90°，
∴∠BAA′＝120°，
∴∠ABA′＝∠A′＝＝30°．
∵∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°，
∴∠DBC＝∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝45°．
故答案为：45°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定与性质，利用将军饮马模型构造辅助线解答是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
11．（2022秋•苏州期中）（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．
（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝　17　．

【分析】（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；根据勾股定理可得DF的长，从而解答即可；
（2）先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，
【解答】解：（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；

作DE⊥BC交BC的延长线于E．
在Rt△DEF中，∵DE＝AB＝200米，EF＝AD+BC＝80+70＝150米，
∴DF＝＝＝250（米），
∴PD+PC的最小值为250米；

（2）：先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，作DE⊥BC交BC的延长线于E．
使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，

∵DF＝＝＝17，
∴代数式+的最小值为17．
故答案为：17．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022秋•秦淮区校级月考）（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC的和最小．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接A1C，与直线l交于点P，连接AP，此时PA+PC的和最小．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，点P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
13．（2022秋•江都区校级月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小．
（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．
（4）△ABC的面积是 　　．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接B1C，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，即可得△PBC的周长最小．
（3）延长CB，交直线DE于点M，此时|MC﹣MB|值最大．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，点P即为所求．
（3）如图，点M即为所求．

（4）△ABC的面积为3×3﹣﹣﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
14．（2022秋•宜兴市月考）请在如图所示的正方形网格中完成下列问题：
（1）如图，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；
（2）求出△ABC的面积．
（3）在直线MN上找一点P，使得PC+PB最小．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）连接B'C，交直线MN于点P，连接PB，此时PC+PB最小．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．

（2）△ABC的面积为3×6﹣﹣﹣＝8．
（3）如图，点P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
15．（2022秋•江阴市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝　6　；
（3）在AE上找一点P，使得PC+PD的值最小．

【分析】（1）利用轴对称的性质作出点B的对应点F，即可解决问题；
（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积，利用分割法求解；
（3）作点D关于直线AE的对称点D′，连接CD′交AE于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△AEF即为所求；

（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积＝2×4﹣×2×2＝6；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题，四边形面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
16．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE＝2，求EM+BM的最小值．

【分析】要求EM+BM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，BM的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．
取BE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
∴BF＝FE＝AE＝2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE＝2DF，CE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF＝2ME，
∴CE＝2DF＝4ME，
∴CM＝CE．
在直角△CDM中，CD＝BC＝3，DM＝AD，
CM＝＝，
CE＝×＝2，
∵BM+ME＝CE，
∴BM+ME的最小值为2．

【点评】此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题和等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，根据已知得出M点位置是解题关键．
17．（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽
的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；
【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．
①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．
【分析】【问题情境】证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解；
【变式探究】利用等量代换即可求解；
【拓展应用】①用等量代换即可求解；
②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED（SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可．
【解答】解：【问题情境】AD＝BE，理由如下：
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE；
【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；
∵∠B＝∠FDE＝∠C，
∴∠EDB+∠BED＝∠EDB+∠FDC＝∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠EDF，
∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；
【拓展应用】①∵AB＝BC，
∴AF+BF＝BD+CD，
∵AF＝2BD，
∴2BD+BF＝BD+CD，
∴BD+BF＝CD；
②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，
∵∠B＝45°，∠EDF＝45°，
∴∠BFD＝∠EDM，
∵DF＝DE，
∴△BDF≌△MED（SAS），
∴BD＝EM，EM＝BD，∠B＝∠DME＝45°，
∵CD＝BD+BF，
∴CM＝BD，
∴EM＝CM，
∴∠MCE＝∠MEC，
∵∠EMD＝45°，
∴∠ECM＝∠MEC＝22.5°，
∴E点在射线CE上运动，
∵G点与N的关于CE对称，
∴EG＝EN，
∴EA+EG＝EA+EN≥AN，
∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，
∵∠B＝45°，AB＝BC，
∴∠ACB＝67.5°，
∴∠ACE＝45°，
由对称性可知，∠ACE＝∠ECN，
∴∠ACN＝90°，
∵点G是AC的中点，AC＝2，
∴CG＝1，
∴CN＝1，
在Rt△ANC中，AC＝，
∴AE+EG的最小值为．

【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
18．（2020秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　　；
（2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值；
（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是　　．
【分析】（1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为E′A，根据勾股定理求出E′A，得到答案；
（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称﹣﹣最短路线问题得到最小值就是求PC+PD的值，根据勾股定理计算即可；
（3）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．
【解答】解：（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E′A，
作E′F⊥AC交AC的延长线于F，
由题意得，E′F＝1，AF＝3，
∴PA+PE的最小值E′A＝＝，
故答案为：；
（2）构造图形如图4所示，BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB＝3，
则PC+PD＝+，
代数式+（0≤x≤3）的最小值就是求PC+PD的值，
作点C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E．
则C'E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C'D＝＝＝5，
∴所求代数式的最小值是5；
（3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，
则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°，
∴△C′AC为等边三角形，
∴CM+MN的最小值为C′N＝，
故答案为：．



【点评】本题考查的是轴对称﹣﹣最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．

一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•和平区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝8，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】连接CF交AD于点E，连接BE，此时BE+EF的值最小，求出CF即可．
【解答】解：连接CF交AD于点E，连接BE，
∵△ABC是等边三角形，AD是高，
∴BE＝CE，
∴BE+EF＝CE+EF≥CF，此时BE+EF的值最小，
∵F是AB边上的中点，
∴CF＝AD，
∵AD＝8，
∴CF＝8，
故选：D．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．
2．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．80°
【分析】分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，由条件求出∠DPE的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，从而求出∠MPN的度数．
【解答】解：分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，

∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，
∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，
∵PM＝DM，NP＝NE，
∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，
∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，
∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质，关键是分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，找到周长最小的△PMN．
二．填空题（共5小题）
3．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为 　12　．

【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．
【解答】解：MN与AC的交点为D，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴AD+BD＝AD+CD＝AC，
此时AD+BD的值最小，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，
∵AB＝5，AC＝7，
∴AB+AC＝12，
∴△ABD的周长最小值为12，
故答案为：12．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022秋•白云区校级期末）如图，等腰△ABC的底边长为8，面积是24，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N．点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，设△BDE的周长的最小值为a，则式子[2a3•a5+（3a4）2]÷a6值是 　1100　．

【分析】连接AD交MN于点E，连接BE，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，求出a＝10，再化简代数式求值运算即可．
【解答】解：连接AD交MN于点E，连接BE，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DE+AE≥BD+AD，
当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，
∵腰△ABC的底边长为8，面积是24，
∴×8×AD＝24，
∴AD＝6，
∴BD+AD＝×8+6＝10，
∴△BDE的周长最小值为10，
∴a＝10，
[2a3•a5+（3a4）2]÷a6
＝（2a8+9a8）÷a6
＝11a8÷a6
＝11a2，
当a＝10时，原式＝1100，
故答案为：1100．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，准确的化简代数式并代入求值是解题的关键．
5．（2022秋•明水县校级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为 　6　．

【分析】连接BE交AD于点P，连接CP，EP+CP的最小值为BE的长，求BE的长即为所求．
【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，
∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BP＝CP，
∴EP+CP＝BP+CP≥BE，
∴EP+CP的最小值为BE的长，
∵E为AC边的中点，
∴BE⊥AC，
∵AD＝6，
∴BE＝6，
故答案为：6．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．
6．（2022秋•岳阳县期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为 　6　．

【分析】连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE＝AD＝6，即BF+EF的最小值为6．
【解答】解：连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，AE＝BE，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵等边△ABC中，AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴BF+EF＝CE时最小，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD＝6，
即BF+EF的最小值为6，故答案为：6．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
7．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　130°　．

【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″′＝65°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．

∵∠DAB＝115°，
∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝65°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×65°＝130°
故答案为：130°．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
三．解答题（共3小题）
8．（2022秋•宜春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3，
（1）求BC的长；
（2）若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为 　9　．

【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；
（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∵AB边的垂直平分线交AB于点D，
∴BE＝AE＝3，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CAE中，∠C＝30°，
∴CE＝2AE＝6，
∴BC＝BE+CE＝3+6＝9；
（2）如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B，

∵PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC，
根据两点之间线段最短，则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9．
【点评】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．
9．（2022秋•新华区校级期末）如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小；
（3）求出△ABC的面积．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）过x轴作点A的对称点A'，连接A'C，与x轴交于点P，此时点P即为所求．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，点P即为所求．

（3）S△ABC＝3×3﹣﹣﹣＝．
∴△ABC的面积为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
10．（2022秋•金牛区校级期末）已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．

【分析】（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''C，交x轴于点P，连接AP，此时AP+PC的值最小，利用勾股定理求出A''C的值即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
（3）如图，点P即为所求．

由勾股定理得A''C＝＝．
∴AP+PC的最小值为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．