第22讲 相似三角形的性质与判定（八大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第22讲 相似三角形的性质与判定

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.

一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则







要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
二、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点：测量旗杆的高度的几种方法：







平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
　　
要点：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．



考点1：根据相似三角形的性质求三角形的相关参数
例1．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（    ）
A． B．
C． D．
例2．相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为______．
例3．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．
例4．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．
例5．与的相似比为1：4，则与的周长比为（    ）．
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
考点2：相似三角形的应用（利用相似三角形测高）
例6．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（    ）

A． B． C． D．
例7．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（    ）

A． B． C． D．
例8．中国教育家孔子周游列国年，其中年居卫卫国即现在的濮阳，龙湖论语广场有一尊孔子雕像，数学兴趣小组的同学为了测量雕像的高度顶端到水平地面的距离，在雕像旁边的水平地面上处放了一面镜子平面镜的厚度忽略不计，组长小丽沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到雕像的顶端，此时测得米，米，小丽的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度______米．

考点3：利用相似三角形的性质求解平行问题
例9．如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ）

A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
例10．如图，已知E、F分别是△ABC中AB、AC边上的点，，且AE：AB＝3：5，那么为（　　）

A．3：5 B．3：25 C．9：25 D．9：16
例11．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______．

例12．如图，在中，中线，相交于点O，连接，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点4：网格问题
例13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是 _____．

考点5：分类讨论问题
例14．如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________．

考点6：最值问题
例15．如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（   ）
  
A． B． C．17 D．18
考点7：相似三角形的性质与判定综合问题
例16．的边上有三点，各点位置如图所示，若，，，，，，则四边形与的面积比为（    ）
  
A． B． C． D．
例17．如图，为等边三角形，在边上分别任取一点，使得，连接相交于点，现有如下两个结论：①；②若，则；下列判断正确的是（　　）
  
A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错
例18．如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（    ）
  
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点8：相似三角形的性质与判定解答证明题
例19．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，
  
(1)求证：
(2)若，求证：
例20．如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．
  
(1)求证：；
(2)在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．
求证：
①；
②．

一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（    ）
  
A． B． C． D．
3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）
  
A． B． C． D．
4．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）
  
A． B． C． D．
5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．

二、填空题
6．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．
  
7．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．

三、解答题
8．（2018·陕西·统考中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．



9．（2023·福建·统考中考真题）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．
  
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若是的中点，如图2．求证：．

一、单选题
1．在△ABC中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(    )
A．2 B． C．4 D．2
2．在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则下列等式中错误的是（    ）
A．AC﹒BC=AB﹒CD B．AC﹒BD=BC﹒AD
C．AC2=AB﹒AD D．CD2=AD﹒BD
3．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于                                                             （　　）

A． B． C． D．
4．如图，在中，，垂直平分，延长至点D，使，连接．若，则等于（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，已知在中，，，则下列比例式中正确的个数为（    ）
①    ②   ③   ④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，、是的两条高，、相交于，则下列结论不正确的是（    ）．

A．∽ B．∽
C．∽ D．∽
7．如图，已知的面积是12，，点，分别在边，上，在边上依次作了个全等的小正方形，，，，，则每个小正方形的边长为（  ）

A． B． C． D．
8．如图，矩形中，，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（    ）

A． B． C． D．
9．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（    ）个．
①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，若，，则为（  ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．已知∽，它们的面积比为，则对应角的角平分线的比等于______．
12．如果的三边长分别是3、4、5，与其相似的的最长边为15，那么的周长是______.
13．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为______米．

14．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝_____．

15．如图，点E是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点F，若，则_______．

16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________．

17．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是_____．

18．如图，边长为的正方形中，点是上一点，点是上一点．点关于直线的对称点恰好在延长线上，交于点．点为的中点，若，则=_____．


三、解答题
19．如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF的边EF上的高和面积．

20．如图，在和中，G，H分别是边和的中点，已知．

（1）中线与的比是多少？
（2）与的面积比是多少？
21．如图，与相似，AD，BE是的高，，是的高，求证．

22．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．

23．如图，在中，点D，E分别在边和上，且．

（1）若，则等于多少？
（2）若，则，各等于多少？
24．如图，已知，．

（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求的度数．
25．已知：如图，是等边三角形，点、分别在，上，且，、相交于点，求证：

（1）；
（2）．
26．如图，、、是全等的三个等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，，连接交、、分别为P、Q、R．

（1）试证
（2）求．
27．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
28．如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接．
  
(1)若，求点D到边的距离；
(2)如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：；
(3)如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．