高中数学选必一专项08 综合练习卷

这是一份高中人教B版 (2019)本册综合同步测试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

08 选择性必修第一册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线：(，)的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵双曲线：(，)的一个焦点坐标为，∴，焦点在轴上，
∵渐近线方程是，∴，令()，则，
∴，∴，∴，，∴双曲线方程为，故选D。
2．已知点为抛物线()上一点，则到其焦点的距离为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】把代入抛物线中，解得，则抛物线的准线方程为，
∴由抛物线的定义得，故选A。
3．的顶点分别为、、，则边上的高的长为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵、、，则，，
∵点在直线上，∴设，
则，
又∵，则，解得。
∴，则，故选C。
4．如果、、…、是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为、…、，是抛物线的焦点，若，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由题可知抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线定义可知、、…，
故，故选A。
5．正方体中，、分别为、上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】以为原点，、、为轴、轴、轴建系，设，
则由、可得：、、、，
∴，，则，
又与所成角为锐角，
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选C。
6．如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】以、、为、、轴建系，设，，
则，，，，
∴，，由于平面，
∴，
故与的长度之和为，故选D。
7．如图，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将、、分别沿、、折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】四面体为底面为等腰，顶点为的三棱锥，
则，，，，
则，，则平面，
又，则为直角三角形，，
以为原点如图建系，则，，，，
设四面体的外接圆的圆心为，则，
由空间两点间距离公式知：，，
，解得，，，
∴半径为，
∴该球的表面积为，故选B。
8．已知、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】设，，，由题意得，，
由双曲线定义得，∴，
由余弦定理得，

，
当时，面积的最大值是，故选B。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是( )。
A、
B、若，则
C、若，则
D、若，则
【答案】ACD
【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，
若，则与方向相反，∴，B对，
若，则，即，不能推出，C错，
若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，
故选ACD。
10．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】BD
【解析】∵，∴，解得或，
时，符合，当时，符合，故选BD。
11．如图所示，设、分别是正方体的棱上两点，且、，其中正确的命题为( )。
A、三棱锥的体积为定值
B、异面直线与所成的角为
C、平面
D、直线与平面所成的角为
【答案】AD
【解析】以为原点建系，设，则，
A选项，为定值，故对，
B选项，异面直线与所成的角与直线与所成的角为同一个角，
即异面直线与所成的角的平面角为，故错，
C选项，，平面即平面的法向量为，
设直线与平面所成的角的平面角为，
则，则，故错，
D选项，由C选项可知直线与平面所成的角为，故对，
故选AD。
12．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】AB
【解析】(1)当时，设，则，设，
由题意可知，，，，
则，，，
代入得，
即，解得，则，
(2)当时，设，，设，
则，，
由题意可知，，，，
则，，，
则，
则，
代入得，即，解得，则，
故选AB。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则 。
【答案】
【解析】由题意得内切圆的半径等于，因此的面积为，
即，∵满足条件的点恰好有两个，
∴为椭圆短轴端点，即，∴，而，∴，∴。
14．已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为 ，此时实数 。（本小题第一个空3分，第二个空2分）
【答案】
【解析】直线的必过点为，斜率为，在轴上的截距为，且
直线的必过点也为，斜率为，
在轴上的截距为，且
∴四边形的面积，
∴四边形面积的最小值为，此时。
15．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是 。
【答案】
【解析】∵，
∴
，
∴。
16．已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 。
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
∴的周长为，
由于是定值，要使的周长最小，则最小，
即、、共线，∵，，
∴直线的方程为，即，
代入整理得：，
解得或舍)，∴点的纵坐标为，
∴。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）若直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线。
(1)求直线的方程；
(2)求直线关于原点对称的直线方程。
【解析】(1)由解得，由于点的坐标是， 2分
又∵直线的斜率为，
由直线与垂直可得， 4分
故直线的方程为：，即， 5分
(2)又直线的方程在轴、轴上的截距分别是与， 7分
则直线关于原点对称的直线在轴、轴上的截距分别是与， 9分
所求直线方程为，即。 10分
18．（12分）已知等腰梯形如图1所示，其中，、分别为、的中点，且，，为中点，现将梯形按所在直线折起，使平面平面，如图2所示，是线段上一动点，且。
(1)当时，求证：平面；
(2)当时，求二面角的余弦值。








【解析】(1)证明：过点作于点，过点作于点，连接， 1分
由题意，平面平面，
∴平面，且， 2分
∵，，∴平面，∴，由， 3分
∴平面，又，
∴，即，， 4分
则，由平面，平面，
∴平面； 5分
(2)以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图建系，
则，，，，，， 6分
设平面的法向量分别为，、
则，取，则、，即， 8分
设平面的法向量分别为，、
则，取，则、，即， 10分
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
则，
∴二面角的余弦值为。 12分
19．（12分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点。
(1)证明为定值，并写出点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，直线交于、两点，过且与垂直的直线与圆交于、两点，求四边形面积的取值范围。
【解析】(1)证明：∵，，故，
∴，故， 1分
又圆的标准方程为，从而，∴， 2分
由题设得，，，
∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
设：()，， 3分
则、，∴，则轨迹的方程为()； 4分
(2)当与轴不垂直时，设的方程为()，、，
由得：，恒成立， 6分
则，，∴， 7分
过点且与垂直的直线：，到的距离为， 8分
∴，
故四边形的面积， 9分
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为， 10分
当与轴垂直时，其方程为，
，，四边形的面积为， 11分
综上，四边形面积的取值范围为。 12分
20．（12分）四棱锥中，平面，()，，，。
(1)若，，为的中点，求证：；
(2)若，，求平面与平面所成角的大小。






【解析】(1)证明：连接，中，，，，
由余弦定理：，解得， 2分
∴为直角三角形，，∵，∴，
又∵平面，∴，∵，
∴平面， 3分
∴平面，∴平面平面，
又∵，为中点，∴， 4分
∵平面平面，∴平面，
又∵平面，∴； 5分
(2)由，，可得，取中点，则为矩形，
以为坐标原点分别以、、所在直线为、、轴，
建立空间直角坐标系，
则、、、、、， 7分
平面，∴是平面的法向量，， 8分
设平面的法向量为，
∴，，，
令，可得，解得， 10分
设平面与平面所成角的平面角为，∴，
∴平面与平面所成角为。 12分
21．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，， ，，在边上。
(1)求证：平面平面；
(2)当是边上的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若二面角的大小为，求的长。







【解析】(1)证明：∵底面是平行四边形，∴，
又，，满足，∴， 1分
又∵底面，∴，∴平面， 2分
∵平面，∴平面平面； 3分
(2)以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、， 4分
∵是边上的中点，∴，
则，， 5分
设直线与所成角的平面角为，
∴； 6分
(3)由，，三点共线，得，且，
从而有，， 7分
设平面的法向量为，∴，
令，则，，可取， 10分
又平面的法向量可取，二面角的大小为，
∴，∴，∴，∴。 12分
22．（12分）已知点是圆：上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称，线段的中垂线分别与、交于、两点。
(1)求点的轨迹的方程；
(2)直线经过，与抛物线交于、两点，与交于、两点，当以为直径的圆经过时，求。
【解析】(1)由题意得，，圆的半径为，且， 1分
∴，
∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 2分
设：()，则、，∴，
则轨迹的方程为； 3分
(2)当直线与轴垂直时，可取，，又，此时，
∴以为直径的圆不经过，不满足条件， 4分
当直线不与轴垂直时，设：，由，
得，恒成立，∴恒有两个交点， 6分
设，，则，， 7分
∵以为直径的圆经过，∴，
又，∴，
即，解得， 9分
由得：，∵直线与抛物线有两个交点，∴，
设、，则，， 11分
∴。 12分