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第20讲 相似多边形（四大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）
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这是一份第20讲 相似多边形（四大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版），文件包含第20讲相似多边形解析版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx、第20讲相似多边形原卷版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
第20讲 相似多边形
1.相似多边形的有关概念.
2.掌握相似三角形的性质.
一、相似图形及比例线段
相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
二、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
三、相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
考点1：相似图形的判断
例1．下面一定相似的一组图形为（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形．
例2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正八边形都相似
例3．下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．各边对应成比例的多边形是相似多边形
C．等边三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似图形
例4．下列说法正确的有（ ）．
①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：相似多边形的性质及对应性
例5．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，那么这两个多边形叫做_________．相似多边形对应边的比叫做_________．
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角_________，对应边_________．
例6．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ）
A．120° B．87° C．75° D．60°
例7．图中的两个四边形相似，则______．
例8．与是两个相似三角形，，，，则的度数可以是______．
例9．如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
考点3：相似多边形性质的应用
例10．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则__________．
例11．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
例12．如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（ ）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．
A．a＝b B．a C．ab D．ab
考点4：相似多边形性质的动态问题
例13．如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
例14．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
例15．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（2）中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形的面积为 __________ ．
一、单选题
1．（2019·甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3．（2016·山西·中考真题）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
二、填空题
4．（2021·江苏无锡·统考中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
5．（2019·四川内江·统考中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．
一、单选题
1．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形
2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
3．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
6．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）：
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，分别为，与的中点，且矩形矩形，的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
9．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
10．如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字，，，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是________，错误的是________．（填序号）
12．如图，四边形和四边形相似，已知，，，，，，则______，______．
13．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是________.
14．蛋糕店制作两种高度相同的圆柱形蛋糕，一种半径是15cm，一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕能够2个人吃，半径是30cm的蛋糕能够_________个人吃.
15．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
16．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=_________．
17．甲、乙两农户各有两块土地（如图所示），今年这两个农户决定共同投资开发一个新的项目，需要将这四块土地换成一块土地，而这块地的宽为米，为了使换的土地与原四块土地面积和形状相同，交换后的土地的长应该是________米．
18．如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为________________．
三、解答题
19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？
20．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
21．如图，矩形矩形，它们的相似比是2∶3，已知，求，的长．
22．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应．
(1)已知，，，求的度数；
(2)已知，，，，，求四边形的周长．
23．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值．
24．如图，四边形∽四边形
(1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______；
(2)分别求边 BC与边的长度．
25．如图，四边形和四边形相似，，，，，，．
（1）求、的长度；
（2）求、的大小；
（3）若，求四边形和四边形的周长的比．
26．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶
(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？
(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
27．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形”
问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）；
问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______；
（2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”．
问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）；
问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______；
问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示）
问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示）
（3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数）
问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示）
第20讲 相似多边形
1.相似多边形的有关概念.
2.掌握相似三角形的性质.
一、相似图形及比例线段
相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
要点：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
二、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
三、相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
考点1：相似图形的判断
例1．下面一定相似的一组图形为（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形．
例2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正八边形都相似
例3．下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．各边对应成比例的多边形是相似多边形
C．等边三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似图形
例4．下列说法正确的有（ ）．
①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：相似多边形的性质及对应性
例5．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，那么这两个多边形叫做_________．相似多边形对应边的比叫做_________．
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角_________，对应边_________．
例6．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（ ）
A．120° B．87° C．75° D．60°
例7．图中的两个四边形相似，则______．
例8．与是两个相似三角形，，，，则的度数可以是______．
例9．如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
考点3：相似多边形性质的应用
例10．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则__________．
例11．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
例12．如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（ ）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．
A．a＝b B．a C．ab D．ab
考点4：相似多边形性质的动态问题
例13．如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
例14．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
例15．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（2）中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形的面积为 __________ ．
一、单选题
1．（2019·甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3．（2016·山西·中考真题）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
二、填空题
4．（2021·江苏无锡·统考中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
5．（2019·四川内江·统考中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．
一、单选题
1．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形
2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
3．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
6．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）：
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，分别为，与的中点，且矩形矩形，的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
9．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
10．如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字，，，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是________，错误的是________．（填序号）
12．如图，四边形和四边形相似，已知，，，，，，则______，______．
13．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是________.
14．蛋糕店制作两种高度相同的圆柱形蛋糕，一种半径是15cm，一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕能够2个人吃，半径是30cm的蛋糕能够_________个人吃.
15．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
16．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=_________．
17．甲、乙两农户各有两块土地（如图所示），今年这两个农户决定共同投资开发一个新的项目，需要将这四块土地换成一块土地，而这块地的宽为米，为了使换的土地与原四块土地面积和形状相同，交换后的土地的长应该是________米．
18．如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为________________．
三、解答题
19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？
20．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
21．如图，矩形矩形，它们的相似比是2∶3，已知，求，的长．
22．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应．
(1)已知，，，求的度数；
(2)已知，，，，，求四边形的周长．
23．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值．
24．如图，四边形∽四边形
(1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______；
(2)分别求边 BC与边的长度．
25．如图，四边形和四边形相似，，，，，，．
（1）求、的长度；
（2）求、的大小；
（3）若，求四边形和四边形的周长的比．
26．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶
(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？
(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
27．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形”
问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）；
问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______；
（2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”．
问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）；
问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______；
问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示）
问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示）
（3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数）
问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示）
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