第12讲 一元二次方程的根与系数的关系(六大题型)-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第12讲 一元二次方程的根与系数的关系

掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

一.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
二.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．


考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值
例1．若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
例2．设方程的两个根为，，则的值是（    ）
A． B． C．2 D．4
考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
例3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（    ）
A．1 B． C．2 D．
例4．已知、是方程的两个实数根，则的值是（    ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
例5．若方程的两个实数根为、，则的值为（    ）
A．7 B．3 C．－5 D．9
例6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则= （   ）
A． B．2 C． D．4
例7．设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（    ）
A． B． C． D．
考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数
例8．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（     ）
A．3或 B． C．3 D．2或
例9．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（    ）
A．3 B．1 C． D．
例10．是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（   ）
A． B．或 C． D．或1
考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
例11．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
例12．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中，
①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小
例13．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（    ）
A． B． C． D．
例14．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B．
C．当时， D．当时，
考点6：解答证明题
例15．已知关于x的方程：．
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值．
例16．关于的一元二次方程：
(1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围；
(2)若、是方程的两根，且．求的值．
例17．已知关于的方程
(1)求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；
(2)若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的．
例18．阅读下列材料并完成练习题：
已知一元一次方程的两个实数根分别为和
∵
∴
对比系数可得：，
类比上面的证明方法：
(1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______．
(2)已知方程，求值：______．
例19．阅读下列材料：
韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则， ．
阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程的两根分别为．求的值．
解：该一元二次方程的判别式，
由韦达定理可得： ，，解答下列问题：
(1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值；
(2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值．

一、单选题
1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（    ）
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
2．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
3．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ）
A．7 B． C．6 D．
4．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
5．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1

二、填空题
6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．
7．（2022·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．
8．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
9．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
10．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．

三、解答题
11．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
12．（2020·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
13．（2019·湖北黄石·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围.
（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.

一、单选题
1．（2023春·八年级单元测试）方程的两根为，，下列各式正确的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022秋·九年级课时练习）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
3．（2023春·八年级课时练习）若是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）
A．4 B．3 C． D．
4．（2023春·八年级课时练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ）
A．0 B．2 C．1 D．－1
5．（2023春·八年级课时练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）
A．2 B． C． D．
6．（2023·全国·九年级假期作业）已知方程的两根分别为、，则的值为（    ）
A．1 B． C．2023 D．
7．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）若关于的一元二次方程（且）与关于的一元一次方程有一个公共解，且方程只有一个解，则（   ）
A． B． C． D．
8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）若方程有两个同号不等的实数根，则m的取值范围（        ）
A． B． C． D．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，，若，则下列等式成立的是（    ）
A． B． C． D．
10．（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ）
A．0 B． C． D．

二、填空题
11．（2022春·八年级课时练习）设分别是一元二次方程的根，填空：
（1）．
___________，___________．
（2）．
___________，___________．
（3）．
___________，___________．
12．（2023春·八年级课时练习）已知是一元二次方程的两根，则________．
13．（2023春·八年级课时练习）若α、β是方程的两个实数根，则_____．
14．（2023·湖北黄冈·校考二模）若实数，分别满足，，且，则的值为______．
15．（2023·江苏·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．
16．（2023·四川成都·模拟预测）若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是___________．
17．（2023·山东日照·统考二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；
18．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．

三、解答题
19．（2020·湖北黄石·统考模拟预测）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0的两个实根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m满足2x1+x2＝m+1，求m的值．
20．（2022秋·陕西安康·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
21．（2020秋·河南许昌·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值
22．（2023·江苏·九年级假期作业）已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
24．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）关于x的一元二次方程：有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，是方程的两根，且，求m的值．
25．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
26．（2023·山西运城·统考一模）阅读下列材料并完成相应任务：
对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
小明给出了一部分解题思路：
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴______，∴______，
∴
请填空并将过程补充完整．
(2)类比应用
一元二次方程的一个根为，则______，另一个根为______．
(3)思维拓展：
关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是，则______．
27．（2021秋·辽宁大连·九年级大连育文中学校考阶段练习）阅读下列材料：
材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，.
材料2：已知实数，满足，，且，求的值.
解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根
根据材料1，得，
∴，.
∴
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若一元二次方程的两个根分别为，，则___________，___________；
(2)已知实数，满足，，且，求的值；
(3)已知实数，分别满足，，且，求的值.
28．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如的两个根分别为，，其中，则是三等分根方程．
(1)试判断是否为三等分根方程，并说明理由．
(2)若，c均为整数）是三等分根方程，且其中一个根为，求b，c的值．
(3)若点在函数的图象上，且关于的一元二次方程是三等分根方程，求的值．