高中数学选必一专项04 椭圆小题 练习

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04 椭圆小题
一、巩固基础知识
1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】化为方程，焦点在轴上则，解得，故选A。
2．已知是椭圆上一定点，、是椭圆的两个焦点，若，，则椭圆的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由题意得为，令，则，，，
则，，故选D。
3．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交于、两点，若的中点坐标为，则的方程为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，又，则，解得，，故选A。
4．焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】，解得，
，则，故选C。
5．已知、是椭圆上的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为 。
【答案】
【解析】。
6．已知椭圆：()的左右焦点分别、，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为 。
【答案】
【解析】直线过点，且，∴，
∴，∴，∴，
在中，，，
∴该椭圆的离心率。
7．设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且，若，，则椭圆的两个焦点之间的距离为 。
【答案】
【解析】设坐标原点，椭圆的方程为，作，
则，，，，则坐标，
则，，，，两个焦点之间的距离为。
二、扩展思维视野
8．已知椭圆的离心率，则实数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】原式变为，当时，解得，
当时，解得，故选B。
9．已知动点在椭圆：上，是椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意知点在以为圆心，为半径的圆上，为圆的切线，
∴当最小时切线长最小，
由图知，当点为右顶点时最小，
最小值为，此时，故选B。
10．已知椭圆：()，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是( )。
A、圆
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
【答案】B
【解析】设椭圆的右焦点是，坐标原点为，由椭圆定义得，
则，则点的轨迹是以、为焦点的椭圆，故选B。
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】得、，设，则，
整理得，代入得，解得，
故点到轴的距离为，故选D。
12．若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为 。
【答案】
【解析】设、，，则，。
13．椭圆：()的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标为，则 。
【答案】
【解析】，将代入椭圆方程得，
则，即点在直线上，∴。
14．已知椭圆：()的离心率为，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，则椭圆的标准方程为 。
【答案】
【解析】圆方程为，与直线相切，则，又，则，
故椭圆方程为。
三、提升综合素质
15．若、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的任意一点，且的内切圆的周长为，则满足条件的点的个数为( )。
A、
B、
C、
D、不确定
【答案】A
【解析】内切圆的半径，则，
即，得，∴满足条件是短轴的个端点，故选A。
16．已知、是椭圆：()长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、，若的最小值为，则椭圆的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】连接，则的斜率为，
又由中点弦的推论公式可得，
则，即，又，
∴则，设，则，∴，∴，故选D。
17．如图所示，椭圆：()的左右焦点分别为、，上顶点为，离心率为，点为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为 。
【答案】
【解析】，即，设，则，
设直线的斜率为()，则直线的方程为，即，
又，则，
即，则，
解得(舍去)或(可取)，
又，则，解得，则。
18．已知椭圆：()，点、分别是椭圆的左顶点和左焦点，点是⊙：上的动点，若是常数，则椭圆的离心率为 。
【答案】
【解析】设，，，，使得是常数，设，
则有，即，
比较两边，，故，
即，即，
∴，解得或，又，则。