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第06讲 SAS，ASA证全等-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）
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这是一份第06讲 SAS，ASA证全等-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版），文件包含第06讲SASASA证全等人教版解析版docx、第06讲SASASA证全等人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
·模块一 两边及夹角证全等
·模块二 两角及夹边证全等
·模块三 课后作业
模块一
两边及夹角证全等
全等三角形的判定
边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
【考点1 用SAS判定两个三角形全等】
【例1.1】在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，AB=A1B1，再补充下列哪个条件可以根据“SAS”判断△ABC和△A1B1C1全等（ ）
A．AB=A1C1B．BC=B1C1C．AC=A1C1D．AC=B1C1
【答案】C
【分析】根据SAS判定三角形全等是两边及这两边的夹角对应相等进行求解即可
【详解】解：在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，AB=A1B1，
∴要想利用“SAS”判断△ABC和△A1B1C1全等，则需要添加的条件是AC=A1C1，
故选C．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟知SAS判定全等三角形是解题的关键．
【例1.2】如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定逐个判定即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
B选项符合边角边判定，
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．
【例1.3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B=∠CB．AD⊥BCC．∠BAD=∠ACDD．BD=CD
【答案】C
【分析】证△ABD≌△ACD(SAS)，得∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，则AD⊥BC，当∠BAC=90°时，∠BAD=∠CAD=∠C=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△CAD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△CAD(SAS)，
∴∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=12×180°=90°，
∴AD⊥BC，
当∠BAC=90°时，∠BAD=∠CAD=∠C=45°，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明ΔABD≅ΔCAD是解题的关键．
【变式1.1】如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是________.
【答案】SAS
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOC和△DOB中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≅△DOBSAS，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1.2】如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，能用“SAS”判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°
【答案】B
【分析】由条件可得AC=AC，再结合AB=AD，根据全等三角形的判定方法判断还差的条件即可．
【详解】由题意得AC=AC，AB=AD
∴用“SAS”判定△ABC≌△ADC还差两边的夹角对应相等
即∠BAC=∠DAC
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法“SAS”是解题的关键．
【考点2 SAS判定定理的应用】
【例2.1】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3−∠2=______．
【答案】45°/45度
【分析】证明△ABC≌△BDE，可证∠1与∠3互余，由方格纸的特点可知∠2是直角的一半，进而可求结论．
【详解】解：∵AC=BE∠ACB=∠BED=90°BC=DE，
∴△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE，
又∵∠DBE+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3−∠2=90°−45°=45°．
故答案为：45°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，以及方格纸的特点，数形结合是解答本题的关键．
【例2.2】填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，BC//EF，AB=DE，BC=EF，试说明∠C=∠F．
解：∵BC//EF(已知)
∴∠ABC=______（______）
在△ABC与△DEF中
AB=DE
∴△ABC≌△DEF（______）
∴∠C=∠F（______）
【答案】∠DEF；两直线平行，同位角相等；∠ABC=∠DEF；BC=EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠E，根据SAS求出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可；
【详解】解：∵BC//EF(已知)
∴∠ABC= ∠DEF（两直线平行，同位角相等）
在△ABC与△DEF中
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）
故答案为：∠DEF；两直线平行，同位角相等；∠ABC=∠DEF；BC=EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，侧重考查学生的逻辑推理，题目比较典型．
【例2.3】如图，在4×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：
(1)以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；
(2)与△ABC全等，且不与△ABC重合．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【详解】（1）如图所示：△ABD即为所求；
在△ABC和△ABD中
AB=AB∠ABC=∠ABD=45°BC=BD=3
∴△ABC≌△ABDSAS．
（2）如图所示：△BAE即为所求．
∵AE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE．
在△ABC和△BAE中
AB=BA∠ABC=∠BAEBC=AE=3
∴△ABC≌△BAESAS．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式2.1】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C在DE上．
(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)若∠BDA=35°，则∠BDE=______°．
【答案】(1)见解析
(2)70
【分析】（1）根据等式的性质，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS可得两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得∠ADC=∠AEC，根据等量代换，可得证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，AD=AE
∴∠ADC=∠AEC
∴∠BDA=∠ADC=35°
∴∠BDC=2∠BDA=2×35°=70°．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论．
【变式2.2】“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造出△BED和△CAD．求证：△BED≌△CAD．
【答案】见解析
【分析】由AD是△ABC的中线，可得DE=AD，再由∠EDB=∠ADC，DB=DC，即可证明△BED≌△CAD．
【详解】证明：如图所示：
，
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=DC，
在△BED和△CAD中，
ED=AD∠EDB=∠ADCDB=DC，
∴△BED≌△CAD(SAS)．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，倍长中线，熟练掌握全等三角形的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式2.3】如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．
【答案】120°
【分析】先证明△DAG≌△BAC,得到∠GDA=∠CBA，再利用∠BAD=60°以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．
【详解】解：∵∠DAE=∠GAC=60°,
∴∠DAG=∠BAC,
∵AD=AB,AC=AG,
在△DAG与△BAC中，
AD=AB,∠DAG=∠BACAG=AC
∴△DAG≌△BAC,
∴∠GDA=∠CBA,
∵∠BEO=∠AED,
∴∠BOE=∠BAD,
∴∠BAD=60°,
∴∠BOE=60°,
∴∠DOC=120°.
故答案为：120°.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2.4】如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．
(1)求证：△AEC≌△AEF．
(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)80°
【分析】（1）由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEFSAS；
（2）由△AEC≌△AEFSAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．
【详解】（1）证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，
∴△AEC≌△AEFSAS；
（2）解：∵△AEC≌△AEFSAS，
∴∠C=∠F，
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°，
∴∠FAE+∠F=50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，
∴∠BEF=80°，
∴∠BEF为80°．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
模块二
两角及夹边证全等
全等三角形的判定
角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 用ASA判定两个三角形全等】
【例1.1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是________.
【答案】ASA
【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据ASA即可画出一个与原来完全一样的三角形．
【详解】解：已知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是ASA，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
【例1.2】如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定进行一一判断即可得到答案．
【详解】解：A、其中有一个角相等，两条边相等，但是其中的角不是两条边的夹角，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；
B、180°−72°−50°=58°，所以这两个三角形有一个角对应相等，且有两条边对应相等，这个角也是两条边的夹角，可以证明三角形全等，故此选项正确；
C、虽然由一个角和两条边对应相等，且角是夹角，但是边不是对应相等的，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有两个角相等，但边不是对应相等的，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【例1.3】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E在AB边上，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，找出图中的全等三角形，并说明全等的理由.
【答案】△BED≌△CFD，理由见解析
【分析】根据中点得出BD=CD，再由平行线的性质得出∠B=∠FCB，利用全等三角形的判定证明即可．
【详解】解：△BED≌△CFD，理由如下：
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BDE=∠CDF，
∴△BED≌△CFD．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
【变式1.1】如图，AB//CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是（ ）
A．AB=CDB．∠ACB=∠EC．∠A=∠DD．AC=DE
【答案】B
【分析】根据平行线的性质推出∠B=∠DCE，再根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
A、根据SAS证△ABC≌△DCE，故本选项错误；
B、∵∠ACB=∠E，CB=CE，∠B=∠DCE，
∴△ABC≌△DCE（ASA），故本选项正确；
C、根据AAS证三角形全等，故本选项错误；
D、根据条件不能证△ABC和△DCE全等，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
【变式1.2】一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中正确的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、3或3、4去均可
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法可以确定原三角形的大小与形状，由此判断即可；
【详解】解：碎片1、4和碎片3、4可以根据ASA判定出与原三角形全等的三角形，故可以还原出同样的玻璃样板；
碎片1、2和碎片2、3仅有一个角与原三角形相同，无法判定全等三角形，故不可以还原出同样的玻璃样板；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1.3】如图，点E在△ABC外部，点D在△ABC的BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AE=AC，则（ ）．
A．△ABD≌△AFE B．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
【答案】D
【分析】首先根据题意得到∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，然后根据ASA证明△ABC≌△ADE．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，
∴∠E=∠C，
∴在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAEAC=AE∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADEASA，
故选：D．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
【考点2 ASA判定定理的应用】
【例2.1】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE=FE，AB=7，CF=4，则BD的长是________．
【答案】3
【分析】证明△ADE≌△CFEASA，得出AD=CF=4，即可得出答案．
【详解】解：∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∠ADE=∠FDE=FE∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFEASA，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB−AD=7−4=3，
∴BD的长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【例2.2】如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACF=60°，AC=CF，AB=4，EF=5，则BE=___________．
【答案】9
【分析】根据题意证明ΔABC≅ΔCFE，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到答案；
【详解】解：∵∠B=∠E=∠ACF=60°，
∠BCA+∠ACF=∠CFE+∠E，
∠ACF+∠ECF=∠B+∠BAC
∴∠BCA=∠CFE
∠BAC=∠ECF
在ΔABC和ΔCFE中
∠BAC=∠ECFAC=CF∠BCA=∠EFC
∴ΔABC≅ΔCFE
∴BC=EF，AB=CE
∴BE=BC+CE=EF+AB=5+4=9
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及了三角形的外角定理等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
【例2.3】如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，过点D作DF⊥AC于点F，延长DF交AB于点E，交∠ACB的平分线于点N，点M为CN与AB的交点，∠BMC=80°，∠B=40°.
(1)求∠AEF的度数；
(2)证明：NF=FD.
【答案】(1)70°
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据三角形内角和定理和平角的定义求出∠BCM=60°，∠AMC=100°，再根据垂直的定义求出∠EFC=90°，根据角平分线的定义求出∠ACN=∠BCN=60°，进而利用四边形内角和定理求出∠MEF=110°，则∠AEF=180°−∠MEF=70°；
（2）只需要证明△CFN≌△CFDASA，即可证明NF=DF．
【详解】（1）解：∵∠BMC=80°，∠B=40°，
∴∠BCM=180°−∠B−∠BMC=60°，∠AMC=180°−∠BMC=100°，
∵DF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∵CN平分∠ACB，
∴∠ACN=∠BCN=60°，
∴∠MEF=360°−∠AMC−∠ACM−∠EFC=110°，
∴∠AEF=180°−∠MEF=70°；
（2）证明：由（1）得∠ACN=∠BCN=60°，
∴∠ACD=180°−∠ACN−∠BCN=60°，
∴∠DCF=∠NCF，
又∵∠CFN=∠CFD=90°，CF=CF，
∴△CFN≌△CFDASA，
∴NF=DF．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【变式2.1】如图，BA=BE，∠A=∠E，∠ABE=∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD=∠D．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠ABE=∠CBD(已知)，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC( )
即∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中，
∠ABC=∠EBD_____=______∠A=∠E，
∴△ABC≌△EBD( )，
∴∠C=∠D( )
∵∠FBD=∠D，
∴∠C= (等量代换)，
∴AC∥BD( )
【答案】答案见解析
【分析】结合等式的性质利用ASA可证△ABC≌△EBD，由全等三角形对应角相等的性质等量代换可得∠C=∠FBD，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD.
【详解】解：∵∠ABE=∠CBD(已知)，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC(等式的性质)，即∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中，
∠ABC=∠EBDAB=BE∠A=∠E，
∴△ABC≌△EBD(ASA)，
∴∠C=∠D( 全等三角形对应角相等)
∵∠FBD=∠D，
∴∠C=∠FBD(等量代换)，
∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：等式的性质；AB=BE；ASA；全等三角形对应角相等；∠FBD；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的判定，熟练的掌握每一步证明的依据是解题的关键.
【变式2.2】如图，某段河流的两岸是平行的，某校八年级数学兴趣小组在林老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在树A的对岸l正对位置选一点B，使得AB⊥l；
②从点B沿河岸直走25米有一树C，继续前行25米到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走到达E处，使得树A、树C、点E三点共线；
④测得DE的长为20米．
(1)根据他们的做法补全图形并标出点B、D、E的位置；
(2)求该段河流的宽度是多少米？
【答案】(1)见解析
(2)20米
【分析】(1)根据要求画出相应的图形即可．
(2)根据要求证明△ABC≌△EDC即可．
【详解】（1）根据题意，画如下：
．
（2）根据题意，得
∠ABC=∠EDC=90°AC=CD∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=ED=20（米），
故该段河流的宽度是20米．
【点睛】本题考查了作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2.3】如图①，AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN．
(1)求∠AEB的度数；
(2)如图②，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D．求证：AC+BD=AB．
【答案】(1)90°
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAM+∠ABN=180°，根据角平分线的定义得到∠BAE=12∠BAM，∠ABE=12∠ABN，于是得到结论；
（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，根据全等三角形的性质得到∠AEC=∠AEF，BF=BD，等量代换即可得到结论．
【详解】（1）解：∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN=180°，
∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE=12∠BAM，∠ABE=12∠ABN，
∴∠BAE+∠ABE=12∠BAM+∠ABN=90°，
∴∠AEB=90°；
（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，
在△ACE与△AFE中，
AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，
∴△ACE≅△AFESAS，
∴∠AEC=∠AEF，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°，
∴∠FEB=∠BED，
在△BFE与△BDE中，
∠FBE=∠DBEBE=BE∠FEB=∠DEB，
∴△BFE≅△BDEASA，
∴BF=BD，
∵AB=AF+BF，
∴AC+BD=AB．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，能够熟练运用全等三角形的判定及性质以及能够构造截长补短的辅助线是解题关键．
模块三
课后作业
1．下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′
B．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′
C．AC=A′C′，BC=B′C′，∠C=∠C′
D．AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′
【答案】C
【分析】根据全等三角形SAS的判定,即两条对应边及其夹角相等逐项判定即可．
【详解】解：A、角不是夹角，不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，选项不符合题意；
B、角不是夹角，不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，选项不符合题意；
C、满足SAS，能证明△ABC≌△A′B′C′，选项符合题意；
D、角不是夹角，不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．
2．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】方案Ⅰ中可用ASA证明△ABC≌△EDC，从而得到AB=DE；方案Ⅱ中可用ASA证明△ABD≌△CBD，从而得到AB=BC．
【详解】解：如图1所示，∵BF⊥AB，BF⊥DE，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDCASA，
∴AB=BC，
∴测量DE的长即可，故方案Ⅰ可行；
如图2所示，∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD=90°，
又∵∠BDC=∠BDA，BD=BD，
∴△ABD≌△CBDASA，
∴AB=BC，
∴测量BC的长即可，故方案Ⅱ可行；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确理解题意并熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
3．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB//DE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（ ）
A．AC＝DFB．∠A＝∠DC．BE＝CFD．∠ACB＝∠DFE
【答案】C
【分析】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论．
【详解】解：补充BE＝CF，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求，
若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求，
C选项：BE=CF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：C．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点．
4．已知，图中△ABC的面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C′的位置，使B′和C重合，连接AC′，交A′C于D，则△C′DC的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】根据平移的性质可得AC=A′C′，BC=B′C′，AC∥A′C′，证明△ADC≌△C′DA′，得到AD=C′D，则S△C′DC=12S△ACC′，再推出S△ABC=S△ACC′=24，则S△C′DC=12S△ACC′=12．
【详解】解：由平移的性质可得AC=A′C′，BC=B′C′，AC∥A′C′，
∴∠DCA=∠DA′C′，∠DAC=∠DC′A′，
∴△ADC≌△C′DA′ASA，
∴AD=C′D，
∴S△C′DC=12S△ACC′，
∵BC=CC′，△ABC的面积为24，
∴S△ABC=S△ACC′=24，
∴S△C′DC=12S△ACC′=12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5．如图，在△ABC中，AC=8cm，F是高AD和BE的交点．若AD=BD，则BF的长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．9cm
【答案】C
【分析】根据垂直及各角之间的关系得出∠CAD=∠FBD，再由全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
在△DBF和△DAC中，
∠FBD=∠CADDB=AD∠FDB=∠CDA，
∴△DBF≌△DAC(ASA)，
∴BF=AC=8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的余角相等，关键是推出△DBF≌△DAC(ASA)．
6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为_____．
【答案】92°/92度
【分析】由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．
【详解】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKNSAS，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=180°−44°−44°=92°，
故答案为：92°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKNSAS是解题的关键．
7．如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块（见右面的示意图），现在要到玻璃店去切割一块大小完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带_____去（填序号）
【答案】③
【分析】根据全等三角形的判定方法，进行选择即可．
【详解】解：根据全等三角形的判定方法，角边角可确定一个全等三角形，只有图③包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故答案为：③
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是________ ．
【答案】SAS
【分析】隐含的条件是直角，是两直角边的夹角，即可得出作图的依据为SAS．
【详解】解：：用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．
【点睛】此题考查作图-复杂作图和直角全等三角形的判定，解题关键在于先画出两条已知线段确定一个直角
9．如图所示：B、D、E在一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=___________．
【答案】55°/55度
【分析】证明△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠2=∠ABE，利用外角的性质得到∠3=∠1+∠2，进而得出答案．
【详解】解：在△ABD与△ACE中，
∵ ∠BAC=∠DAE，
即∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠1=∠CAE；
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴∠2=∠ABE；
∵∠3=∠1+∠ABE，
∴∠3=∠1+∠2，
∵ ∠1=25°，∠2=30°，
∴∠3=55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
10．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠2−∠1=______．
【答案】90°/90度
【分析】根据题意证明△ABE≌△CBF，得出∠1=∠FBC，根据平行线的性质得出∠FBC=∠GFB，等量代换得出∠1=∠GFB，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵AE=CF=1,∠A=∠C,AB=BC=2，
∴△ABE≌△CBFSAS，
∴∠1=∠FBC，
∵BC∥FG，
∴∠FBC=∠GFB，
∴∠1=∠GFB，
∴∠2−∠1=∠DFB−∠GFB=∠DFG=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格结构，准确判定全等三角形是解答的关键．
11．如图，在△ABC和△BDE中，点A、B、E共线，点B、C、D共线，BF、BG分别是∠ABD和∠DBE的平分线，已知∠ABD=∠DBE，AB=DB，EB=CB，若AC=8cm，DG=6cm，则CF=____________cm．
【答案】2
【分析】根据题意证明△ABC≌△DBESAS，然后证明∠△ABF≌△DBGASA，求出AF=DG=6cm，进而求解即可．
【详解】解：∵点A、B、E共线，∠ABD=∠DBE，
∴∠ABD=∠DBE=90°，
又∵AB=DB，EB=CB，
∴△ABC≌△DBESAS
∴∠A=∠D，
∵BF、BG分别是∠ABD和∠DBE的平分线，
∴∠ABF=∠DBF=12∠ABD=45°，∠DBG=∠GBE=12∠DBE=45°，
∴∠ABF=∠DBG，
又∵AB=DB，
∴△ABF≌△DBGASA，
∴AF=DG=6cm，
∴CF=AC−AF=8−6=2cm．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
12．如图所示，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，通过目测发现A，C与E在同一直线上，那么A，B之间的距离为________米．
【答案】17
【分析】根据已知条件证得△ABC≌△EDC，再利用全等三角形对应边相等的性质即可求得AB．
【详解】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴ ∠ABC=90°，
∵BC=50m，CD=50m，∠EDC=90°，
∴∠ABC=∠EDC，BC=DC．
∵∠ACB=∠ECD，
∴ △ABC≌△EDCASA，
∴ AB=DE．
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17，
∴ AB=17米．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形对应边相等的性质，是解答本题的关键．
13．已知：如图，BA=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE，求证：△ABE≌△DBC．
【答案】见解析
【分析】先求得∠ABE=∠DBC，再根据全等三角形的判定SAS即可证得结论．
【详解】证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE与△DBC中，
BA=BD∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法并灵活运用是解答的关键．
14．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=2∠DAE，且ΔDAE≅ΔFAE．求证：ΔABD≅ΔACF．
【答案】见解析
【分析】先根据全等三角形的性质以及已知∠BAC=2∠DAE得出∠BAD=∠CAF，再利用SAS即可证出ΔABD≅ΔACF．
【详解】证明：∵ΔDAE≅ΔFAE，
∴AD=AF,∠DAE=∠FAE．
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAE=∠FAE，
∵∠FAC+∠EAC=∠FAE
∴∠BAD=∠CAF．
在ΔABD和ΔACF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF
∴ΔABD≅ΔACF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的高，在BD上取一点P，使BP=AC，在CE的延长线上取一点Q，使CQ=AB，连接AQ，AP．
(1)试判断△ABP和△QCA是否全等，并说明理由；
(2)试猜想一下AQ与AP的大小关系和位置关系，并说明理由．
【答案】(1)△ABP和△QCA全等．理由见解析
(2)猜想：AQ=AP，AQ⊥AP．理由见解析
【分析】（1）证明∠ABD=∠ACQ，即可利用SAS证明△ABP≌△QCA；
（2）由全等三角形的性质得到AQ=AP，∠Q=∠BAP；由直角三角形两锐角互余推出∠QAB+∠BAP=90°，则AP⊥AQ．
【详解】（1）解：△ABP和△QCA全等．理由如下：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACQ+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACQ．
又∵BP=AC，AB=CQ，
∴△ABP≌△QCASAS．
（2）解：猜想：AQ=AP，AQ⊥AP．理由如下：
由（1）得△ABP≌△QCA
∴AQ=AP，∠Q=∠BAP．
又∵∠QAB+∠Q=90°，
∴∠QAB+∠BAP=90°，即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
·模块一 两边及夹角证全等
·模块二 两角及夹边证全等
·模块三 课后作业
模块一
两边及夹角证全等
全等三角形的判定
边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
【考点1 用SAS判定两个三角形全等】
【例1.1】在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，AB=A1B1，再补充下列哪个条件可以根据“SAS”判断△ABC和△A1B1C1全等（ ）
A．AB=A1C1B．BC=B1C1C．AC=A1C1D．AC=B1C1
【答案】C
【分析】根据SAS判定三角形全等是两边及这两边的夹角对应相等进行求解即可
【详解】解：在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，AB=A1B1，
∴要想利用“SAS”判断△ABC和△A1B1C1全等，则需要添加的条件是AC=A1C1，
故选C．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟知SAS判定全等三角形是解题的关键．
【例1.2】如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定逐个判定即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
B选项符合边角边判定，
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．
【例1.3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B=∠CB．AD⊥BCC．∠BAD=∠ACDD．BD=CD
【答案】C
【分析】证△ABD≌△ACD(SAS)，得∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，则AD⊥BC，当∠BAC=90°时，∠BAD=∠CAD=∠C=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△CAD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△CAD(SAS)，
∴∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC=12×180°=90°，
∴AD⊥BC，
当∠BAC=90°时，∠BAD=∠CAD=∠C=45°，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明ΔABD≅ΔCAD是解题的关键．
【变式1.1】如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是________.
【答案】SAS
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOC和△DOB中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≅△DOBSAS，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1.2】如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，能用“SAS”判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°
【答案】B
【分析】由条件可得AC=AC，再结合AB=AD，根据全等三角形的判定方法判断还差的条件即可．
【详解】由题意得AC=AC，AB=AD
∴用“SAS”判定△ABC≌△ADC还差两边的夹角对应相等
即∠BAC=∠DAC
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法“SAS”是解题的关键．
【考点2 SAS判定定理的应用】
【例2.1】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3−∠2=______．
【答案】45°/45度
【分析】证明△ABC≌△BDE，可证∠1与∠3互余，由方格纸的特点可知∠2是直角的一半，进而可求结论．
【详解】解：∵AC=BE∠ACB=∠BED=90°BC=DE，
∴△ABC≌△BDE，
∴∠1=∠DBE，
又∵∠DBE+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3−∠2=90°−45°=45°．
故答案为：45°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，以及方格纸的特点，数形结合是解答本题的关键．
【例2.2】填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，BC//EF，AB=DE，BC=EF，试说明∠C=∠F．
解：∵BC//EF(已知)
∴∠ABC=______（______）
在△ABC与△DEF中
AB=DE
∴△ABC≌△DEF（______）
∴∠C=∠F（______）
【答案】∠DEF；两直线平行，同位角相等；∠ABC=∠DEF；BC=EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠E，根据SAS求出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可；
【详解】解：∵BC//EF(已知)
∴∠ABC= ∠DEF（两直线平行，同位角相等）
在△ABC与△DEF中
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）
故答案为：∠DEF；两直线平行，同位角相等；∠ABC=∠DEF；BC=EF；SAS；全等三角形的对应角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，侧重考查学生的逻辑推理，题目比较典型．
【例2.3】如图，在4×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：
(1)以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；
(2)与△ABC全等，且不与△ABC重合．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【详解】（1）如图所示：△ABD即为所求；
在△ABC和△ABD中
AB=AB∠ABC=∠ABD=45°BC=BD=3
∴△ABC≌△ABDSAS．
（2）如图所示：△BAE即为所求．
∵AE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE．
在△ABC和△BAE中
AB=BA∠ABC=∠BAEBC=AE=3
∴△ABC≌△BAESAS．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式2.1】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点C在DE上．
(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)若∠BDA=35°，则∠BDE=______°．
【答案】(1)见解析
(2)70
【分析】（1）根据等式的性质，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS可得两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得∠ADC=∠AEC，根据等量代换，可得证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，AD=AE
∴∠ADC=∠AEC
∴∠BDA=∠ADC=35°
∴∠BDC=2∠BDA=2×35°=70°．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论．
【变式2.2】“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造出△BED和△CAD．求证：△BED≌△CAD．
【答案】见解析
【分析】由AD是△ABC的中线，可得DE=AD，再由∠EDB=∠ADC，DB=DC，即可证明△BED≌△CAD．
【详解】证明：如图所示：
，
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=DC，
在△BED和△CAD中，
ED=AD∠EDB=∠ADCDB=DC，
∴△BED≌△CAD(SAS)．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，倍长中线，熟练掌握全等三角形的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式2.3】如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．
【答案】120°
【分析】先证明△DAG≌△BAC,得到∠GDA=∠CBA，再利用∠BAD=60°以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．
【详解】解：∵∠DAE=∠GAC=60°,
∴∠DAG=∠BAC,
∵AD=AB,AC=AG,
在△DAG与△BAC中，
AD=AB,∠DAG=∠BACAG=AC
∴△DAG≌△BAC,
∴∠GDA=∠CBA,
∵∠BEO=∠AED,
∴∠BOE=∠BAD,
∴∠BAD=60°,
∴∠BOE=60°,
∴∠DOC=120°.
故答案为：120°.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2.4】如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．
(1)求证：△AEC≌△AEF．
(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)80°
【分析】（1）由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEFSAS；
（2）由△AEC≌△AEFSAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．
【详解】（1）证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，
∴△AEC≌△AEFSAS；
（2）解：∵△AEC≌△AEFSAS，
∴∠C=∠F，
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°，
∴∠FAE+∠F=50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，
∴∠BEF=80°，
∴∠BEF为80°．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
模块二
两角及夹边证全等
全等三角形的判定
角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 用ASA判定两个三角形全等】
【例1.1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是________.
【答案】ASA
【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据ASA即可画出一个与原来完全一样的三角形．
【详解】解：已知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是ASA，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
【例1.2】如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定进行一一判断即可得到答案．
【详解】解：A、其中有一个角相等，两条边相等，但是其中的角不是两条边的夹角，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；
B、180°−72°−50°=58°，所以这两个三角形有一个角对应相等，且有两条边对应相等，这个角也是两条边的夹角，可以证明三角形全等，故此选项正确；
C、虽然由一个角和两条边对应相等，且角是夹角，但是边不是对应相等的，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有两个角相等，但边不是对应相等的，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【例1.3】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E在AB边上，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，找出图中的全等三角形，并说明全等的理由.
【答案】△BED≌△CFD，理由见解析
【分析】根据中点得出BD=CD，再由平行线的性质得出∠B=∠FCB，利用全等三角形的判定证明即可．
【详解】解：△BED≌△CFD，理由如下：
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BDE=∠CDF，
∴△BED≌△CFD．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
【变式1.1】如图，AB//CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是（ ）
A．AB=CDB．∠ACB=∠EC．∠A=∠DD．AC=DE
【答案】B
【分析】根据平行线的性质推出∠B=∠DCE，再根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
A、根据SAS证△ABC≌△DCE，故本选项错误；
B、∵∠ACB=∠E，CB=CE，∠B=∠DCE，
∴△ABC≌△DCE（ASA），故本选项正确；
C、根据AAS证三角形全等，故本选项错误；
D、根据条件不能证△ABC和△DCE全等，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
【变式1.2】一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中正确的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、3或3、4去均可
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法可以确定原三角形的大小与形状，由此判断即可；
【详解】解：碎片1、4和碎片3、4可以根据ASA判定出与原三角形全等的三角形，故可以还原出同样的玻璃样板；
碎片1、2和碎片2、3仅有一个角与原三角形相同，无法判定全等三角形，故不可以还原出同样的玻璃样板；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1.3】如图，点E在△ABC外部，点D在△ABC的BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AE=AC，则（ ）．
A．△ABD≌△AFE B．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
【答案】D
【分析】首先根据题意得到∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，然后根据ASA证明△ABC≌△ADE．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠DFC，
∴∠E=∠C，
∴在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAEAC=AE∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADEASA，
故选：D．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
【考点2 ASA判定定理的应用】
【例2.1】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE=FE，AB=7，CF=4，则BD的长是________．
【答案】3
【分析】证明△ADE≌△CFEASA，得出AD=CF=4，即可得出答案．
【详解】解：∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∠ADE=∠FDE=FE∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFEASA，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB−AD=7−4=3，
∴BD的长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【例2.2】如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACF=60°，AC=CF，AB=4，EF=5，则BE=___________．
【答案】9
【分析】根据题意证明ΔABC≅ΔCFE，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到答案；
【详解】解：∵∠B=∠E=∠ACF=60°，
∠BCA+∠ACF=∠CFE+∠E，
∠ACF+∠ECF=∠B+∠BAC
∴∠BCA=∠CFE
∠BAC=∠ECF
在ΔABC和ΔCFE中
∠BAC=∠ECFAC=CF∠BCA=∠EFC
∴ΔABC≅ΔCFE
∴BC=EF，AB=CE
∴BE=BC+CE=EF+AB=5+4=9
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及了三角形的外角定理等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
【例2.3】如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，过点D作DF⊥AC于点F，延长DF交AB于点E，交∠ACB的平分线于点N，点M为CN与AB的交点，∠BMC=80°，∠B=40°.
(1)求∠AEF的度数；
(2)证明：NF=FD.
【答案】(1)70°
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据三角形内角和定理和平角的定义求出∠BCM=60°，∠AMC=100°，再根据垂直的定义求出∠EFC=90°，根据角平分线的定义求出∠ACN=∠BCN=60°，进而利用四边形内角和定理求出∠MEF=110°，则∠AEF=180°−∠MEF=70°；
（2）只需要证明△CFN≌△CFDASA，即可证明NF=DF．
【详解】（1）解：∵∠BMC=80°，∠B=40°，
∴∠BCM=180°−∠B−∠BMC=60°，∠AMC=180°−∠BMC=100°，
∵DF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∵CN平分∠ACB，
∴∠ACN=∠BCN=60°，
∴∠MEF=360°−∠AMC−∠ACM−∠EFC=110°，
∴∠AEF=180°−∠MEF=70°；
（2）证明：由（1）得∠ACN=∠BCN=60°，
∴∠ACD=180°−∠ACN−∠BCN=60°，
∴∠DCF=∠NCF，
又∵∠CFN=∠CFD=90°，CF=CF，
∴△CFN≌△CFDASA，
∴NF=DF．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【变式2.1】如图，BA=BE，∠A=∠E，∠ABE=∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD=∠D．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠ABE=∠CBD(已知)，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC( )
即∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中，
∠ABC=∠EBD_____=______∠A=∠E，
∴△ABC≌△EBD( )，
∴∠C=∠D( )
∵∠FBD=∠D，
∴∠C= (等量代换)，
∴AC∥BD( )
【答案】答案见解析
【分析】结合等式的性质利用ASA可证△ABC≌△EBD，由全等三角形对应角相等的性质等量代换可得∠C=∠FBD，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD.
【详解】解：∵∠ABE=∠CBD(已知)，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC(等式的性质)，即∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中，
∠ABC=∠EBDAB=BE∠A=∠E，
∴△ABC≌△EBD(ASA)，
∴∠C=∠D( 全等三角形对应角相等)
∵∠FBD=∠D，
∴∠C=∠FBD(等量代换)，
∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：等式的性质；AB=BE；ASA；全等三角形对应角相等；∠FBD；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的判定，熟练的掌握每一步证明的依据是解题的关键.
【变式2.2】如图，某段河流的两岸是平行的，某校八年级数学兴趣小组在林老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在树A的对岸l正对位置选一点B，使得AB⊥l；
②从点B沿河岸直走25米有一树C，继续前行25米到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走到达E处，使得树A、树C、点E三点共线；
④测得DE的长为20米．
(1)根据他们的做法补全图形并标出点B、D、E的位置；
(2)求该段河流的宽度是多少米？
【答案】(1)见解析
(2)20米
【分析】(1)根据要求画出相应的图形即可．
(2)根据要求证明△ABC≌△EDC即可．
【详解】（1）根据题意，画如下：
．
（2）根据题意，得
∠ABC=∠EDC=90°AC=CD∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=ED=20（米），
故该段河流的宽度是20米．
【点睛】本题考查了作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2.3】如图①，AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN．
(1)求∠AEB的度数；
(2)如图②，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D．求证：AC+BD=AB．
【答案】(1)90°
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAM+∠ABN=180°，根据角平分线的定义得到∠BAE=12∠BAM，∠ABE=12∠ABN，于是得到结论；
（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，根据全等三角形的性质得到∠AEC=∠AEF，BF=BD，等量代换即可得到结论．
【详解】（1）解：∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN=180°，
∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE=12∠BAM，∠ABE=12∠ABN，
∴∠BAE+∠ABE=12∠BAM+∠ABN=90°，
∴∠AEB=90°；
（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，
在△ACE与△AFE中，
AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，
∴△ACE≅△AFESAS，
∴∠AEC=∠AEF，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°，
∴∠FEB=∠BED，
在△BFE与△BDE中，
∠FBE=∠DBEBE=BE∠FEB=∠DEB，
∴△BFE≅△BDEASA，
∴BF=BD，
∵AB=AF+BF，
∴AC+BD=AB．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，能够熟练运用全等三角形的判定及性质以及能够构造截长补短的辅助线是解题关键．
模块三
课后作业
1．下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′
B．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′
C．AC=A′C′，BC=B′C′，∠C=∠C′
D．AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′
【答案】C
【分析】根据全等三角形SAS的判定,即两条对应边及其夹角相等逐项判定即可．
【详解】解：A、角不是夹角，不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，选项不符合题意；
B、角不是夹角，不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，选项不符合题意；
C、满足SAS，能证明△ABC≌△A′B′C′，选项符合题意；
D、角不是夹角，不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．
2．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】方案Ⅰ中可用ASA证明△ABC≌△EDC，从而得到AB=DE；方案Ⅱ中可用ASA证明△ABD≌△CBD，从而得到AB=BC．
【详解】解：如图1所示，∵BF⊥AB，BF⊥DE，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDCASA，
∴AB=BC，
∴测量DE的长即可，故方案Ⅰ可行；
如图2所示，∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD=90°，
又∵∠BDC=∠BDA，BD=BD，
∴△ABD≌△CBDASA，
∴AB=BC，
∴测量BC的长即可，故方案Ⅱ可行；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确理解题意并熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
3．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB//DE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（ ）
A．AC＝DFB．∠A＝∠DC．BE＝CFD．∠ACB＝∠DFE
【答案】C
【分析】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论．
【详解】解：补充BE＝CF，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求，
若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求，
C选项：BE=CF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠ABC=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：C．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点．
4．已知，图中△ABC的面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C′的位置，使B′和C重合，连接AC′，交A′C于D，则△C′DC的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】根据平移的性质可得AC=A′C′，BC=B′C′，AC∥A′C′，证明△ADC≌△C′DA′，得到AD=C′D，则S△C′DC=12S△ACC′，再推出S△ABC=S△ACC′=24，则S△C′DC=12S△ACC′=12．
【详解】解：由平移的性质可得AC=A′C′，BC=B′C′，AC∥A′C′，
∴∠DCA=∠DA′C′，∠DAC=∠DC′A′，
∴△ADC≌△C′DA′ASA，
∴AD=C′D，
∴S△C′DC=12S△ACC′，
∵BC=CC′，△ABC的面积为24，
∴S△ABC=S△ACC′=24，
∴S△C′DC=12S△ACC′=12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5．如图，在△ABC中，AC=8cm，F是高AD和BE的交点．若AD=BD，则BF的长是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．9cm
【答案】C
【分析】根据垂直及各角之间的关系得出∠CAD=∠FBD，再由全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
在△DBF和△DAC中，
∠FBD=∠CADDB=AD∠FDB=∠CDA，
∴△DBF≌△DAC(ASA)，
∴BF=AC=8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的余角相等，关键是推出△DBF≌△DAC(ASA)．
6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为_____．
【答案】92°/92度
【分析】由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．
【详解】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKNSAS，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=180°−44°−44°=92°，
故答案为：92°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKNSAS是解题的关键．
7．如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块（见右面的示意图），现在要到玻璃店去切割一块大小完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带_____去（填序号）
【答案】③
【分析】根据全等三角形的判定方法，进行选择即可．
【详解】解：根据全等三角形的判定方法，角边角可确定一个全等三角形，只有图③包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故答案为：③
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是________ ．
【答案】SAS
【分析】隐含的条件是直角，是两直角边的夹角，即可得出作图的依据为SAS．
【详解】解：：用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．
【点睛】此题考查作图-复杂作图和直角全等三角形的判定，解题关键在于先画出两条已知线段确定一个直角
9．如图所示：B、D、E在一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=___________．
【答案】55°/55度
【分析】证明△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠2=∠ABE，利用外角的性质得到∠3=∠1+∠2，进而得出答案．
【详解】解：在△ABD与△ACE中，
∵ ∠BAC=∠DAE，
即∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠1=∠CAE；
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴∠2=∠ABE；
∵∠3=∠1+∠ABE，
∴∠3=∠1+∠2，
∵ ∠1=25°，∠2=30°，
∴∠3=55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
10．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠2−∠1=______．
【答案】90°/90度
【分析】根据题意证明△ABE≌△CBF，得出∠1=∠FBC，根据平行线的性质得出∠FBC=∠GFB，等量代换得出∠1=∠GFB，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵AE=CF=1,∠A=∠C,AB=BC=2，
∴△ABE≌△CBFSAS，
∴∠1=∠FBC，
∵BC∥FG，
∴∠FBC=∠GFB，
∴∠1=∠GFB，
∴∠2−∠1=∠DFB−∠GFB=∠DFG=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格结构，准确判定全等三角形是解答的关键．
11．如图，在△ABC和△BDE中，点A、B、E共线，点B、C、D共线，BF、BG分别是∠ABD和∠DBE的平分线，已知∠ABD=∠DBE，AB=DB，EB=CB，若AC=8cm，DG=6cm，则CF=____________cm．
【答案】2
【分析】根据题意证明△ABC≌△DBESAS，然后证明∠△ABF≌△DBGASA，求出AF=DG=6cm，进而求解即可．
【详解】解：∵点A、B、E共线，∠ABD=∠DBE，
∴∠ABD=∠DBE=90°，
又∵AB=DB，EB=CB，
∴△ABC≌△DBESAS
∴∠A=∠D，
∵BF、BG分别是∠ABD和∠DBE的平分线，
∴∠ABF=∠DBF=12∠ABD=45°，∠DBG=∠GBE=12∠DBE=45°，
∴∠ABF=∠DBG，
又∵AB=DB，
∴△ABF≌△DBGASA，
∴AF=DG=6cm，
∴CF=AC−AF=8−6=2cm．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
12．如图所示，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，通过目测发现A，C与E在同一直线上，那么A，B之间的距离为________米．
【答案】17
【分析】根据已知条件证得△ABC≌△EDC，再利用全等三角形对应边相等的性质即可求得AB．
【详解】解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，
∴ ∠ABC=90°，
∵BC=50m，CD=50m，∠EDC=90°，
∴∠ABC=∠EDC，BC=DC．
∵∠ACB=∠ECD，
∴ △ABC≌△EDCASA，
∴ AB=DE．
∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17，
∴ AB=17米．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形对应边相等的性质，是解答本题的关键．
13．已知：如图，BA=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE，求证：△ABE≌△DBC．
【答案】见解析
【分析】先求得∠ABE=∠DBC，再根据全等三角形的判定SAS即可证得结论．
【详解】证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE与△DBC中，
BA=BD∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法并灵活运用是解答的关键．
14．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=2∠DAE，且ΔDAE≅ΔFAE．求证：ΔABD≅ΔACF．
【答案】见解析
【分析】先根据全等三角形的性质以及已知∠BAC=2∠DAE得出∠BAD=∠CAF，再利用SAS即可证出ΔABD≅ΔACF．
【详解】证明：∵ΔDAE≅ΔFAE，
∴AD=AF,∠DAE=∠FAE．
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAE=∠FAE，
∵∠FAC+∠EAC=∠FAE
∴∠BAD=∠CAF．
在ΔABD和ΔACF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF
∴ΔABD≅ΔACF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的高，在BD上取一点P，使BP=AC，在CE的延长线上取一点Q，使CQ=AB，连接AQ，AP．
(1)试判断△ABP和△QCA是否全等，并说明理由；
(2)试猜想一下AQ与AP的大小关系和位置关系，并说明理由．
【答案】(1)△ABP和△QCA全等．理由见解析
(2)猜想：AQ=AP，AQ⊥AP．理由见解析
【分析】（1）证明∠ABD=∠ACQ，即可利用SAS证明△ABP≌△QCA；
（2）由全等三角形的性质得到AQ=AP，∠Q=∠BAP；由直角三角形两锐角互余推出∠QAB+∠BAP=90°，则AP⊥AQ．
【详解】（1）解：△ABP和△QCA全等．理由如下：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACQ+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACQ．
又∵BP=AC，AB=CQ，
∴△ABP≌△QCASAS．
（2）解：猜想：AQ=AP，AQ⊥AP．理由如下：
由（1）得△ABP≌△QCA
∴AQ=AP，∠Q=∠BAP．
又∵∠QAB+∠Q=90°，
∴∠QAB+∠BAP=90°，即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
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