第09讲 用配方法解一元二次方程（十四大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

这是一份第09讲 用配方法解一元二次方程（十四大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版），文件包含第09讲用配方法解一元二次方程解析版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx、第09讲用配方法解一元二次方程原卷版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。

第09讲 用配方法解一元二次方程

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；
2．会把一元二次方程化为一般形式．

一、直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
二、配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
三、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．


考点1：直接开平方法解一元二次方程
例1．一元二次方程的解为（     ）
A． B．， C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．
解：，
移项得：，
开平方得：，，
故选B．
【点睛】
本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．
例2．若，则是（       ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算，再用直接开平方法解一元二次方程即可．


故选C
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．
例3．方程x2- =0的根为_______．
【答案】x=±
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义得出=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解．
解： x2- =0，
∴x2=8，
∴x=．
故答案为：x=．
【点睛】
本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．
例4．有关方程的解说法正确的是（       ）
A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
∵，
∴，
∴该方程无实数解．
故选：D
【点睛】
考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
例5．若方程的两个根分别是与，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴方程的两个根互为相反数，
∵方程的两个根分别是与，
∴，
解得，
∴，，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．
例6．解方程：
（1）；                                （2）；
（3）；                              （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】
（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；
（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；
（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；
（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．
（1），
，
，
，
即；
（2），
，
或，
或，
即；
（3），
，
或，
或，
即；
（4），
，
，
，
即．
【点睛】
本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．
例7．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　）
A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝
C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝
【答案】D
【解析】
【分析】
直接开平方与开立方，再解一次方程即可．
解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝，
所以3x+1＝±，
解得x＝﹣或x＝﹣，
由﹣2＝0得y3＝，
所以y＝，
所以x＝﹣或﹣，y＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．
例8．一元二次方程的实数根为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直接开方法解一元二次方程即可得．
，
两边同除以得：，
利用直接开方法得：，
解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．
考点2：直接开平方法解一元二次方程的条件
例9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是(   )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
方程整理后，判断即可得到结果
移项得，可用直接开平方法求解；移项得，可用直接开平方法求解；，可用直接开平方法求解．故选C.
【点睛】
此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
例10．方程y2＝-a有实数根的条件是（       ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．
解：∵方程y2＝﹣a有实数根，
∴﹣a≥0（平方具有非负性），
∴a≤0；
故选：A．
【点睛】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．
例11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(     )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．
①x2-2x=0，因式分解法；
②9x2-25=0，直接开平方法；
③(2x-1)2=1，直接开平方法；
④，直接开平方法，
则能用直接开平方法做的是②③④.
故选:C.
【点睛】
考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.
例12．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（       ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.
∵(x-1)0有意义，
∴x-1≠0，即x≠1，
∵x2=（x﹣1）0
∴x2=1，即x=±1
∴x=-1.
故选A.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.
例13．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（       ）.
A． B．
C． D．任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据时方程有实数解，可求出m的取值范围．
由题意可知时方程有实数解，解不等式得，故选B．
【点睛】
形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．
例14．已知方程有实数根，则与的关系是（       ）.
A． B．或、异号
C．或、同号 D．是的整数倍
【答案】B
【解析】
【分析】
将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案．
原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解．当c=0时，有实数根；当a、c异号时， ，方程有实数解．故选B．
【点睛】
形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．
考点3：直接开平方法解一元二次方程的复合型
例15．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
解：
开方得，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
例16．方程的解为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
移项后利用直接开平方法解答即可．
解：移项，得，
两边直接开平方，得，
即或，
解得：，．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
例17．解方程：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
解：（1），
整理，得．
∴，
即；
（2），
，
∴或，
解得：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
考点4：一元二次方程的根的概念深入理解
例18．一元二次方程的根与的根（       ）
A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.
，
，
∴；
，
，
∴，；
∴两个方程有一个相等的根.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
考点5：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式
例19．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（             ）
A．x=±-a B．x=±a+
C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a±
【答案】A
【解析】
【分析】
由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．
∵b>0，
∴两边直接开平方,得：x+a=±，
∴x=±-a，
故选A
【点睛】
此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则
例20．形如的方程，下列说法错误的是（       ）
A．时，原方程有两个不相等的实数根
B．时，原方程有两个相等的实数根
C．时，原方程无实数根
D．原方程的根为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．
解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．
考点6：直接开平方法解一元二次方程-降次
例21．方程的根的个数是（          ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
移项得=24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．
解：∵
∴=24，
∴x=±2，
∴方程的根是x=±2.
故选B.
【点睛】
本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．
考点7：直接开平方法解一元二次方程-换元法
例22．若，则的值为(       )
A．7 B．-3 C．7或-3 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
把两边开方得到a2+b2-2=±5，然后根据非负数的性质确定的值．
解：∵，
∴a2+b2-2=±5，
∴a2+b2=7或a2+b2=-3（舍去），
即a2+b2的值为7．
故选A．
【点睛】
本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
考点8：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充
例23．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对于任意正整数n，我们可以得到，同理可得．那么的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据，，化简各式即可求解．
解：依题意有，
∵2022÷4＝505…2，
∴=
∴＝−1−i＋1＋i＋…＋1＋i−1
＝−1．
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．
考点9：配方法解一元二次方程
例24．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
【解析】解：，
，
则，
即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
例25．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解析】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
例26．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（       ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
【答案】B
【分析】根据配方的步骤计算即可解题．
【解析】
故B错误．且ACD选项均正确，
故选：B
【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．
例27．关于y的方程，用___________法解，得__，__．
【答案】     配方     102    
【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．
【解析】，
，
，
，
，
，
故答案为：配方，102，．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．
例28．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案．
【解析】解：∵ ，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
例29．用配方法解方程，正确的是（       ）
A． B．
C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解
【答案】D
【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．
【解析】方程移项得：x2-x=-1，
配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-，
则原方程无实数解，
故选D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
例30．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

【分析】利用配方法求解即可．
（1）解：3x2−5x=2移项得：x2-x=，配方得：x2-x+=+，合并得：（x-）2=，解得：x1=+=2，x2=-=-；
（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=-9；
（3）解：x2+12x−15=0移项得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=-6＋，x2=-6-
（4）解：x2−x−4=0去分母得：，移项得：，配方得：x2-4 x+4=16+4，合并得：（x-2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；
（5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：，移项得：，配方得：x2+6x+9=-5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=-1，x2=--5；
（6）解：x2+px+q=0，移项得：，配方得：x2+px+=-q+，合并得：(x+)2=，解得x=．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
考点10：配方法的应用1-三角形问题
例31．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是______三角形
【答案】等腰
【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状．
【解析】解：∵
∴ ，
∴，
∴，
即，
整理得：，
∵，，
∴，即；，即，
∴，
则△ABC为等腰三角形．
故答案是：等腰．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
例32．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是______
【答案】
【解析】解方程：，得 ，
∴.
∵一个三角形的三边均满足方程 ，
∴此三角形是以5为边长的等边三角形，
∴三角形的面积=°=.
故答案是：.
例33．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（       ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
【答案】C
【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，
∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，
∴（a-5）2+（b-8）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-5=0，b-8=0，
∴a=5，b=8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b-a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8＜c＜13．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．
考点11：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题
例34．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
【答案】A
【解析】∵M=2-12x+15，N=-8x+11，
∴M-N= .
∵，
∴M-N0，
∴MN.
故选A.
点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.
例35．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【答案】A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
例36．已知实数，，满足，，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．
【解析】







故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．
考点12：配方法的应用3-最值问题
例37．若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把二次三项式进行配方即可解决．
【解析】配方得：
∵，且对为任意实数，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．
例38．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是_______数．
【答案】正
【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值总是正数.
故答案为正.
点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.
例39．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　）
A．总大于7 B．总不小于9
C．总不小于﹣9 D．为任意有理数
【答案】C
【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．
【解析】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7
＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3
＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1）
＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9，
∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0，
∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9．
即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．
例40．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【解析】设，
则，，，
∴x2+y2+z2

=14k2+10k+6，
．
故最小值为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
例41．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【解析】解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
考点13：配方法的应用4-配方法在二次根式与分式中的应用
例42．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【解析】解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴






∴当b=2时，S有最大值为．
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
例43．已知（x，y均为实数），则y的最大值是______．
【答案】
【分析】将根据题意，，原式两边同时平方，可得，故，进而即可求得最大值.
【解析】解：，，，
．
，
．
的最大值为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的求值问题，配方法的应用，解本题的关键是通过y2为媒介求得y的取值范围从而找出最大最小值.
例44．已知，则____________
【答案】20
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．
【解析】将等式整理配方,

∴
则=0，=0，=0
∵a-1≥0，b-2≥0，c-3≥0，
∴∴a=2，b=6，c=12，
∴a+b+c=20.
故填：20.
【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用.
例45．已知，无论取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围_______.
【答案】c＜−1
【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c的范围．
【解析】原式分母为：x2＋2x−c＝x2＋2x＋1−c−1＝（x＋1）2−c−1，
∵（x＋1）2≥0，无论x取任何实数，这个式子都有意义，
∴−c−1＞0，
解得：c＜−1．
故填：c＜−1
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．
例46．（1）设，求的值．
（2）已知代数式，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【答案】（1）的值为；（2）说明见解析，当时，代数式有最小值．
【分析】（1）根据a＞b＞0可知，，再根据完全平方式把被开方数展开，把a2+b2=3ab代入进行计算即可；
（2）首先将原式变形为（x-）2+，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值为M，就有M=x2-5x+7，根据非负数的性质就可以求出最值．
【解析】（1）∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，
∴原式===；
（2）解：由题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有
M=，
∴M=，
∴当时，这个代数式的值最小为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，代数式中配方法的运用，关键是运用完全平方公式，式子的转化．
考点14：配方法的应用5-创新与阅读材料题
例47．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方．
（2）已知，求的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．
【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；
（2）根据求出x、y的值，代入求解即可；
（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．
【解析】（1）或．
（2），
．
，．．
（3）不能，理由如下：原式变形：．
．
即．
，，．
．a、b、c三条线段不能围成三角形．
【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．
例48．若实数x，y，z满足x＜y＜z时，则称x，y，z为正序排列．已知x=﹣m2+2m﹣1，y=﹣m2+2m，若当m时，x，y，z必为正序排列，则z可以是(　　)
A．m B．﹣2m+4 C．m2 D．1
【答案】A
【分析】用每一个选项减去y=-m2+2m，通过配方判定它们的差的符号，从而正确确定选项．
【解析】A．∵m(﹣m2+2m)=m2﹣m(m)2，∴当m时，(m)2＞0，∴当m时，x，y，z必为正序排列；
B．∵﹣2m+4﹣(﹣m2+2m)=m2﹣4m+4=(m﹣2)2，∴当m=2时，(m﹣2)2=0，∴当m时，x，y，z不一定为正序排列；
C．m2﹣(﹣m2+2m)=2m2﹣2m=2m(m﹣1)，∴当m≤1时，2m(m﹣1)＜0，∴当m时，x，y，z不一定为正序排列；
D．1﹣(﹣m2+2m)=m2﹣2m+1=(m﹣1)2，∴当m=1时，(m﹣1)2=0，∴当m时，x，y，z不一定为正序排列．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，考查学生的计算能力．


一、单选题
1．（2022·山东东营·统考中考真题）一元二次方程的解是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用配方法解方程即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【解析】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．

二、填空题
3．（2019·江苏徐州·统考中考真题）方程的根是______．
【答案】，
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【解析】解：，
，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
4．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_____．
【答案】

【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程．
【解析】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
5．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
【答案】
【分析】将代入方程，结合，进行求解即可．
【解析】解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．

三、解答题
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
【解析】解：∵
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
7．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程的实数根．
【答案】．
【分析】首先把方程化为一般形式为2x2-9x-34=0，然后变形为，然后利用配方法解方程．
【解析】原方程化为一般形式为，
，
，
，
，
所以，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8．（2017·山东滨州·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①；②；③．（2）①， ②；（3）．
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【解析】（1）①；
②；
③．
（2）①；
②．
（3）

x2－9x＋＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－＝±．
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键.


一、单选题
1．方程的根为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．
【解析】解：，
移项得，
系数化1得，
开方得，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的关键．
2．如果是方程的一个根，则这个方程的其它根是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将代入方程得出的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【解析】解：将代入方程，得：，
解得，
方程为，
则，
或，
即这个方程的另一个根为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
3．用直接开平方法解方程(x﹣3)2＝8，得方程的根为（　　）
A．x＝3+2 B．x＝3﹣2 C．x＝3±2 D．x＝3±2
【答案】D
【分析】方程两边开平方可得x﹣3＝±2，即可求解．
【解析】解：方程两边开平方得：x﹣3＝±2，
解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
4．关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ）
A．方程无实数解 B．方程有一个实数解
C．有两个相等的实数解 D．方程有两个不相等的实数解
【答案】C
【分析】分别代入k的值，求出一元二次方程的解即可判断．
【解析】解：A、当k=2017时，方程为(x−1)2=2，解得x=，方程有两个实数解，该选项不符合题意；
B、当k=2018时，方程为(x−1)2=1，解得x=，方程有两个实数解，该选项不符合题意；
C、当k=2019时，方程为(x−1)2=0，解得x1=x2=，有两个相等的实数解，该选项符合题意；
D、当k=2019时，方程为(x−1)2=-1，方程没有实数解，该选项符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方法的解法是解本题的关键．
5．关于的方程，下列说法正确的是（    ）
A．有两个解 B．当，有两个解
C．当，有两个解 D．当时，方程无实数根
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解判断即可；
【解析】当时，方程无解，故A错误；
当，有两个解，故B正确；
当时，方程无解，与m无关，故C错误；
当时，方程有两个相等的实数根，故D错误；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键．
6．用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（    ）
①，②，③，④．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】∵，∴．∴．∴．即．∴从用配方法的解题过程中可知，第③步开始出现错误．
7．对于方程，下列各配方式中，正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可．
【解析】解：


∴
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．下列各式：①；②；③；④；⑤变形中，正确的有（    ）
A．①④ B．① C．④ D．②④
【答案】A
【分析】利用配方法进行变形，逐个判断
【解析】解：；①正确
，②错误；
，③错误；
，④正确
，⑤错误
故选：A．
【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的步骤正确计算是本题的解题关键．
9．设一元二次方程（）（）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（    ）
A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3 C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β
【答案】B
【分析】解方程得到x=1±，由m＞0，得到＞2，从而得到α= 1－＜－1，β= 1+＞3．
【解析】x2-2x-3=m，（x－1）2=4+m，∴x－1=±，x=1±．
∵m＞0，∴＞2，∴α= 1－＜－1，β= 1+＞3，故α＜-1且β＞3．
故选B．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程．解题的关键是由m的取值范围得到根的取值范围．
10．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
【答案】B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【解析】解：与为同族二次方程．
，
，
∴，
解得：．
，
当时，取最小值为2013.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．

二、填空题
11．一元二次方程的两根分别为_____________．
【答案】，
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可．
【解析】解：，
，
∴，，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
12．方程2x2 ﹣8＝0的解是_____．
【答案】
【分析】移项变形后，直接利用开平方法进行求解即可．
【解析】解：移项，得，
方程两边同除以，
得，
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
13．若关于x的一元二次方程的一个根为－1，则m的值是______．
【答案】1或-1
【分析】将x=-1代入方程,解关于m方程即可．
【解析】解：将x=-1代入方程得到,
解得m=1或-1．
故答案为：1或-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，已知方程的解时应将解代入方程求某字母系数的值．
14．把方程用配方法化为的形式，则的值是________．
【答案】-3
【解析】∵，∴．∴．∴．∴，．∴．
15．用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____．
【答案】1
【分析】先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答．
【解析】解：3x2-6x+2=0，


，即 m=1．
故填1．
【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．已知，，满足，，则的值是___________
【答案】4
【分析】由a﹣b=8，得出a=b+8，进一步代入ab+c2+16=0，进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步代入求得答案即可．
【解析】∵a﹣b=8，
∴a=b+8，
∴ab+c2+16=b(b+8)+c2+16=(b+4)2+c2=0，
∴b+4=0，c=0，
解得：b=﹣4，
∴a=4，
∴2a+b+c=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
17．已知,,若的值为2014,则n的值为______ .
【答案】8或
【分析】首先把变形为,再根据值为2014可得,再利用直接开平方法解方程即可.
【解析】解：,
,
,
,
,
.
,
,,
解得：,,
故答案为8或.
【点睛】此题主要运用直接开平方法解一元二次方程,以及求代数式的值,关键是正确利用完全平方公式把变形.
18．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．
【答案】4
【分析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.
【解析】∵
∴
∴
∴当x=-1时，x+y有最大值为4
故答案为4
【点睛】本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.

三、解答题
19．用直接开平方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）无实数根；（2），．
【分析】（1）先移项、合并同类项，可知该方程无解；
（2）先去括号、移项、合并同类项，然后开平方即可.
【解析】（1）移项、合并同类项，得，
两边同除以4，得．
所以原方程没有实数根．
（2）原方程可化为，
移项、合并同类项，得，
两边开平方，得．
所以，．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可.
20．解方程：．
【答案】
【分析】先把方程整理成，根据得到，则，利用开平方即可得到方程的解．
【解析】解：
移项得，，
合并同类项得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握开平方法解一元二次方程是解题的关键．
21．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）原方程变形，直接开平方即可得到答案；
（2）移项，配方，直接开平方即可得到答案.
【解析】（1）解：原方程变形可得，
，
两边开平方可得，
，；
（2）解：移项可得，
，
配方得，
，
即，
直接开平方可得，
，
∴，
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的解法．
22．用配方法解关于的方程：．
【答案】，
【分析】先移项后，再配方得，再直接开方即可求解．
【解析】解：，
移项得：，
配方得：，即，
，
解得：，．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．
23．用配方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【解析】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）（2），
，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键．
24．用配方法解方程．
【答案】
【分析】利用配方法解一元二次方程即可求解．
【解析】解：，
，
即，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
25．用配方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．

【分析】（1）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，然后方程两边同时开方，进而得解；
（2）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，然后方程两边同时开方，进而得解．
【解析】（1）解：





，；
（2）解：





，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
26．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据题意，利用配方法解一元二次方程；
（2）根据题意，利用配方法解一元二次方程；
（3）根据题意，利用配方法解一元二次方程；
（4）根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解．
【解析】（1）解：，
，
，
∴，
解得：；
（2）解：，
，
即，
∴，
解得：；
（3）解：，
∴，
∴，
即，
解得：；
（4）解：，
，
，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程变形为：
……第一步
……第二步
……第三步
，……第四步
……第五步
(1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______；
(2)用配方法解方程：．
【答案】(1)四，；
(2)．

【分析】（1）观察嘉淇同学解方程的步骤，找出出错的地方，写出正确的求根公式即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
【解析】（1）由于a≠0，方程变形为：
……第一步
……第二步
……第三步
，……第四步
……第五步
∴嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当时，方程的求根公式是．
故答案为：四，
（2），
移项得：x2﹣2x＝24，
配方得：，即，
开方得：，
解得：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键．
28．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ；
(2)【问题解决】若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ；
(3)【问题探究】已知“完美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为 ；
(4)【问题探究】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值．
(5)【问题拓展】已知实数x，y满足，求的最小值．
【答案】(1)4（答案不唯一），是
(2)12
(3)
(4)25
(5)4

【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；
（5）将变形为，然后再配方即可求解．
【解析】（1）4是“完美数”，理由：因为4＝；
40是“完美数”，理由：因为．
故答案为：4（答案不唯一），是；
（2）∵
∴，，
∴
故答案为：12；
（3）∵
∴，，
∴
故答案为：；
（4）
由题意得：，
∴；
（5）∵
∴；
∴当时，的最小值为4．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．