第07讲 AAS，HL证全等及角平分线的性质-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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·模块一 两角及对边证全等
·模块二 斜边及一条直角边证全等
·模块三 角平分线的性质
·模块四 课后作业
模块一
两角及对边证全等
全等三角形的判定
角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 用AAS判定三角形全等】
【例1.1】如图，AB=AC，若利用“AAS”判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是（ ）
A．AD=AEB．∠B=∠CC．BE=CDD．∠AEB=∠ADC
【答案】D
【分析】找到根据“AAS”判定△ABE≌△ACD需要的条件，作出证明即可．
【详解】解：还需添加的条件是∠AEB=∠ADC，理由是：
在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACDAAS，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【例1.2】如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析
【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求证．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF
【点睛】本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．
【例1.3】如图，已知AD=AE，∠B=∠C，则图中全等的三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【分析】根据ASA推出△ABE≅△ACD，求出∠ADC=∠AEB，AB=AC，根据全等三角形的判定推出△DOB≅△EOC，△AOB≅△AOC，△AOD≅△AOE即可．
【详解】解：在△ABE和△ACD中，
∠B=∠CAD=AE∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≅△ACD（ASA），
∴∠ADC=∠AEB，AB=AC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴AB−AD=AC−AE，
即BD=CE，
在△DOB和△EOC中，
∠B=∠C∠BOD=∠COEBD=CE，
∴△DOB≅△EOC（AAS），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，
OB=OC∠B=∠CAB=AC，
∴△AOB≅△AOC（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
在△AOD和△AOE中，
AB=AC∠BAO=∠CAOAO=AO，
∴△AOD≅△AOE（SAS），
即全等三角形有4对，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【变式1.1】如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“AAS”直接证明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是______．
【答案】∠B=∠D
【分析】根据“AAS”表示的意义添加条件即可．
【详解】∵∠ACB=∠ACD，AC=AC，
∴要使要用“AAS”直接证明△ABC≌△ADC需添加的一个条件是∠B=∠D，
故答案为：∠B=∠D．
【点睛】本题考查用AAS证明全等，“AAS”表示的意义是：已知两个角及一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．
【变式1.2】如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到△ADF≌△CBE是（ ）
A．∠B＝∠DB．EB=DFC．AD=BCD．AE=CF
【答案】A
【分析】直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS、SAS、AAS、ASA；
【详解】A∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，∠B=∠D，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；
B∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，EB=DF，符合AAS的判定，该选项符合题意；
C∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AD=BC，符合AAS的判定，该选项符合题意；
D∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AE=CF，∴AF=CE，符合ASA的判定，该选项符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键
【变式1.3】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【答案】△ADC与△CEB全等，证明见解析
【分析】先证明∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB，即可求解．
【详解】解：△ADC与△CEB全等
理由如下：
根据题意可知：AC=CB,∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°;
在Rt△ADC中，∠CAD+∠ACD=90°,
又∵∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
在△ADC与△CEB中，
∠ADC=∠CEB,∠CAD=∠BCE,AC=CB.
∴△ADC≌△CEBAAS
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点2 AAS判定定理的应用】
【例2.1】如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O=90°），若OA=40cm，OB=30cm，则点C离地面的距离是_____cm．
【答案】30
【分析】如图，过点C作CD⊥OB于点D，构造全等三角形△AOB≌△BDC(AAS)，由全等三角形的对应边相等得到OB=CD．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵∠O=∠ABC=∠BDC=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等）．
在△AOB与△BDC中，
∠O=∠BDC∠1=∠2AB=BC，
∴△AOB≌△BDC(AAS)．
∴OB=CD=30cm．
故答案是：30．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【例2.2】如图，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，点D、E、F、C在同一条直线上，对于下列四个结论：①△ABD≌△ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④△BCE≌△BAD．其中正确结论的序号是____．
【答案】①②③
【分析】根据三角形全等的性质与判定分别对结论进行分析即可解得答案．
【详解】解：∵在△ABD和△ACF中，
∠ADB＝∠AFC∠ABD=∠ACFAB=AC
∴△ABD≅△ACFAAS，故①正确；
∴AD=AF，∠DAB=∠FAC，
∵∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
∴∠DAF=∠BAC，故②③正确；
∵没有条件能够证明△BCE≅△BAD，故④不正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理是解题的关键．
【例2.3】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB=5，AC=7，则AD的取值不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB=5，再由三角形的三边关系可得2