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    高中数学选必一专项05 双曲线小题 练习卷

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    这是一份高中数学选必一专项05 双曲线小题 练习卷,共7页。
    05 双曲线小题
    一、巩固基础知识
    1.双曲线:的顶点到其渐近线的距离等于( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】C
    【解析】渐近线方程为,即,又顶点坐标,
    则顶点到渐近线的距离为,故选C。
    2.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,则的方程是( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】C
    【解析】,,,故选C。
    3.已知双曲线:的左、右顶点分别为、,点在双曲线上,若直线斜率的取值范围是,则直线斜率的取值范围是( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】B
    【解析】、,设,则,则,
    则,则,故选B。
    4.“”是“方程表示双曲线”的( )。
    A、充分不必要条件
    B、必要不充分条件
    C、充要条件
    D、既非充分也非必要条件
    【答案】A
    【解析】当时,,方程表示双曲线,
    当时,,方程也表示双曲线,故选A。
    5.若双曲线:(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】A
    【解析】,,,该双曲线的渐近线方程为,故选A。
    6.若,定义使方程“”表示的曲线以为渐近线的角为“等轴角”,则等轴角 。
    【答案】或
    【解析】由题意可知,又,则或。
    7.若双曲线:(,)的一条渐近线的倾斜角为,离心率为,则的最小值为 。
    【答案】
    【解析】,则,(当且仅当时取等号),
    则最小值为。
    二、扩展思维视野
    8.已知圆经过双曲线:的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线的中心的距离为( )。
    A、或
    B、或
    C、
    D、
    【答案】D
    【解析】由双曲线性质可得圆经过双曲线同侧的顶点和焦点,设过右焦点和右顶点,
    则圆心的横坐标为,代入双曲线,则解得,
    ∴点到原点的距离,故选D。
    9.已知点是双曲线:(,)的左焦点,点是右顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点,若是锐角三角形,则双曲线的离心率的的取值范围是( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】A
    【解析】根据对称性中,若是锐角三角形,
    则为锐角,即在中,得,
    又,,则,
    即,两边都除以得,
    即,,即,又,则,故选A。
    10.设、分别是双曲线:(,)的左、右焦点,若双曲线的右支上存在一点,使得,为坐标原点,且,则双曲线的离心率为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】C
    【解析】∵,∴,
    即,,
    ∴,在中,∴,
    又,∴,,
    ∴,,故选C。
    11.已知双曲线:的离心率为,则实数的值为 。
    【答案】
    【解析】,,解得。
    12.已知双曲线:的左、右焦点分别为、,过的直线交双曲线的左支于、两点,则的最小值为 。
    【答案】
    【解析】,,两式相加得,
    ,当且仅当轴时取等号,最小值为。
    13.设、是双曲线:(,)的两个焦点,是上一点。若,且的最小内角为,则的离心率为 。
    【答案】
    【解析】设为双曲线右支上一点,则,又,
    则,,,∵的最小内角,
    由余弦定理得,
    即,∴,∴,。
    14.已知双曲线:的左、右焦点分别是、,点(,,…)在其右支上,且满足,,则的值是 。
    【答案】
    【解析】,,∴,即,又,∴,
    即,∴,
    又恒成立,则,则数列是以首项为,公差为的等差数列,
    即,则。
    三、提升综合素质
    15.已知是双曲线:()的右焦点,为坐标原点,设是双曲线上一点,则的大小不可能是( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】C
    【解析】,两条渐近线倾角为、,则或,
    故选C。
    16.已知点、是双曲线的两个焦点,过点的直线交双曲线的一支与点、两点,若为等边三角形,则双曲线的离心率为( )。
    A、
    B、
    C、
    D、
    【答案】A
    【解析】为等边三角形,则,设的边长为,则,则,
    则,,,故选A。
    17.我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决。如:与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题。结合上述观点,可得方程的解为 。
    【答案】
    【解析】,
    其几何意义为动点到定点和的距离之差的绝对值为,
    ∴动点即为双曲线与的交点,则,即,∴。
    18.已知双曲线:(,)离心率为,、分别为左、右顶点,点为双曲线在第一象限内的任意一点,点为坐标原点,若、、的斜率分别为、、,设,则的取值范围为 。
    【答案】
    【解析】,则,设,则,,
    又双曲线的渐近线方程为,∴,∴。
    19.已知双曲线:的右焦点为,过的直线与交于、两点,若,则满足条件的的条数为 。
    【答案】
    【解析】∵,,,则,若、都在右支上,
    当垂直于轴时,将代入得,则,满足,
    若、分别在两支上,∵,∴两顶点的距离为,
    ∴满足的直线有条,且关于轴对称,
    综上有条。
    20.若双曲线:(,)的左、右焦点分别为、,离心率为,过的直线与双曲线的右支相交于、两点,若是以点为直角顶点的等腰直角三角形,则 。
    【答案】
    【解析】∵,,
    ∴,,,,
    ∵,∴,
    ∴。
    21.如图所示,在半径为的半圆内有一内接梯形,它的下底为圆的直径,上底的端点在圆周上,若双曲线以、为焦点,且过、两点,则当梯形周长最大时,双曲线的实轴长为 。
    【答案】
    【解析】,设,作于点,
    则,,
    ∴,
    则梯形周长


    当,即时周长有最大值,这时,
    ,,
    ∴双曲线的实轴长为。

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