甘肃省平凉市2023届高三上学期期中数学（文科）试题（解析版）

这是一份甘肃省平凉市2023届高三上学期期中数学（文科）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
平凉市2022-2023学年第一学期高三期中考试联考试卷
高三数学（文科）
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题（每题5分、共60分）
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用交集的定义求解即可
【详解】解：因为集合，，，
所以，
故选：B
2. 已知，是实数，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个条件之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若，则，即，故.
取，此时，但，
故推不出，
故选：A.
3. 设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用作差法比较大小即可得正确选项.
【详解】由，
又，
可得，
所以A选项是正确的.
由，
又，
可得，
所以B选项是错误的.
=，
所以C选项是错误的.
，
所以D选项是正确的.
故选：A.
【点睛】本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.属于较易题.
4. 等比数列的前项和为，，，则公比为（ ）
A. B. 或1 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由，列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得，
故选：A.
5. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ）
A. 四点必共面 B. 四点必共面
C. 四点必共面 D. 五点必共面
【答案】B
【解析】
【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.
【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.
而，其中，所以四点共面.
故选：B.
6. 等比数列，满足，，且，，则（ ）
A. 31 B. 36 C. 42 D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】
由等比数列的性质得，又， 可知和是方程的两根，求得和，再利用通项公式求得公比，首项，代入求和公式即可得解.
【详解】等比数列中，由，可知，又，
所以和是方程的两根，
又，，则
所以，，
所以.
故选：A
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列求和公式，考查学生的运算求解能力,属于基础题.

7. 在等差数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由等差中项的性质可得，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.
8. 在等差数列{an}中，若a4＝5，则数列{an}的前7项和S7＝（ ）
A. 15 B. 20 C. 35 D. 45
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前项和的性质，即可直接计算求得结果.
【详解】因为数列是等差数列，故可得.
故选：.
【点睛】本题考查等差数列前项和性质，属简单题.
9. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．
【详解】设圆上任意一点为，中点为，
则，可得，
代入得，
化简得．
故选：A．
10. 函数在区间上的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.
【详解】对于函数，.
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，.
故选：C.
【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
11. 如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．
【详解】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，

由题意知：当、时，、、、共面，
设平面法向量为，，，
则，取，解得，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
故选：B.
12. 如果曲线上一点(1，3)处的切线过点，则有（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】由斜率公式求出，进而得出.
【详解】由题意知切线过点(1，3)，
所以
故选：A
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分、共20分）
13. 求经过两点的直线方程___________.
【答案】
【解析】
【分析】可由两点式写出直线方程，然后化简．
【详解】直线方程为，即．
【点睛】本题考查直线方程两点式，掌握两点式是解题关键．两点式为．
14. 已知数列的通项公式是，那么达到最小值时n为________.
【答案】22或23.
【解析】
【分析】利用数列单调性求得满足题意的n即可.
【详解】，数列是递增数列.
令，解得：，或，
则可知达到最小值时n为22或23.
故答案为：22或23.
【点睛】本题考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题.
15. 函数的极小值点为______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用求解函数的极值点，再根据函数的单调性，判断极小值点与极大值点即可.
【详解】因为函数，所以，得，令可得函数增区间为 ，可得函数的减区间为 ，所以在处取得极小值为，所以函数的极小值点为2.
故答案为：2.
16. 已知，且有，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以，
因此由，
而，把代入得：
，而，
因此.
故答案：
三、解答题（共70分）
17. 已知圆：和：
（1）求证：圆和圆相交；
（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；
（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长．
【小问1详解】
标准方程是，，，
标准方程是，，，
，显然，
所以两圆相交．
【小问2详解】
两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程，
到直线的距离为，
所以公共弦长．
18. 已知，集合，函数的定义域为.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简集合，求出集合，由可得的取值范围；
（2）是的必要不充分条件，即是的真子集，列不等式求出的取值范围即可．
【详解】
令，即
（1）∵，∴且，即；
（2）由题知是的真子集，故且，即.
19. 为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）；（2），时，的最小值为.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.
【详解】（1）设的公差为 ，
由，，
即，解得，
所以.
（2），
，
所以当时，的最小值为.
20. 直线l过点P（4,1），
（1）若直线l过点Q（－1,6），求直线l的方程；
（2）若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）由题，此直线经过两点，故采用直线的两点式方程，将P（4,1），Q（－1,6），代入到两点式方程中，得到直线方程；
（2）由题，经过一点的直线可设为直线的点斜式方程，将点坐标代入，得到y－1＝k（x－4），分别将x，y轴上的截距表示出来，由题中的关系可得到的关系式，求解即可.
【详解】解：（1）直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0.
（2）由题意知直线有斜率且不为零，
设直线l的方程为y－1＝k（x－4），
l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，
故1－4k＝2（4－），得k＝或k＝－2，
直线l的方程为或y＝－2x＋9.
21. 已知函数，其中且.
（1）判断的奇偶性；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验与的关系即可判断；
（2）结合对数函数的单调性即可求解．
【小问1详解】
因为的定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数；
【小问2详解】
当时，由可得，
所以，
故，
故不等式的解集为．
22. 已知函数.

(1)在给出的直角坐标系中，画出的大致图象；
(2)根据图象写出的单调区间;
(3)根据图象写出不等式的解集.
【答案】(1)见解析;(2) 递增区间为,递减区间为;(3) .
【解析】
【分析】(1)直接由分段函数的解析式作图即可；、
(2)直接由图象可得单调区间;
(3)找到图像中函数值大于0的部分即可得解.
【详解】(1)
(2)根据图象可知，的单调递增区间为
单调递减区间为
(3)根据图象可得，的解集为.
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象的作图及利用图像求单调区间解不等式，属于基础题.