6.3-6.4 相似图形与探索三角形相似的条件（一）-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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6.3-6.4相似图形与探索三角形相似的条件（一）
【推本溯源】
1.回顾一下全等图形
完全重合的两个图形是全等图形。

2.右图是全等图形吗？
不是，右图形状相同，大小不相同。

因此，形状相同的图形叫做相似形。

3.观察右图两个三角形，它们的边角之间有怎样的数量关系呢？
这两个三角形各角相等，各边成比例；

再观察右图的两个正方形，它们的边角之间有怎样的数量关系呢？
这两个正方形各角相等，各边成比例；

因此，像这样，各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形。
比如：▲ABC与▲A′B′C′相似，我们记作为“”。

相似多边形的对应角相等对应边成比例，相似多边形的对应边的比叫做相似比。

4.如右图，三条平行线被两条直线所截，试着度量BC、CD和AD、DF的长度，并计算它们的比值，有什么发现？


同样地，,.

通过实践，我们得到一个基本事实，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
几何语言：∴


5. 如右图，画出一个▲ABC，使得∠A=∠1，∠B=∠2，可以画出多少个？
一个。







6. 已知在△ABC和△A′B′C′中。∠A=∠A′，∠ B=∠B′。求证：△ABC∽△A′B′C′
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A′B′.过点D作DE∥BC.交AC于点E.则有
△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B ∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵∠A=∠A′ AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′（ASA）
∴△A′B′C′∽△ABC















【解惑】
例1：下列说法正确的是（      ）
A．所有的正方形都相似 B．对应角相等的两个多边形相似
C．所有的矩形都相似 D．对应边成比例的两个多边形相似
【答案】A
【分析】直接利用相似多边形的定义判定逐项判定即可
【详解】A. 所有的正方形都相似,满足对应角相等，对应边成比例，说法正确；
B. 对应角相等的两个多边形相似，不一定满足对应边成比例，说法不正确；
C. 所有的矩形都相似，不一定满足对应边成比例，说法不正确；
D. 对应边成比例的两个多边形相似,不一定满足对应角相等，说法不正确；
故选择：A
【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可；
例2：如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似多边形的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数即可．
【详解】解：四边形四边形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，也考查了四边形的内角和．
例3：如图，在中，是斜边上的高，，垂足为，则图中与相似的三角形（不包括）共有（　　）
  
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可．
【详解】∵是斜边上的高，于点，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
在和中，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴图中与相似的三角形有个．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
例4：如图，，点B，E分别在上，，则长为（        ）
  
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线间分线段成比例得到，解出答案．
【详解】，，
，
即，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线间分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
例5：如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
  
【答案】见详解
【分析】作，交于点D，点D即为所求．
【详解】如图所示，作，交于点D，点D即为所求，
  
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．任意下列两个图形不一定相似的是（     ）
A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
【详解】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
2．如图，把一个矩形剪去一个正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设原来矩形的长为，宽为，则减去的正方形的边长为，剩下的矩形的长为，宽为，剩下的矩形与原矩形相似，利用对应边成比例得，然后计算求得原矩形的长与宽的比即可．
【详解】解：设：原来矩形的长为，宽为，则减去的正方形的边长为，剩下的矩形的长为，宽为，
∵剩下的矩形与原矩形相似，
∴，
整理得：，
各项同时除以得：，
令，则，解得：，（舍），
∴原矩形的长与宽的比，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质列出方程，并舍去不合题意的解是解答本题的关键．
3．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（     ）
A．   B．   C．  D．  
【答案】D
【分析】根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断．
【详解】解：A.两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例，故A不符合题意；
B.两个正方形相似，四条边均相等，对应边成比例，故B不符合题意；
C. 两个菱形相似，四条边均相等，对应边成比例，故C不符合题意；
D.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，熟练掌握相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，是解题的关键．
4．如图，是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，则过点满足这样条件的直线最多有条（   ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】解：由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，如图，过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线．
  
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用，运用两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似是解题关键．
5．下列给出的图形中，不是相似形的是（　　）
A．由同一张底片印出来大小不同的照片
B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片
C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像
D．五星红旗上的大五角星和小五角星
【答案】C
【分析】利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可．
【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，不合题意；
B、一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片，是相似图形，不合题意；
C、小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像，不是相似图形，符合题意；
D、五星红旗上的大五角星和小五角星，相似图形，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
6．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，即同一系列的纸张长与宽的比均相同．将如图所示的纸张沿长边对折裁剪，得到两张A1型号纸张．若A1与原纸张属同一系列纸张，则该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为______．
  
【答案】
【分析】先根据条件找出已知长和宽，再根据已知找出等量关系的两种纸张长宽比例相等列出比例式子即可求解．
【详解】解：设A1纸的长和宽分别为m，n，则原纸张的长和宽分别为2n，m，根据题意可得，
，即该系列纸张的长与宽之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的折叠问题．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式．
7．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是________．
  
【答案】6
【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．
8．如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？
  
【答案】，，，．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断，，，．
【详解】解：根据，同时有公共角必相等，
根据相似三角形判定定理，可得，，；
同时由，
可得：，
得：，
又，
根据相似三角形判定定理，得：．
【点睛】题目主要考查相似三角形判定定理，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．
9．如图，在中，平分，点E在上，且．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)．

【分析】（1）已知平分，可得，再由，可得，即可得，从而得；
（2）作于点F，于点G，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式求得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作于点F，于点G，
  
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质，掌握“角平分线上点到角两边的距离相等”是解题的关键．
10．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
  
【答案】见解析
【分析】作的平分线交于点，点即为所求，
【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求，
  
理由如下，
∵在中，，，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【知不足】
1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
2．下列各组中的两个图形一定相似的有（　　）
（1）两个等腰三角形；    （2）两个直角三角形；    （3）两个等腰直角三角形；
（4）两个等边三角形；    （5）两个矩形；            （6）两个菱形；
（7）两个正方形；        （8）两个等腰梯形；        （9）两个圆．
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】B
【分析】根据相似三角形及多边形的判定依次判断即可
【详解】解：（1）两个等腰三角形不能确定其每个内角的度数，所以不一定相似；
（2）两个直角三角形只有一个相同的角是直角，其他两个角都不确定，所以不一定相似；
（3）两个等腰直角三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似；
（4）两个等边三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似；
（5）两个矩形四个角都为90度，但是对应边不一定成比例，所以不一定相似；
（6）两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似；
（7）两个正方形对应边成比例，对应角一定相等，所以一定相似；
（8）两个等腰梯形对应边和对应角都不确定，所以不一定相似；
（9）两个圆一定相似；
∴相似的是（3）（4）（7）（9），
故选：B
【点睛】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．
3．如图，在中，.则图中相似三角形共有（　　）
  
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
．
故相似的三角形对数为4对：
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、，
由平行线分线段成比例定理可得，
，
，
，
，
，即，
，，
由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，
，故该选项正确，不符合题意；
B、，
，
，
，
，
为的中点，
，
，故该选项正确，不符合题意；
C、，
由平行线分线段成比例定理可得，
，，
由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，
，故该选项正确，不符合题意；
D、，
由平行线分线段成比例定理可得，
，
由平行线分线段成比例定理可得，
只有当为中点时，即时，
由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．
5．某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为________（答案请按同一形式书写）．

【答案】
【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：如图：，，令，
设，则老师在黑板上写的文字大小为，
∵，
∴，
解得：，
∴老师在黑板上写的文字大小为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解．
6．已知五边形五边形，，，，，则_______．
【答案】
【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答．
【详解】解：∵五边形五边形，
∴，，
又∵五边形的内角和为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等．
7．如图，在平行四边形中，点E为边上的点（不与点B，点C重合），连接并延长，交的延长线于点F．求证：．
  
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，，即可证得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．
8．如图，已知，在上确定一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）．
  
【答案】见详解
【分析】以为角的一边，作，即可．
【详解】如图，
  
点D即为所求；
证明：根据作图可知：，
又∵，
∴，
即点D满足要求．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及相似三角形的判定等知识，作出是解答本题的关键．
9．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数．
【答案】．
【分析】根据四边形内角和定理以及相似多边形的性质即可解决问题．
【详解】解：由四边形和四边形是相似的图形，
有，
将代入，
求得：，
根据四边形内角和，可求得：，
相似图形对应角相等可知．
【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．
10．如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】作的平分线，交边于点，此时．
【详解】解：点即为所作，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
11．如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值．
  
【答案】
【分析】由，可得，即，得出，由，可得：．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出．
【一览众山小】
1．如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（    ）
  
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得，依据平行线成比例的性质即可得到答案．
【详解】解：A、根据对顶角相等，此结论正确；
B、根据相似三角形的性质定理，得，所以此结论错误；
C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确；
D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确．
故选：B．
【点睛】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
2．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
与的关系不确定，
不正确，不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，

不正确，不符合题意；
C、，
，
，
，
，
正确，符合题意；
D、
，
由可得，
与的关系不确定，
不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
3．如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形与矩形相似，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设，
则：，
解得：（负值已舍去）；
∴；
故选D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，正方形的性质，解一元二次方程．熟练掌握相似多边形的对应边对应成比例，是解题的关键．
4．将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（    ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可．
【详解】如图，设．

根据题意，，
∴，
∵，
∴，
∵剩下的平行四边形与原来相似，
∴对应边成比例，
分两种情况讨论：
①，
∴，
设，分子分母同时除以，得：，
解得：；
②，
∴，
设，则：，
解得：，
两个答案都满足，
综上：的相邻两边与的比值是或；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
5．剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景．这体现了数学中的(　　)

A．图形的轴对称 B．图形的平移
C．图形的旋转 D．图形的相似
【答案】A
【分析】根据轴对称，平移，旋转，相似的特征来判断即可． 轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同；旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换；相似可以改变图形的大小，但不改变形状．
【详解】解：根据图形可知，将这个图形上下对折，两边的部分能够完全重合，因此这体现了数学中图形的轴对称，
故选：A．
【点睛】本题考查图形的对称、平移、旋转、相似等知识，掌握四者的特征是解题的关键．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
6．如图，已知菱形的边长为4，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于__________．

【答案】/
【分析】过点F作，交DE于H，过点C作，交的延长线于M，连接，先证明是的中位线，得，再证明，得，在中计算和的长，再证明是中位线，可得的长，由勾股定理可得的长，从而得结论．
【详解】如图，过点F作，交于H，过点C作，交的延长线于M，连接，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，，
∴，
∵F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是菱形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
7．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，．
【答案】(1)平行
(2)平行
(3)不平行
(4)平行

【分析】（1）根据平行线分线段成比例判断即可；
（2）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可；
（3）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可；
（4）根据题意得出，，根据平行线分线段成比例判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
  
∵，
∴；
（2），，
∴；
（3），，
∴不相等，不平行；
（4）∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用是解题关键．
8．如图，、是的边上的两点，满足．联结，过点作，交边于点，联结．求证：．
  
【答案】见解析
【分析】由平行线分线段成比例定理得出，由得出，得出，即可得出．
【详解】证明：∵，
∴．
又，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
9．如图，四边形四边形．

(1) ，它们的相似比是 ；
(2)求边，的长度．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据相似多边形的性质进行求解即可；
（2）根据相似多边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形四边形．
∴，
∴，
∵，
∴相似比是，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键．
10．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
  
(1)网格中的形状是；
(2)在图①中确定一点D．连结、，使与全等；
(3)在图②中的边上确定一点E，连结，使．
【答案】(1)直角三角形
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）利用勾股定理及其逆定理进行证明即可；
（2）利用的判定方法，确定点的位置即可；
（3）根据是直角三角形，确定点的位置即可．
【详解】（1）解：由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
（2）如图所示，点即为所求；
  （任选其一均可）；
（3）如图所示：点即为所求；
  
由图和（1）可知：，
又，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定．熟练掌握11．如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
  
【答案】见解析
【分析】由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：
  
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）先判断出，再利用角平分线判断出，即可得出结论；
（2）由三角形的内角和定理可求，可得结论．
【详解】（1）证明：由旋转可知：，
．
平分，
，
，
，
；
（2）证明：，，
．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13．如图，点、分别在的边、上，，求证： ．
  
【答案】见解析
【分析】首先证明四边形平行四边形，易得，；然后根据“平行线分线段成比例定理”证明即可．
【详解】证明：过点作，交边于点，
  
又∵，
∴四边形平行四边形
∴，，
∴，
∴；
由，
得，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
14．如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：．

【答案】见解析
【分析】延长到，使，连接、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，于是，即，再根据平行线分线段成比例定理1的推论得出，同理，等量代换得到，然后根据平行线分线段成比例定理2即可证明．
【详解】证明：如图，延长到，使，

连接、．
是的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
同理，
，
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．