第19讲 平行线分线段成比例（八大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第19讲 平行线分线段成比例

1. 平行线分线段成比例及其推论.
2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.

一、平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立.






要点：
(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：
等等.
（2）有推论可以得出以下结论：

二、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.

作法
1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.


依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式

∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.


考点1：A字三角形
例1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解析】解：，
，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
例2．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ）

A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
即，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
例3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据平行线分线段成比例可得，
代入计算可得：，
即可解EC=2，
故选B．
例4．如图，，，，则的长是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．10
【答案】B
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长．
【解析】解：∵，
∴，即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．
例5．如图，在中，若，，，则的长是______．

【答案】
【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例6．已知：如下图，，，，，则_______．

【答案】8
【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果．
【解析】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式．
例7．如图，在中，，，，则______．

【答案】/0.6
【分析】由平行线分线段成比例性质，直接带入数据即可求出结果．
【解析】∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．
例8．如图，在中，，则的长为 _______．

【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例可得，即，求，根据求即可．
【解析】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
例9．如图，已知：中，．

(1)若，，，求的长；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理,得出，代入数据计算即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理, ，代入数据得出，根据即可求解．
【解析】（1）∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得；
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意灵活选择不同的比例式是解题的关键．
考点2：X字三角形
例10．如图，已知，那么（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴；
∵AO=2，CO=6，BO=3，
∴，
解得：DO=4，
故选B.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例.
例11．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键．
例12．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   )

A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解本题的关键．
例13．如图，，求的长．

【答案】8
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，进而即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考考点．
考点3：类A字三角形
例14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．
【解析】∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
例15．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是(   ).

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到==，用AB等量代换CD，得到==；再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得=，由此可判断A选项中的比例是错误的．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，
∴==，而AB=CD，
∴==；
又∵AF∥BC，
∴=．
故选A．
例16．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为(       )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①∵MN ∥ BC，∴  AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴  AD：DM = AN：NC ，再由（1）得  AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C．
点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
考点4：类X字三角形
例17．如图，若，则有（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案．
解：∵DC∥FE∥AB，
∴OD：OE=OC：OF（A错误）；
OF：OE=OC：OD（B错误）；
OA：OC=OB：OD（C错误）；
CD：EF=OD：OE（D正确）．
故选D．
考点5：A型平行线分线段成比例
例18．如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，则DF的值为（　　）

A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解析】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=6，CE=2，BD=4，
∴ 即，解得DF=．
故选：B．
【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
例19．如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例逐项判断即可．
【解析】∵，
∴，，
所以A，D，不正确；C正确．
B中的线段不是对应线段，所以不正确.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分得的线段中，对应线段成比例是解题的关键．
例20．如图，，下面等式成立的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，，然后根据比例的性质对各选项进行判断．
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴，，
∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE；CE•BF=AE•DF．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
考点6：X型平行线分线段成比例
例21．如图，，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
例22．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，DF=15，则DE=（　　）

A．3 B．6 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解析】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∵DF＝15，
∴DE＝6，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
考点7：由平行线分线段成比例判断平行或求值
例23．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】解：∵，
∴，
观察选项可知，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
例24．已知：，，，则满足关系式的图形是（　　）
A．   B．   C．   D．  
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可
【解析】解：，即
A、∵，
∴，即，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，即，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，即，故此选项符合题意；
D、∵，
∴，即，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
考点8：平行线分线段成比例拓展
例25．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解析】解：对A、B选项．∵，，
∴，
∴，，故AB正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，而，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
例26．如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确；
B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确；
C．根据，，即可判断C错误；
D．根据，，即可判断D正确．
【解析】解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C错误，符合题意；
D．∵，，
∴，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
例27．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【解析】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
例28．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例，逐一进行判断即可；
【解析】A、∵，∴；选项正确，不符合题意；
B、∵，∴；选项正确，不符合题意；
C、∵，∴；选项错误，符合题意；
D、∵，∴；
∵，∴；
∴；选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键．
例29．如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．
【解析】解：A、，
由平行线分线段成比例定理可得，
，
，
，
，
，即，
，，
由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，
，故该选项正确，不符合题意；
B、，
，
，
，
，
为的中点，
，
，故该选项正确，不符合题意；
C、，
由平行线分线段成比例定理可得，
，，
由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，
，故该选项正确，不符合题意；
D、，
由平行线分线段成比例定理可得，
，
由平行线分线段成比例定理可得，
只有当为中点时，即时，
由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．

一、单选题
1．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，在中，，，若，则（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【解析】解： ，，

，

解得：经检验符合题意
故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．
2．（2023·全国·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【解析】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
3．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC=DE：EF，再求出答案即可．
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB：BC=2：3，EF=9，
∴2：3= DE：EF，
∴DE=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题的关键．
4．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
【解析】解：∵DE//AB，
∴
∴的值为．
故答案为A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
5．（2020·四川成都·统考中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【解析】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．（2019·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（    ）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【解析】解：如图，过O作，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又，



设，又，



，

故选B．

【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．

二、填空题
7．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．

【答案】3
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．
【解析】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．
8．（2020·吉林·统考中考真题）如图，．若，，则______．

【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【解析】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

三、解答题
9．（2018·湖南永州·中考真题）如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD．矩形DFGI恰好为正方形．

（1）求正方形DFGI的边长；
（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？
（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．
【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4．
【分析】(1)由HI∥AD，得到，求出AD即可解决问题；
(2)如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；
(3)如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题.
【解析】(1)∵HI∥AD，
∴，
∴，
∴AD＝6，
∴ID＝CD﹣CI＝2，∴正方形的边长为2；
(2)三角形，理由如下：
如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．

∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P，
∵HG′∥PA，
∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P，
∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′，
∴IH＝IG′＝DF′＝3，
∵IG∥DB，∴，
∴，∴DB＝3，
∴DB＝DF′＝3，∴点B与点F′重合，
∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，
∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形；
(3)如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．

∵∠MDN＝∠NDF+∠MDI′＝∠NDF′+∠DF′R＝∠NDR＝45°，
∵DN＝DN，DM＝DR，
∴△NDM≌△NDR，
∴MN＝NR＝NF′+RF′＝NF′+MI′，
∴△MNG′的周长＝MN+MG′+NG′＝MG′+MI′+NG′+F′R＝2I′G′＝4．
【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及了矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

一、单选题
1．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(        )

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵DEBC，
∴，
故选C．
【点睛】考点：平行线分线段成比例．
2．中，直线交于，交于点，那么能推出的条件是（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出图像证明△ABC∽△ADE即可解题.
【解析】解：见下图,当时,
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,作出图像,熟悉相似三角形的判定方法是解题关键.
3．如图，已知：AB、CD相交于点O，由下列哪一组条件可以推出AC∥BD（      ）

A．， B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的性质解答即可．
【解析】解：由 ，才能得出AC∥DB，
A、=，不能得出AC∥DB，错误；
B、，不能得出AC∥DB，错误；
C、∵，∴，∴，
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD
∴∠C=∠D
∴AC∥DB，正确；
D、，不能得出AC∥DB，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，则＝(　　)

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解析】解：∵，
∴，
∵a∥b∥c，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
5．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，BE的延长线交AD于点G，且，则下列结论中错误的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】根据，可得＝，，即可判断ABC选项，根据，可得△AFD∽△CFH，根据平行线分线段成比例可得＝，即可判断D选项．
【解析】解：∵，
∴
∴＝，，
∴A选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；B选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴＝，D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找出对应边是解题的关键．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（  ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由题意易得AB=3，然后根据平行线所截线段成比例直接求解即可．
【解析】解： AH=2，HB=1，BC=5，
AB=3，
，
；
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
7．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（   ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线所截线段成比例直接判断即可．
【解析】如图：

，

只有B选项符合，A、C、D都错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可．
8．如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是，，根据，可得出，即可得出结论．
【解析】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE=BC，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，根据题意得出，是解题的关键．
9．如图，在中，，，已知，则的长是　　

A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG∥EH∥FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长．
【解析】∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，
∴DG∥EH∥FI；
∴，即DG=BC；
同理可得：EH=BC，FI=BC；
∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；
故选B．
【点睛】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用．
10．在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，分别找出对应线段即可得到结论．
【解析】解：∵四边形AFDE是平行四边形，
∴DF∥AC， DE∥AB．
∴．
故A错误；
∵ DE∥AB，
∴．
故B正确；
∵DF∥AC，
∴，．
∴．
故C正确；
∵DF∥AC，DE∥AB，
∴，．
∴．
故D正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能准确找出成比例的对应线段是解题的关键．

二、填空题
11．如图，已知，、交于点，若，则______．

【答案】
【分析】由AE∥BC可知△AED∽△CBD，从而可求得＝，然后即可求得的值．
【解析】解：∵AE∥BC，
∴△AED∽△CBD，
∴，
∴＝，
∴＝，
故答案为
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12．如图，已知，则______，______，______，______．

【答案】 或
【分析】根据，可知AC∥EF∥BD，然后根据平行线分线段成比例定理解答即可.
【解析】∵，
∴AC∥EF∥BD，
∴，，，或.
故答案为 ， ， ，或.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.
13．如图，，如果，那么________．
  
【答案】12
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．
【解析】∵DE∥FG∥BC，
∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，
∵EG=4，
，
．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．

【答案】12
【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．
【解析】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，
∴，
∵AC=18，
∴AF=12．
故答案为12．
【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
15．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.

【答案】
【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【解析】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
【点睛】此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系．
16．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_____．

【答案】6
【分析】利用平行线分线段长比例定理得到=1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．
【解析】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴，
∴DG＝2FG＝2，
∴FD＝2+1＝3，
∴AD＝2FD＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形中位线性质和平行线分线段成比例定理．
17．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是_____．

【答案】
【分析】先利用AB∥EF得到，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根据定理可即求出的值．
【解析】∵AB∥EF，∴，
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴，解得AE=12，
∵AB∥CD，
∴．
故答案为.
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握是解题的关键.
18．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．

【答案】
【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解析】∵
∴AB==10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，

∵是的角平分线，
∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△CBE≌△GBE，
∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，
即，
解得x=3，
∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，，
∴FO∥BC，
∴，
∴即FO=2OE，
∵AD是中线，BC=6，
∴CD=3，
∵FO∥DC，
∴，
∴，
解得OE=，
在直角三角形OEF中，，
∴EF==．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．

三、解答题
19．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD和DB的长．

【答案】AD和DB的长分别为6和9
【分析】首先由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AE：EC=2：3=AD：BD，设AD=2k，BD=3k，再根据DB-AD=3，可得AD和DB的值．
【解析】解：∵DE∥BC
∴ AE：EC=2：3=AD：BD
设AD=2k，BD=3k，则k=3
∴AD=6，BD=9
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意线段的对应关系．
20．已知，如图，在中，，求证：  
  
(1)
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据成比例线段的性质求解即可；
（2）根据成比例线段的性质求解即可．
【解析】（1）证明：∵
∴
∴；
（2）证明：∵
∴，
∴．
【点睛】此题考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握线段成比例的性质．
21．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，．
【答案】(1)平行
(2)平行
(3)不平行
(4)平行

【分析】（1）根据平行线分线段成比例判断即可；
（2）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可；
（3）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可；
（4）根据题意得出，，根据平行线分线段成比例判断即可．
【解析】（1）解：如图所示：
  
∵，
∴；
（2），，
∴；
（3），，
∴不相等，不平行；
（4）∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用是解题关键．
22．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，求的值．

【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式，代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
23．如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值．
  
【答案】
【分析】由，可得，即，得出，由，可得：．
【解析】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出．
24．在中，，，、分别为、的中点，与的延长线交于点，求证：．
  
【答案】见解析
【分析】取的中点，连接，根据是的中位线，是的中位线，，，即可解答．
【解析】解：证明：取的中点，连接，
，，分别是，的中点，
是的中位线，
，又，
，
又，
，即，
，
，
，
．
  
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，比较简单，解题的关键是根据中点判断出中位线，三角形中位线平行且等于第三边的一半．
25．如图，中，过D的直线交，及的延长线于E，F，G．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线分线段成比例即可求证．
【解析】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，截得的对应线段的长度成比例．
26．如图，为对角线上任意一点．求证：．
  
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可证明．
【解析】证明：四边形为平行四边形，
，
，
∴
∴，
．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
27．如图，已知菱形中，，E，F分别在边，上，是等边三角形，对角线交于点M，点N在上，且．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)

【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的判定先证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得证；
（2）连接，由（1）知是等边三角形，先证明，即有，根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，利用易证，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据平行线四边形的性质得出，即可得出答案．
【解析】（1）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）连接，

由（1）知是等边三角形，即，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，即有，
∵，
∴，
∴是等边三角形，即，
∵，
∴，  
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
28．已知：在中，，，E为上一点，连接交于F，过点D作于G，延长交于H
    
(1)如图1，若点E与点C重合，且，求AD的长；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，连接交于M，当M为的中点时，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得，利用平行四边形的性质可得F为中点，在中，由勾股定理可求得，则可求得，在中，再利用勾股定理可求得；
（2）如图2中，在上截取，连接，可先证明，再证明，可证得结论；
（3）如图3中，延长交于点N，作交FN于K，首先证明，再证明，即可解决问题．
【解析】（1）解：如图1中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
、C重合时，
在中，，
，
，，
在中，．
    
（2）证明：如图2中，在上截取，连接，
    
，，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）结论．
理由：如图3中，延长交于点N，作交于K．
  
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．