第21讲 探索三角形相似的条件及证明（八大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第20讲 探索三角形相似的条件及证明

1. 相似三角形的概念.
2.相似三角形的判定定理.
3. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.

一、相似三角形

在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.









要点：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
二、相似三角形的判定定理
1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似）
要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）


考点1：利用两角相等证明相似
例1．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：．

【答案】见解析
【分析】根据判断两个三角形相似．
【解析】证明：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
例2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得．
【解析】∵，∠B=90°，
∴．
又∵∠C=∠C，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
例3．如图，在中，，且，．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．

【答案】，相似比为
【分析】先利用平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，即可证明△ADE∽△ABC，从而得到相似比．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴相似比．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法．
例4．如图，在中，，于D．
求证：．

【答案】见解析
【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
【解析】证明：∵于D．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．
例5．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．
【解析】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
考点2：利用两边对应成比例及其夹角相等证明相似
例6．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？

【答案】（1）中；（2）中两三角形不相似
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解析】解：（1）∵,
∴;
（2）∵，
∴两三角形不相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键．
例7．如图，P是的边上的一点．

（1）如果，与是否相似？为什么？
（2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？
【答案】（1）相似．因为，；（2）相似，因为，；不相似．因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等．
【分析】（1）直接根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证；
（2）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解．
【解析】解：（1）相似，理由如下：
∵，，
∴；
（2）相似，理由如下：
∵，，
∴；
不相似，理由如下：
因为虽然，但它们的夹角 与 不相等，
所以与不相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
例8．已知：D、E是的边、上的点，，求证：．

【答案】见解析
【分析】根据已知线段长度求出，再根据推出相似即可．
【解析】证明：在和中，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
考点3：利用三边对应成比例证明相似
例9．如图，在中，，D是边上一点，．求证．

【答案】详见解析
【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明．
【解析】证明：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
例10．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（1），，∠A=40°
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1）相似，因为两边成比例，夹角相等；（2）相似，因为三边成比例．
【分析】（1）根据两组边对应成比例且夹角相等判定三角形相似的方法求解即可；
（2）根据三组边对应成比例判定三角形相似的方法求解即可．
【解析】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：1.三组边对应成比例的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似．
例11．如图，．
（1）求，，的值；
（2）证明与相似．

【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）由图可知、的长度，分别代入，，计算即可得本题答案；
（2）由（1）知和对应边成比例，由可知，，；再根据相似三角形的判定定理，对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似，即可判定与相似．
【解析】（1）∵，
∴，，，
即．
（2）由（1）知，，
又∵
∴，，，
∴∽（对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似）．
【点睛】本题主要考查了比例线段及相似三角形的判定定理的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
例12．如图所示的6个三角形中，哪些三角形相似？为什么？

【答案】①与⑤相似，因为三边成比例；其余三角形都不相似，理由见解析．
【分析】由勾股定理解得每个三角形的三条边的边长，再根据两个三角形三条边对应成比例判断两个三角形相似解题．
【解析】解：根据勾股定理，结合图形可知，①的三条边分别为：3，6，；②的三条边分别为：3，3，；③的三条边分别为：4，，；④的三条边分别为：6，8，10；⑤的三条边分别为：4，8，；⑥的三条边分别为：4，，，只有①与⑤相似，因为三边成比例；其余三角形都不相似，
①与⑤相似，因为三边成比例；其余三角形都不相似．
【点睛】本题考查网格与勾股定理、相似三角形的判断等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
例13．如图，已知．求证：．

【答案】
【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到；
【解析】证明：，

在中，
，
,
在中，
在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明．
考点4：相似的传递性
例14．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E．

(1)求证：
(2) ， ．
【答案】(1)见解析
(2)ADG，AFE，ACD

【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
【解析】（1）解：证明：如下图，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又，，，
∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°，
∴ADGAFE，
∴∠3=∠AGD=∠AEF，
∴∠ADC=∠CGD=∠AEB，
又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C，
∴
故答案为：ADG，AFE，ACD．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
考点5：添加一个条件证明相似
例15．如图，已知，相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是_______．（填一个即可）

【答案】（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定解答即可．
【解析】解：补充条件即可；
∵（对顶角），，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
例16．如图，在中，为上的一点，补充条件，能使，这个条件可以是_________．（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）
【分析】和有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．
【解析】解：，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用和的公共角是关键．
例17．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝_________时，△ABC与△DEF相似．
【答案】或
【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE两种情况进行讨论．
【解析】解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，
∴当△ABC∽△DEF时，＝，即，
解得：DF＝2；
当△ABC∽△DFE时，＝，
即，
解得：DF＝4.5．
综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似．
故答案为：2cm或4.5cm．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
例18．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ）

A．平分 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【解析】解：A选项，若平分，则，又，满足两组对角相等，可以判定和相似，不合题意；
B选项，若，又，满足两组对角相等，可以判定和相似，不合题意；
C选项，若，则，两组对应边成比例，但两边的夹角不相等，不能判定和相似，符合题意；
D选项，若，又，满足两组对应边成比例且两边的夹角相等，可以判定和相似，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
例19．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可．
【解析】∵，
∴，
A.若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B.添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C.添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，项符合题意；
D.添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键．
例20．如图，要使，需要具备的条件是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目中隐含条件∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例性质即可推出答案．
【解析】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
考点6：判断三角形相似
例21．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定条件分别判断即可；
【解析】根据图形可知，，，
∴，
∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得C中的图形与相似；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定条件，结合三角形内角和定理计算是解题的关键．
例22．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解析】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
例23．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ）
A．，，
B．，，，，，
C．，，，，
D．，，，，，
【答案】D
【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可．
【解析】解：A、∵,，，
∴，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
B、∵，，，，，，
∴
∴，故此选项不符合题意；
C、∵，，，，
∴，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
考点7：三角形相似有关比例变形式
例24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．
【解析】解：①∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵，
∴，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
故①符合题意；
②∵AB•CD=AC•AD，
∴，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠ABD=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠BAC=90°，
故②符合题意；
③∵，
∴，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
故③符合题意；
④由不能证明△ABC与△ABD相似，
故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
考点8：三角形相似的证明综合题
例25．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：
  
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）先判断出，再利用角平分线判断出，即可得出结论；
（2）由三角形的内角和定理可求，可得结论．
【解析】（1）证明：由旋转可知：，
．
平分，
，
，
，
；
（2）证明：，，
．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
例26．如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)求的度数；
(2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结．
①证明：；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，，即可得的度数；
（2）①由题意可得，由等腰三角形的性质可得，，进而可得，可证，易得，可得，可证结论；
②延长至，使得，先证，进而可证，可得，是等腰直角三角形，可得结论．
【解析】（1）解：设，
∵，
∴，
由旋转可知，，，
∴
∴，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，，则
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②证明：延长至，使得，

∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

一、单选题
1．（2018·浙江杭州·中考真题）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
2．（2015·湖北荆州·统考中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
【答案】D
【解析】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．

二、填空题
3．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．

【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【解析】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

三、解答题
4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．

【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【解析】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．

【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．
【解析】解：若选①，
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②，不能证明．
若选③，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

一、单选题
1．下列能判定的条件是(      )
A． B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】根据两三角形相似的判定方法之一：两边对就成比例，且夹角相等，两三角形相似.
【解析】A只有两边对就成比例，不能判定相似；
B.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
C有两对应成比例，但相等的两角一个是夹角，一个却是一边的对角，所以不能判定；
D有两边对就成比例，相等的两角一边的对角，所以也不能判定两三角形相似．
故选：B.
【点睛】利用两边对边成比例且夹角相等判定两三角形相似来判定两三角形相似的关键在于能正确的找到成例的两条线段的夹角．
2．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（     ）

A．AB∥CD B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解析】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
3．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
【解析】解：∵∠BAC=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
4．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（   ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
【解析】解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，

①

，


，
故①是不正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．
5．下列说法中，正确的是（    ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．
A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.
【答案】B
【分析】根据三角形相似的判定判定即可；
【解析】①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．
6．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（    ）

A． B．平分
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A；结合角平分线的定义可判断B；结合直角三角形两个锐角互余可判断C；D选项没有条件可判断和相似．
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，故A能判断，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，
∴，故B能判断，不符合题意；
∵
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，故C能判断，不符合题意；
∵，结合题意没有满足使和相似的条件，
∴不能判断，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
7．含角的直角三角板与含角的直角三角板如图放置，它们的斜边与斜边相交于点E．下列结论正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．
【解析】解：由图可知：，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
8．张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　）
已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：．
证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴．

A．③②④①⑤ B．②④①③⑤ C．③①④②⑤ D．②③④①⑤
【答案】B
【分析】由，，得出，，证出．
【解析】证明：②∵，
④∴，
①又∵，
③∴，
⑤∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．
9．如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D．
【解析】∵，，
∴，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，，
∴， 故C正确，不符合题意；
在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
【解析】解：如图①，，时，．

如图②，，，则，故；

如图③，，，则，故△；

如图④，，，则△．

故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似．

二、填空题
11．如图，已知，则_______，理由是______．

【答案】 ABC 两角分别对应相等的两个三角形相似
【分析】结合相似三角形的判定即可求解．
【解析】解：
（两角分别对应相等的两个三角形相似）
故答案是：①ABC；②两角分别对应相等的两个三角形相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，属于基础知识理解题型，难度不大．相似三角形的判定可以和全等三角形的判定类比学习；全等强调边相等，而相似强调边成比例．
12．如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽．

【答案】
【分析】运用“两角对应相等，两三角形相似”进行解答.
【解析】若∠1=∠B，因∠A是公共角，可证明∽；若∠2=∠ACB，因∠A是公共角，可证明∽.
【点睛】本题考查了有两角对应相等的三角形相似.
13．的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
【解析】解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
14．如图，若，则．

【答案】DE
【分析】结合相似三角形的性质即可求解
【解析】解：
（相似三角形对应边成比例）
故答案是：DE
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，属于基础理解题，难度不大．解题的关键是掌握相似三角形的性质和相似三角形顶点的对应关系．注意：在相似三角形中，用相似符号（）连接的两个三角形，则相同位置的顶点是对应顶点．
15．如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是________（写出一个即可）．

【答案】或
【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
【解析】解：添加，
∵，
∴；
添加，
∵，，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．
16．如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是_______．(填序号)

【答案】①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可．
【解析】解：∵,
∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故①满足题意；
∵,
∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故②满足题意；
∵
∴
∴根据 “两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故③满足题意；
∵，而与不一定相等，故④不满足题意，
∴综上可得：①②③符合题意．
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
17．如图，在中，，则图中相似三角形共有______对．

【答案】6
【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF、△AGH、△AIJ和△ABC任意两个三角形都相似．
【解析】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似．
∴相似三角形共有6对．
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键．
18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
【答案】145
【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.
【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.

【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.

三、解答题
19．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
（l），，，
，，；
（2），，，
，，．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，，即可推出，由此即可得到答案；
（2）由题意可以证明，再由，即可证明．
【解析】解：（1）∵，，，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法．
20．如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？

【答案】和'相似，理由见解析
【分析】根据三角形相似的判定计算判定即可．
【解析】和相似．理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法解题的关键．
21．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．

求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【解析】证明：AD＝1，AB＝3，AC＝
，  
    
又
∽
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
22．如图，在中，，，，．

（1）求证：∽；
（2）求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，，从而可得到∽；
（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，从而可得到EC的长度．
【解析】（1）∵，
∴，，
∴∽；
（2）∵∽，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.
23．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
24．如图，在四边形中，，，．求证：∽．

【答案】见解析.
【分析】由平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，结合∠A＝∠BDC＝90°，从而可得到△ABD∽△DCB．
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∽．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.
25．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
26．如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)求的度数；
(2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结．
①证明：；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析

【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，，即可得的度数；
（2）①由题意可得，由等腰三角形的性质可得，，进而可得，可证，易得，可得，可证结论；
②延长至，使得，先证，进而可证，可得，是等腰直角三角形，可得结论．
【解析】（1）解：设，
∵，
∴，
由旋转可知，，，
∴
∴，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，，则
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②证明：延长至，使得，

∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
27．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP

（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：△ADP∽△BDF；
（3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1，
【分析】（1）根据SAS证明即可；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；
（3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题．
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠FCH＝45°，
∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°，
∴∠FCH＝∠H＝45°，
∴CF＝FH＝AE，
∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，
∴△APE≌△HPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EP＝PF，
∴∠EDP＝∠FDP＝45°，
∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，
∴∠ADP＝∠BDF，
∵∠DAP＝∠DBF＝45°，
∴△ADP∽△BDF；
（3）如图2中，作PH⊥BC于H．
∵∠ACB＝45°，PC＝，
∴PH＝CH＝1．
由（2）得：BE＝PE＝PF，
∴BE＝EF，
∴∠BFE＝30°，
∴PF＝2，
∴HF＝，
∴CF＝﹣1，

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键．