第23讲 图形的位似（七大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第23讲 图形的位似

1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；
2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.

一、位似多边形
1.位似多边形定义:
如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　　第四步：顺次连接各对应点.
要点：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.


二、坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
要点：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.


考点1：位似图形的有关概念
例1．在平面直角坐标系中，把一个多边形的所有顶点坐标（其中有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别乘以所对应的图形与原图形是（    ）
A．位似变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．平移变换
例2．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_______.
例3．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（    ）

A．2 B．3 C．4 D．1
例4．如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．总与位似
B．与不会位似
C．当点D落在上时，与位似
D．存在的两个位置使得与位似
考点2：位似中心
例5．图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（  ）

A．点A B．点 C．点 D．点
例6．如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点
考点3：位似图形的性质
例7．已知，如图，，，且，则与__________是位似图形，位似比为____________.

例8．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是点________．
  
例9．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ）

A． B． C． D．
考点4：求位似图形的有关坐标
例10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将缩小，则点A的对应点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
例11．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，且与的相似比为的位似图形，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）

A． B． C．或 D．或
例12．如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短为线段，其中点与点对应，点与点对应，且在y轴右侧，则点的坐标为________.

例13．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示）
  
考点5：求位似图形的有关比值或数值
例14．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形的面积与四边形的面积之比为（    ）

A． B． C． D．
例15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图．正方形的面积为1，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为______．

例16．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(4，0)，O(0，0)，B(2，6)，以点O为位似中心，将△AOB在第一象限缩小，若点B的对应点的坐标(1，3)，则的比值为_________．

例17．如图，四边形的顶点为坐标原点，以为位似中心，作出四边形与四边形位似，若，的对应点为，四边形的面积为27，则四边形的面积为__________．

考点6：位似图形的坐标变换，规律性问题
例18．如图，在平面直角坐标系中，正方形，，关于原点O位似，其中点B，，，都在x轴上，点在上，在上．依此方式，继续作正方形，若点坐标为，则点的坐标为______．
  
例19．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为1：2；再以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为以此类推，则点的坐标为_______．
    
考点7：位似图形的解答题
例20．如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
  
(1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐标________；
(2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出在y轴左侧的位似图形，且与的相似比为；
(3)在（2）中，若边上的一点的坐标为，则点在在上的对应点的坐标为________．

一、单选题
1．（2022·重庆·统考中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ）

A．4 B．6 C．9 D．16
2．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（    ）

A． B． C． D．
3．（2020·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（    ）

A． B．2 C．4 D．
4．（2020·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
  
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
5．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）
  
A． B． C． D．

二、填空题
6．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．
    
7．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________．
  

三、解答题
8．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
  
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．

一、单选题
1．在下列图形中，不是位似图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（    ）
A．位似中心一定在图形的外部 B．位似中心一定在图形的内部
C．位似中心可能在图形的一个顶点上 D．位似中心只能在图形的外部或内部，不可能在图形的一个顶点上
3．如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（    ）

A．点M B．点N C．点O D．点P
4．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ）

A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，以为位似中心，与位似，若点的对应点的坐标为（0，－6），则点的对应点坐标为（      ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
7．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法正确的有（    ）个

①
②
③点A，O，三点在同一条直线上
④
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点的坐标为(   )

A． B． C．或 D．或
9．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝___．

12．如图，△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A（1 , 2）在第一象限的对应点A1的坐标是______．

13．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点C的坐标为_______________．

14．已知点、的坐标分别为、，以原点为位似中心，按相似比把△缩小，则点的对应点的坐标为__________．
15．以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，现已知，，五边形的周长为，那么五边形的周长是 _____．
16．如图,点是正三角形的中心,分别是的中点,则与是位似三角形,此时与位似中心是 ,位似比为 .

17．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，把按相似比缩小，得到．若点A的坐标为，则第一象限内点C的坐标为______．

18．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.
  
（1）与位似的三角形是______；
（2）已知的面积是3，则的面积为______．

三、解答题
19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．

(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；
(2)求出△A'B'C'的面积．
20．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；
(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．
21．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
(3)填空：点A2的坐标 ；△ABC与△A2B2C2的周长比是 ．
22．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先以格点为位似中心，把线段缩小为原来的，画出对应线段，再画点绕点逆时针旋转90°的对应点；

(2)在图2中，是边上一点，先画点，使，，再在上画点，使．

23．（1）【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片（）（图），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到．
请证明是等边三角形．
（2）【数学思考】
如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形．他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
（3）【问题解决】
已知矩形一边长为，另一边长为．对于每一个确定的的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围．
24．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．
  
(1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号）
(2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求；
(3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：．