数学九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用课后复习题

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专题09 易错易混集训：一元二次方程压轴题五种易错模型全攻略
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目录
【典型例题】 1
【易错一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 1
【易错二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 3
【易错三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 6
【易错四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 10
【易错五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 15

【典型例题】
【易错一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义得出，，求出即可．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
即且，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
【变式训练】
1．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，且，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．
2．（2023秋·湖北黄冈·九年级统考期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
3．（2023春·八年级单元测试）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
【答案】(1)m＝3
(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或，
解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，
当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．


【易错二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程，常数项为，则的值等于（      ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义即可求得的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程，常数项为，
∴，
∴或，
∵关于的方程是一元二次方程，
∴,
∴，
∴；
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（   ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定a的值．
【详解】解：把代入一元二次方程
得，
解得，
而，
的值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义，解题的关键是注意．
2．（2023秋·辽宁丹东·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】
【分析】把代入方程，解方程即可求得的值，且，从而即可得到答案．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于的一元二次方程二次项系数不为零，即．
3．（2023·全国·九年级假期作业）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
4．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则 ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据一元二次方程的解的定义将代入原方程，得到关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入关于x的一元二次方程得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
把代入方程，得：
，
解得：，
，

，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．


【易错三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】
例题：（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程根的判别式大于零即有两个不相等的实数根即可求出答案．
【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式的知识点，解题的关键在于熟练掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．解题的易错点在于此方程系数不能为0．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·校考一模）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【答案】4
【分析】由关于一元二次方程有两个相等的实数根，即可得根的判别式且，继而可求得的值．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴，且，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得．
2．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）关于的一元二次方程：
(1)当时，求方程的根；
(2)若此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）把带入方程，求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答．
【详解】（1）解：当时，原方程为：，
，
解得：．
（2）根据题意得：，
∴，

，
∵此方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：．
∵方程为一元二次方程，
∴．
综上：且．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，和一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．（2023·北京·校考模拟预测）关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若为正整数，求此方程的根．
【答案】(1)或
(2)，
【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为，且；
（2）由（1）可得的取值，解方程即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：或．
（2）解：为正整数，且或，
．
原方程为，
解得，．
当为正整数时，该方程的根为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级假期作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，且，求出的取值范围即可；
（2）得到的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
即，且，
解得：且；
（2）满足条件的最小正整数是，
此时方程为，

解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答本题的关键．


【易错四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】
例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系得到，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．
【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得或，
又∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
，
即；
（2）解：由根与系数的关系可知：，，
，

，
解得或，
而，
的值为．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．
3．（2023·广东江门·广东省江门市实验中学校考一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)的值不存在
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得，，即可求解．
【详解】（1）解：该方程有两个不相等的实数根，
，
，，，
，
解得：，
的取值范围为：；
（2），，，
，
，
解得，

的值不存在．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解不等式的综合运用．掌握一元二次方程中根的判别式的含义，并会解一元一次不等式是解题的关键．
4．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，，并且．
(1)求实数m的取值范围；
(2)满足，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，代入已知等式中，求出m值即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，，并且，
∴，
∴；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
5．（2023春·四川南充·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程有，两实数根．
(1)若，求及的值；
(2)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件式推出，求出或，再根据根的判别式求出即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有，两实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程有，两实数根，
∴，，
∵，
∴，即
∴，
∴，即，
∴，即，
解得或，
又∵方程关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴，
经检验，当时，
∴存在，满足．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．


【易错五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】
例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
【答案】15
【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．
【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
此时能构成三角形，的周长为：
若为底，则，即方程有两个相等的实根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得：的周长为15．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（    ）
A．12 B．15 C．12或15 D．18或9
【答案】B
【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系，
∴等腰三角形的腰为，底为，
∴周长为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（2023春·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根．则这个等腰三角形的周长可能是（    ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
【答案】B
【分析】求出方程的解，得出三角形的三边长，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴或，
∴或，
当三边是2，2，4时，
∵，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是3，3，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，解一元二次方程的应用，解题的关键是能求出方程的解．
3．（2023春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
(2)若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可；
（2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解．
【详解】（1）证明：中，
，，，
，
无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，
得，即，
因式分解得，
解得，，
当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系，
等腰三角形的周长；
当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1，
，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在，
综上可知，等腰三角形的周长是6．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．