第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法
人教版

·模块一 作平行线
·模块二 作垂线
·模块三 倍长中线法
·模块四 截长补短法
·模块五 课后作业
模块一
作平行线



【例1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【例2】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【变式1】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME

模块二
作垂线



【例1】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

【例2】如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,A(0,3),C(1,0)，则点B的坐标为________．

【例3】如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交DE于F.求证：EF=DF.

【变式1】如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，DE=AC，求证：∠BAC=∠BED.

【变式2】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC．

模块三
倍长中线法



【例1】如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为____________．

【例2】已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______．
【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若∠ABE=∠D．

(1)猜想BD=________BE；
(2)完成（1）的证明过程．
【变式1】如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．

【变式2】如图，已知AP//BC，点E是DC的中点，且AD+BC=AB，求证：AE⊥BE．

模块四
截长补短法



【例1】如图，在△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，若AC+CD=AB，求∠C的度数．

【例2】如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°， ∠BCD=150°，CB=CD，M、N分别为AB、AD上的动点，且∠MCN=75°．求证： MN=BM+DN．

【变式1】如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α(0°