人教版九年级数学上册 一元二次方程 单元试题二（含答案解析）

这是一份人教版九年级数学上册 一元二次方程 单元试题二（含答案解析），共16页。
人教版九年级上册数学 一元二次方程 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．方程是关于的一元二次方程， 则　　
A ． B ． C ． D ．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是　　
A．3， B．3，1 C．，1 D．3，6
3．下列方程中有一个根为的方程是　　
A ． B ． C ． D ．
4．关于的方程无实数根， 那么满足的条件是　　
A ． B ． C ． D ．
5．一元二次方程配方后可化为　　
A ． B ． C ． D ．
6．一元二次方程的根是　　
A． B． C． D．
7．一元二次方程的解是　　
A ．， B ．，
C ．， D ．，
8．一元二次方程的根的情况是　　
A ． 有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根
C ． 没有实数根 D ． 无法判断
9．方程和方程中所有的实数根之和是　　
A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8
10．某超市一月份的营业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为，则由题意列方程为　　
A ． B ．
C ． D ．
二．填空题（共8小题）
11．若是关于的一元二次方程， 则的值为　　．
12．已知是关于的方程的一个根， 则　　
13．一元二次方程的两实根是，，则　　，　　．
14．一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程的根， 则三角形的周长为　　 ．
15．已知关于的一元二次方程有实数根， 则的取值范围是　　．
16．若关于的一元二次方程有一个根为 0 ，则另一个根为　　．
17．如图所示， 点阵的层数用表示， 点数总和用表示， 当时， 则　　．

18．如图， 在长为，宽为的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化， 要使绿化面积为，则道路的宽应为　　．

三．解答题（共8小题）
19．解下列方程
（1）
（2）
（3）

20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 求的取值范围 ．






21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答．







22．已知方程．
（1）当为何值时，它是一元二次方程？
（2）当为何值时，它是一元一次方程？









23．小刚在做作业时， 不小心将方程的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 ．






24．已知关于的一元二次方程．
（1） 若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；
（2） 求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．








25．某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 ． 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 ．
（1） 若售价上涨元， 每月能售出　　个排球 （用的代数式表示） ．
（2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 ．








26．列一元二次方程解应用题
某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 ． 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 ．
（1） 求每个月增长的利润率；
（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．方程是关于的一元二次方程， 则　　
A ． B ． C ． D ．
【分析】根据一元二次方程的定义， 得到关于的不等式， 解之即可 ．
【解答】解： 根据题意得：
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义， 正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键 ．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是　　
A．3， B．3，1 C．，1 D．3，6
【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可．
【解答】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数分别是3，．
故选：．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．下列方程中有一个根为的方程是　　
A ． B ． C ． D ．
【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断 ．
【解答】解： 当时，，所以不是方程的解；
当时，，所以不是方程的解；
当时，，所以不是方程的解；
当时，，所以是方程的解 ．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．
4．关于的方程无实数根， 那么满足的条件是　　
A ． B ． C ． D ．
【分析】方程左边是一个式的平方， 根据平方的非负性， 得关于的不等式， 求解不等式即可 ．
【解答】解： 当时， 方程无解 ．
即．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法， 运用直接开平方法， 等号的另一边必须是非负数 ．
5．一元二次方程配方后可化为　　
A ． B ． C ． D ．
【分析】先表示得到，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可 ．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法： 将一元二次方程配成的形式， 再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法 ．
6．一元二次方程的根是　　
A． B． C． D．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的两个实数根，
即．
故选：．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①；②．
7．一元二次方程的解是　　
A ．， B ．， C ．， D ．，
【分析】先把方程化为一般式， 然后利用因式分解法解方程 ．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ．
8．一元二次方程的根的情况是　　
A ． 有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根
C ． 没有实数根 D ． 无法判断
【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出△，进而可得出方程有两个不相等的实数根， 此题得解 ．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根 ．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式， 牢记“当△时， 方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 ．
9．方程和方程中所有的实数根之和是　　
A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8
【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出两方程均有两个不相等的实数根， 再利用根与系数的关系可求出每个方程的两根之和， 将其相加后即可得出结论 ．
【解答】解：方程的根的判别式△，
方程有两个不相等的实数根， 两根之和为 2 ；
方程的根的判别式△，
方程有两个不相等的实数根， 两根之和为 4 ．
，
两方程所有的实数根之和是 6 ．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系， 牢记两根之和等于是解题的关键 ．
10．某超市一月份的营业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为，则由题意列方程为　　
A ． B ．
C ． D ．
【分析】设平均每月增长率为，由一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 即可得出关于的一元二次方程， 此题得解 ．
【解答】解： 设平均每月增长率为，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．
二．填空题（共8小题）
11．若是关于的一元二次方程， 则的值为　 1 　．
【分析】本题根据一元二次方程的一般形式， 即可得到，即可求得的值 ．
【解答】解： 依题意得：，
解得．
故答案是： 1 ．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念 ． 只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程， 一般形式是（且．
12．已知是关于的方程的一个根， 则　 10 　
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算 ．
【解答】解：是关于的方程的一个根，
，
，
．
故答案为 10 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．
13．一元二次方程的两实根是，，则　 5 　，　　．
【分析】根据根与系数的关系结合方程的两实根是，，可求出，的值， 此题得解 ．
【解答】解：一元二次方程的两实根是，，
，．
故答案为： 5 ；．
【点评】本题考查了根与系数的关系， 牢记“两根之和等于，两根之和等于”是解题的关键 ．
14．一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程的根， 则三角形的周长为　 12 　．
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为 4 ，从而得到计算三角形的周长 ．
【解答】解：，
，
或，
所以，，
而，
所以三角形第三边的长为 4 ，
所以三角形的周长为．
故答案为 12 ．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ． 也考查了配方法解一元二次方程 ． 也考查了三角形三边的关系 ．
15．已知关于的一元二次方程有实数根， 则的取值范围是　且　．
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根， 计算根的判别式， 得关于的不等式， 求解即可 ．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
则△，且．
解得且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 ． 题目难度不大， 解题过程中容易忽略条件而出错 ．
16．若关于的一元二次方程有一个根为 0 ，则另一个根为　　．
【分析】先把代入方程得到满足条件的的值为，此时方程化为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后求出即可 ．
【解答】解： 把代入方程得方程，解得，，
而，
所以，
此时方程化为，
设方程的另一个根为，则，解得，
所以方程的另一个根为．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系： 若，是一元二次方程的两根时，，．
17．如图所示， 点阵的层数用表示， 点数总和用表示， 当时， 则　 11 　．

【分析】由等差数列的求和公式结合，即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论 ．
【解答】解： 根据题意得：，
化简得：，
解得：，（舍 去） ．
故答案为： 11 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．
18．如图， 在长为，宽为的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化， 要使绿化面积为，则道路的宽应为　 2 　．

【分析】设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为米的长方形， 根据矩形的面积公式结合绿化面积为，即可得出关于的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 ．
【解答】解： 设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为米的长方形，
根据题意得：，
整理得：，．
，
，
．
故答案为： 2 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．
三．解答题（共8小题）
19．解下列方程
（1）
（2）
（3）
【分析】（1） 利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2） 利用因式分解法解方程；
（3） 先变形为，然后利用因式分解法解方程 ．
【解答】解： （1），
，
，
，
所以，；
（2），
或，
所以，；
（3），
，
或，
所以，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ． 也考查了配方法解一元二次方程 ．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 求的取值范围 ．
【分析】计算根的判别式△， 由题意得到关于的不等式， 求解即可 ．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△
即，
．
【点评】本题考查了根的判别式， 题目比较简单 ． 根的判别式△．
21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答．
【分析】将原方程去括号化成方程的一般形式后求解即可．
【解答】解：去括号得：
，
移项、合并同类项得：
，
解得：．
【点评】本题考查了方程的解法，解题的关键是能够利用完全平方公式和平方差公式化简，难度不大．
22．已知方程．
（1）当为何值时，它是一元二次方程？
（2）当为何值时，它是一元一次方程？
【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【解答】解：（1）方程为一元二次方程，
，
解得：，
所以当为或时，方程方程为一元二次方程；
（2）方程为一元一次方程，
或
解得，或，
故当为2或时，方程方程为一元一次方程．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
23．小刚在做作业时， 不小心将方程的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 ．
【分析】把代入方程，得到关于的一元一次方程， 解之即可 ．
【解答】解： 把代入方程得：
，
解得：，
答： 被覆盖住的数是 14 ．
【点评】本题考查一元二次方程的解， 正确找出等量关系， 列出一元一次方程是解题的关键 ．
24．已知关于的一元二次方程．
（1） 若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；
（2） 求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．
【分析】（1） 把代入方程可求得的值， 再解方程可求得另一根；
（2） 根据方程的系数结合根的判别式， 即可得出△，由此可证出不论取何值， 方程必有两个不相等的实数根 ．
【解答】（1） 解： 把代入方程可得，
解得，
当时， 原方程为，
解得，，
即方程的另一根为 2 ；

（2） 证明：，，，
△，
不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系 ． 一元二次方程的根与系数的关系为：，． 也考查了根的判别式 ．
25．某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 ． 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 ．
（1） 若售价上涨元， 每月能售出　　个排球 （用的代数式表示） ．
（2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 ．
【分析】（1） 由销售数量上涨价格， 即可得出结论；
（2） 设每个排球降价元， 则 11 月份可售出该种排球个， 根据月利润单件利润月销售数量， 即可得出关于的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 ．
【解答】解： （1） 根据题意得：．
故答案为：．
（2） 设每个排球降价元， 则 11 月份可售出该种排球个，
根据题意得：，
解得：，．
当时， 销量为，适合题意；
当时， 销量为，舍去 ．
．
答： 每个排球的售价为 37 元 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．
26．列一元二次方程解应用题
某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 ． 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 ．
（1） 求每个月增长的利润率；
（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？
【分析】（1） 设每个月增长的利润率为，根据 1 月份及 3 月份该公司的纯利润， 即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论；
（2） 根据 4 月份该公司的纯利润月份该公司的纯利润增长率） ，即可求出 4 月份该公司的纯利润 ．
【解答】解： （1） 设每个月增长的利润率为，
根据题意得：，
解得：，（不 合题意， 舍去） ．
答： 每个月增长的利润率为．
（2）（万 元） ．
答： 4 月份该公司的纯利润为 23.1525 万元 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．