高中数学选必一专项01 空间向量与立体几何小题

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01 空间向量与立体几何小题
一、巩固基础知识
1．有以下命题：①如果向量、与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么、的关系是不共线；②、、、为空间四点，且向量、、不构成空间的一个基底，那么点、、、一定共面；③已知向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底。其中正确的命题是( )。
A、①②
B、①③
C、②③
D、①②③
【答案】C
【解析】对于①“如果向量、与任何向量不能构成空间向量的一组基底，
那么、的关系一定共线”，
∴①错误，②③正确，故选C。
2．下列命题中是真命题的是( )。
A、分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B、若，则、的长度相等而方向相同或相反
C、若向量，满足，且与同向，则
D、若两个非零向量与满足，则
【答案】D
【解析】A项中任两个向量都共面，故错误，
B项错，模只表示长度，无法表示方向，
C项中向量不能比较大小，
D项即共线，
故选D。
3．若，，且，则( )。
A、，
B、，
C、，
D、，
【答案】C
【解析】∵，则，则，，，则，则、，故选C。
4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，故选A。
5．已知非零向量，，且、、不共面。若，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】且，∴，即，
又、、不共面，∴，则，，，故选A。
6．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求 。




【解析】
，
则、、，则。
二、扩展思维视野
7．已知两个非零向量，，它们平行的充要条件是( )。
A、
B、
C、
D、存在非零实数，使
【答案】D
【解析】A选项：表示的单位向量，表示的单位向量，
则，但不一定有，错，
B选项、C选项不能推出，故选D。
8．已知向量，，若，，则的值是( )。
A、或
B、
C、
D、或
【答案】A
【解析】由题知或，故选A。
9．下列各组向量共面的是( )。
A、，，
B、，，
C、，，
D、，，
【答案】A
【解析】若共面则必有，通过解得A选项中可解出，，故选A。
10．如图所示，在正三棱柱中，若，则向量与向量的夹角为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，
∴，∴，故选C。
11．如图所示，正方形与等腰所在的平面互相垂直，， ，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】以为原来建立空间直角坐标系，、、、、，
∴，，∴，，，
∴，∴直线与所成角的余弦值为，故选C。
12．已知向量和的夹角为，且、，则 。
【答案】
【解析】。

三、提升综合素质
13．已知向量，，，下列等式中正确的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】BCD
【解析】由题意可知，∴，
A选项，、，两式不相等，故错，
B选项，，，两式相等，故对，
C选项，，故对，
D选项，，
，
两式相等，故对，
故选BCD。
14．已知、、，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵点在直线上运动，∴，
∴

，
∴时取最小值，点坐标为，故选D。
15．已知正方体的棱长为，点在上且，点为的中点，则为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，∵点在上且，∴，
∴，，，，
∴，故选C。
16．设空间两个不同的单位向量，与向量的夹角都等于，则的大小为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，∴、，又∵与的夹角为，
∴，∴，
另外，∴，，
，∴、是方程的解，
∴或，同理或，
∵，∴或，
∴，
∵，∴，故选D。