人教版九年级数学上册 一元二次方程 单元试题四（含答案解析）

这是一份人教版九年级数学上册 一元二次方程 单元试题四（含答案解析），共10页。
一元二次方程 单元检测题
一、单选题
1．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A． x2+3x+1=0 B． =-1 C． x2+2x+3=0 D．
2．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）
A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定
4．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
5．下列一元二次方程中，没有实根的是(　　)
A． x2＋2x－3=0 B． x2＋x＋=0 C． x2＋x＋1=0 D． －x2＋3=0
6．若方程(k－1)x2＋x=1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是(　　)
A． k≠1 B． k≥0 C． k≥0且k≠1 D． k为任意实数
7．如果关于x的方程x2-ax+a2-3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（　　）
A． -2＜a＜2 B． ＜a≤2 C． −＜a≤2 D． −≤a≤2
8．如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　)

A． B． 4 C． 5 D． 6


9．有x支球队参加 比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． x（x-1）=45 B． x（x+1）=45 C． x（x+1）=45 D. x（x-1）=45
10．“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是( )
A． x(x+1)=210 B． x(x-1)=210 C． 2x(x-1)=210 D． x(x-1)=210
11．一元二次方程 的实数根为（    ）
A． 没有实数根 B． x1=-4,x2=1 C． x1=4,x2=-1 D． x1=-4,x2=-1
二、填空题
12．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．
13．已知方程(k-2)x -3x+5=0有两个实数根，则k的取值范围_______
14．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC是 ____三角形．
16．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
三、解答题
17．已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求m的值.










18．关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+(c-a)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状并说明理由；
（2）已知a:b:c=3:4:5,求该一元二次方程的根.










19．当m为何值时，一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1=0：
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根．












20．已知关于的方程
（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足,求实数k的值.











21．已知关于的一元二次方程的一根为2．
（1）用含的代数式表示；
（2）试说明：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
参考答案
1．A
【解析】根据一元二次方程根的判别式可知：
A、由方程知a=1，b=3，c=1，所以△= b2-4ac=9-4=5＞0，有两个不相等的实数根，故正确；
B、根据算术平方根的意义，可知结果不能为负，故不正确；
C、由方程知a=1，b=2，c=3，所以△= b2-4ac=4-12=-8＞0，无实数根，故不正确；
D、解分式方程，去分母得x=1，当x=1时，x-1=0，原分式方程无解，故不正确.
故选：A.
2．B
【解析】设这个航空公司共有飞机场共有x个．
x（x−1）=15×2，
解得x₁=6，x₂=−5（不合题意，舍去）．
答：这个航空公司共有飞机场共有6个．
故选：B．
3．A
【解析】∵在一元二次方程中， ，
∴△=，
∴原方程有两个不相等的实数根.
故选A.
4．B
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴，∴，解得：a＞-5且a≠-1．故选B．
点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5．C
【解析】选项A：∵△=b 2 -4ac=2 2 -4×1×（-3）=16＞0，∴有两个不相等的实根；
选项B：∵△=b 2 -4ac=1 2 -4×1×=0，∴有两个相等的实根；
选项C：∵△=b 2 -4ac=（）2 -4×1×1=-20，∴有两个不相等的实根，
故选C.
6．C
【解析】根据题意可得，解得k≥0且k≠1，
故选C.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解本题的关键是要注意k要为非负数.
7．C
【解析】
【分析】
根据方程x2-ax+a2-3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2-ax+a2-3=0至少有一个正根?（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．
【详解】
∵△=a2-4（a2-3）=12-3a2
（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，
若a=2，此时方程x2-2x+1=0的根x=1符合条件，
若a=-2，此时方程x2+2x+1=0的根x=-1不符舍去，
（2）当方程有两个根时，△＞0可得-2＜a＜2，
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2-3≤0，解可得-≤a≤，而a=-时不合题意，舍去．
 所以-＜a≤符合条件，
②若方程有两个正根，则 ，
解可得 a＞，
综上可得，-＜a≤2．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．
8．C
【解析】解：设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故选C．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用．解答本题的关键是，找出等量关系： 点P与点Q重合时，P、Q的路程之差等于AB．
9．D
【解析】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为，∴共比赛了45场，∴，故选D．
点睛：此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
10．B
【解析】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；
则总共送出的图书为x(x−1)；
又知实际互赠了210本图书，
则x(x−1)=210.
故选：B.
11．A
【解析】试题解析：
故方程没有实数根.
故选A.
12．
【解析】由较小的数为x可知较大的数为x+3，
故它们的平方和为x2+(x+3)2
再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，
故答案为：x2+(x+3)2=65.
13．k≤且k≠2
【解析】∵方程有两个实数根，
∴ ，解得 且.
点睛：原方程有两个实数根，说明是一元二次方程，因此需满足两个条件：（1）二次项系数不为0；（2）根的判别式的值大于或等于0.
14．a≤1且a≠0
【解析】∵一元二次方程ax2﹣2x+1=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4a≥0，且a≠0，
解得：a≤1且a≠0，
故答案为：a≤1且a≠0．
15．直角
【解析】
∵方程由两个相等的实数根，∴Δ=b2－4ac=0，∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形.
故答案为直角.
点睛：一元二次方程根的情况：
（1）若b2－4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；
（2）若b2－4ac=0，则方程有两个相等的实数根；
（3）若b2－4ac＜0，则方程没有实数根.
注：若一元二次方程有实数根，则b2－4ac≥0.
16．p2-4q=0
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可由方程无解，可得△=b2-4ac＜0，即p2-4q=0.
故答案为：p2-4q=0.
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题时根据一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当b2-4ac＞0时，有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，无实数根，解题关键是根据根的情况求出根的判别式的取值范围.
17．
【解析】试题分析：先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．
试题解析：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得： ，
依题意得： ，
∴.
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∵，
∴.
18．（1）直角三角形；（2）x1=x2=
【解析】试题分析：（1）根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式可得出 整理即可得出 由此得出为直角三角形；
（2）根据 设 将其代入方程整理得 解方程求出值，此题得解．
试题解析：(1)直角三角形，理由如下：
∵方程 有两个相等的实数根，
∴ 即，
∵a、b、c分别为△ABC三边的长，
∴△ABC为直角三角形.
(2)∵a:b:c=3:4:5，
∴设a=3t，b=4t，c=5t，
∴原方程可变为：
解得：
19．(1) m>1且m≠-1;(2) 原方程不可能有两个相等的实数根;(3) m>1时原方程没有实数根.
【解析】
试题分析：需要先求m2－1 ，(1)判别式大于0.(2)判别式等于0.（3）判别式小于0.
试题解析：
(1) m2－1 ,m,
∵Δ=
∴m>1且m≠-1
(2)∵Δ=
∴m=1 ∵ ∴m≠1 ∴原方程不可能有两个相等的实数根.
（3）当Δ=时，m>1.
∴m>1时原方程没有实数根.
点睛：一元二次方程的根的判别式是,
Δ=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
Δ>0说明方程有两个不同实数解,
Δ=0说明方程有两个相等实数解,
Δ0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△