第10讲 用因式分解法解一元二次方程(六大题型)-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

这是一份第10讲 用因式分解法解一元二次方程(六大题型)-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版），文件包含第10讲用因式分解法解一元二次方程解析版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx、第10讲用因式分解法解一元二次方程原卷版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

第10讲 用因式分解法解一元二次方程

1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
2. 因式分解法解一元二次方方程的应用。

一.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
二.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.


考点1：因式分解法解一元二次方程
例1．方程的根为(     )
A． B． C． D．或
例2．方程的解是（        ）
A． B． C． D．
例3．解下列方程
(1)
(2)
例4．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
例5．用适当的方法解方程：
(1)．
(2)．
例6．一元二次方程的根是__________．
考点2：因式分解法解一元二次方程易错题
例7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是       (       )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2
C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2
例8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（       ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
考点3：因式分解法解一元二次方程的应用
例9．如果代数式与的值相等，那么x=______．
例10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
例11．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
例12．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（       ）
A．11 B．21 C．11或21 D．11或1
考点4：换元法
例13．已知，则的值是（       ）
A．3或 B．或2 C．3 D．
例14．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．
考点5：分类讨论思想
例15．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（    ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．无数个
例16．解方程的解是（       ）
A． B． C． D．
考点6：创新题型
例17．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（   ）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
例18．于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=，若，则实数m等于（       ）
A．6 B．2 C．2或 D．2或或6
例19．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（       ）

A．13 B．10 C．8 D．7


一、单选题
1．（2022·山东临沂·统考中考真题）方程的根是（   ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0

二、填空题
4．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
5．（2020·贵州毕节·统考中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
6．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．

三、解答题
7．（2022·四川凉山·统考中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
8．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．

一、单选题
1．方程的根是（   ）
A． B． C． D．
2．方程的根是（    ）
A． B． C． D．
3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ）
A．∵，∴或
B．∵，∴或
C．∵，∴或
D．∵，∴
4．下列方程适合用因式分解法解的是（    ）
A． B．
C． D．
5．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（　　）
A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．5
6．若x，y都是负数，且，则的值是（    ）
A． B． C．5 D．
7．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ）
A．7 B．10 C．10或11 D．11
8．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为(　　)
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
9．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（    ）
A． B． C． D．
10．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（    ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．一元二次方程的解是________．
12．一元二次方程的解是________．
13．一元二次方程的解为__．
14．关于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数的和为____________．
15．若方程和的解相同，则的值为______．
16．菱形的两条对角线长分别为方程的两个根，则该菱形的周长为______．
17．定义新运算“”，规则：，如，．若的两根为，则_____．
18．已知正整数满足：，则值为___________．

三、解答题
19．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．用因式分解法解下列关于x的方程
（1）                （2）
（3）                  （4）
21．用因式分解法解下列关于x的方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．已知关于的方程．
(1)求证：无论取什么数，方程总有两个实数根；
(2)若已知方程有一个实数根是，试求出另一个实数根．
23．以下是小滨在解方程时的解答过程．
解原方程可化为，
解得原方程的解是．
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
24．已知关于的一元二次方程，其中分别是的边长．
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状；
(2)若是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
25．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：
已知非零实数a，b同时满足等式，求的值．
小白：哈哈！结果为正数．          小青：x，y不一定相等哦．
结合他们的对话，请解答下列问题：
(1)当时，①求x的值．②求的值．
(2)若，则_____________．
26．观察下列各等式：
①
②
③
④
(1)按以上等式规律，请完成第⑤个等式　　；
(2)按以上等式规律，请完成第n个等式　　，并证明这个等式的正确性；
(3)直接写出等式右边等于20201的等式．
27．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．