1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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1.3一元二次方程的根与系数的关系
【推本溯源】
1.观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？

x1
x2
x1 +x2






































从上图发现，如果一元二次方程的根是、，那么=__ _，=__ _.
证明：因为当时，方程的根是 ，
_
,所以，=__ _；
=__ __.
因此，如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.注意它的使用条件为 .也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的推论
推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1*x2= ；
推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是 .

3.根与系数的应用
不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩
【解惑】
例1：若是方程的两个根，则（    ）
A． B． C． D．
例2：下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有　　
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
例3：若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．
例4：已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．


例5：已知关于x的一元二次方程．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；
(2)若此方程的两根互为倒数，求的值．


【摩拳擦掌】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（         ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南周口·统考二模）已知和是方程的两个根，则代数式的值是（   ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北廊坊·校考三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个根的和是（    ）
A．6 B．3 C． D．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A． ，1 B． ， C．3， D．3，1
5．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
6．（2023·湖南娄底·统考三模）已知，是方程的两个实数根，且，则______．
7．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，若，则k的值为______．
8．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
9．（2023·上海·八年级假期作业）写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积
(1)，___________；___________；
(2)，___________；___________．
10．（2023·上海·八年级假期作业）已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值．
(1)；
(2)．

11．（2023·上海·八年级假期作业）观察求根公式，求出的值，并用得到的结果求解：设、是方程的两个实数根，求的值．



12．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．



【知不足】
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2023·河南南阳·统考三模）若方程有一个根是1，则另一个根是（    ）
A．1 B． C． D．2
3．（2023·广东珠海·校考三模）已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（    ）
A．0 B．−11 C．9 D．11
4．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
5．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程的两根，则___________．
6．（2023·全国·九年级假期作业）若实数，分别满足，，且，则的值为______．


7．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为，若，求k值；
(3)若，证明：．



8．（2023·上海·八年级假期作业）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．


9．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，设方程的根为，，求代数式 的值．


【一览众山小】
1．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）若，是方程的两实数根，则的值为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023·四川泸州·统考二模）设与为一元二次方程的两根，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；
4．（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．
5．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．
6．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
7．（2023·江西萍乡·统考二模）已知是一元二次方程的两根，则代数式的值是__________．
8．（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则_____．
9．（2023·黑龙江绥化·统考二模）若是方程的两个实数根，且，则m的值为___________．
10．（2023·四川成都·成都七中校考三模）若，是方程的两根，则______．

11．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
12．（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．




13．（2023·江苏·九年级假期作业）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知，是方程的二根，则
(2)已知、、满足，，求正数的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．







14．（2023·全国·九年级假期作业）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值．