福建省德化第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省德化第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

2023年春季德化二中高一期中考数学试卷
考试范围：三角函数，平面向量． 考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知向量，，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量减法的坐标运算和模长公式可求出结果.
【详解】因为向量，，所以，
所以.
故选：D．
2. 等于（　）
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题得原式=，再利用和角的正弦公式化简计算.
【详解】由题得原式=.
故选C
【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3. 在△ABC中，，则边AC上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD＝x，则CD＝4﹣x，利用勾股定理可知和中分别用勾股定理求，建立方程求解的值，再利用勾股定理求得BD.
【详解】由点B向AC作垂线，交点为D.

设AD＝x，则CD＝4﹣x，
∴，解得
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形中勾股定理的应用.属基础题.
4. 在中，，则k的值是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先写出，再利用向量垂直得到，解出即可.
【详解】，，
，解得，
故选：A.
5. 在平行四边形中，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形，进而根据平面向量的概念及加减法法则即可得到答案.
【详解】如图，

易知A正确；根据平行四边形法则，B正确；，C错误；，D正确.
故选：C.
6. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦差的公式进行合并即可．
【详解】．故选D
【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的余弦公式的计算．
7. 函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（ ）
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意计算出当时，的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】函数在区间上是增函数，且，，则当时，，
而函数在区间上先增后减，
所以，函数在区间上先增后减，当，该函数取到最大值.
故选：C.
【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
8. 设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D.

二、多选题（每题满分5分，部分选对得2分，共20分）
9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）

A. 函数的最小正周期为π
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，由图象求出，A错误；BC选项，根据图象求出，进而代入验证得到的图象关于直线对称，B正确，C错误；D选项，根据左加右减求出平移后的解析式，D错误.
【详解】A选项，由图象得，，解得，A正确；
BC选项，因为，所以，故，
将代入解析式得，故，
解得，
因为，故只有满足要求，
故，
当时，，
故函数的图象关于直线对称，B正确，C错误；
D选项，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数，故D错误.
故选：CD
10. 下列论述中，正确的有（ ）
A. 正切函数定义域为
B. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角
C. 第一象限的角一定是锐角
D. 圆心角为且半径为2的扇形面积是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正切函数的定义判断A，根据象限角的定义判断B，C，根据扇形面积公式判断D.
【详解】对于A：正切函数的定义域为，故A错误；
对于B：若是第一象限角，则，可得，
所以表示第一或第三象限角，故B正确；
对于C：是第一象限角，但不是锐角，故C错误；
对于D：圆心角为且半径为2的扇形面积，故D正确．
故选：BD．
11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 是的充要条件
B. 若，则P是的垂心
C. 若面积为S，，则
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.根据三角形的性质和正弦定理判断；
B.变形数量积公式，结合几何意义，即可判断；
C.根据三角形面积公式，和余弦定理求解；
D.利用诱导公式和三角形的性质，即可判断.
【详解】A.，再根据正弦定理，，所以是的充要条件，故A正确；
B. ，所以，同理，，所以P是的垂心，故B正确；
C.由条件可知，，即，所以，所以，，所以 ，故C正确；
D. ，故D错误.
故选：ABC
12. 如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形内接于扇形，记．则下列说法正确的是（ ）

A. 弧PQ的长为
B. 扇形OPQ的面积为
C. 当时，矩形的面积为
D. 矩形的面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得的长，即可求出矩形的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.
【详解】由题意知，在扇形OPQ中，半径，圆心角，
故弧PQ的长为，A正确；
扇形OPQ的面积为，B错误；
在中，，
在中，,
则的面积
，
当时，又，故，
则，
则，
则，
即矩形的面积为，C正确；
由C分析可知矩形的面积，
当，即时，矩形的面积取最大值，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边的长，从而表示出矩形的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 试写出一个满足下列条件的函数解析式___________.①以为最小正周期；②以为一根对称轴；③值域为
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】结合三个条件，对余弦函数进行变形得到，满足题意.
【详解】，满足三个条件，符合题意.
故答案为：
14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m.

【答案】
【解析】
【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．

15. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解作答.
【详解】向量，，则，
与同向的单位向量为，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
16. 定义平面向量的一种运算，，其中，是与的夹角，给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的序号是________.
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据已知中的新定义，，，其中，是与的夹角，结合平面向量数量积的运算、平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，逐一判断四个命题的真假可得答案．
【详解】，，其中，是与的夹角，
若，，则，，
则，故正确；
②，则，夹角为，
则，故错误；
③若，则，故正确；
④若，，则，，
，
则，，故错误；
故真命题的序号为：①③
故答案为：①③
【点睛】本题以向量运算的新定义为载体，考查平面向量数量积的运算、平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式，难度为中档．
四、解答题（第17题10分，其余5题每题12分，共70分）
17.
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求
【答案】（Ⅰ）函数f(x)的最大值为,最小正周期.（Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：(1)首先将函数化简为＝，
根据三角函数的性质即得.函数的最大值为，最小正周期为.
(2)由，得到，
应用诱导公式及两角和的正弦公式，
解得
(1)＝，
所以函数的最大值为，最小正周期为.
(2)，所以，
因为C为锐角，所以，
在中，，所以，
所以，
考点：三角函数诱导公式，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.

18. 已知 ​三个顶点的直角坐标分别为,,..
（1）若​，求​的值;
（2）若 ​，求​的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的坐标表示可求得；
（2）由数量积夹角的坐标表示求得，再求得．
【小问1详解】
由 ,,,
得到​，则​，解得；
【小问2详解】
当 ​时，．则，，同理，
，
，因此为锐角，
所以．
19. 在中，已知内角，边.设内角，周长为.
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
【答案】（1），（2）最大值.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定义域，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化到最简；
（2）由（1），根据范围求得的范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）因为，且，所以，
由，得，即.
由正弦定理得：，
所以，
所以
，
所以.
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以当时，取得最大值为.
【点睛】该题考查的是有关三角函数以及解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理解三角形，两角差的正弦函数公式，辅助角公式化简函数解析式，求三角函数的最值，属于简单题目.
20. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.
试题解析：（1）因为向量与平行，
所以，
由正弦定理得，
又，从而tanA＝，由于0 （2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsinA＝.
考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.

21. 已知函数.
（1）求的最小正周期及在区间上的最大值
（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.
【答案】（1）最小正周期为，最大值；（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数图像和性质的应用得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.
【详解】（1），
所以的最小正周期为.
因为，所以
于是，当，即时，取得最大值
（2）在中，
，，，.
由正弦定理，，

，
，
，
.
22. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.
（1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
（2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；
（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.
【答案】（1），理由见解析；
（2）当时，，且；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.
（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.
（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.
【小问1详解】
依题意，函数定义域是R，
，
即，成立，
所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.
【小问2详解】
因，是上的P级周期函数，则，即，
而当时，，当时，，，
当时，，则，
当时，，则，
……
当时，，则，
并且有：当时，，当时，，当时，，……，
当时，，
因是上的严格增函数，则有，解得，
所以当时，，且.
【小问3详解】
假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，
即，恒有成立，则，恒有成立，
即，恒有成立，当时，，则，，
于是得，，要使恒成立，则有，
当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，
此时恒成立，则，即，
当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，
所以存在，符合题意，其中满足.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.