广东省实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份广东省实验中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版），共16页。
2022-2023学年秋季学期
2022级期末学情检测 数学试题
命题：戴薇薇 审定：张柳 校对：戴薇薇
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据集合的交集运算可得结果.
【详解】解：因为集合，，所以.
故选：D.
2. 已知,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性可大致判断和1的大小,将用换底公式化为以2为底的对数形式,再根据对数函数的单调性即可判断的大小,进而选出结果.
【详解】解:由题知单调递增,
,
,
,
,
即,
综上:.
故选:A
3. 函数在区间内的零点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据单调性与区间端点的符号判断即可.
【详解】易得为减函数,又,
.故在区间内的零点个数是1.
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数零点的个数问题,根据单调性与区间端点的正负分析即可.属于基础题型.
4. 已知，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
【详解】＝-sin[]＝
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
逐个分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，即可得出结论.
【详解】对于A选项，函数最小正周期为，且该函数在区间上单调递减；
对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，
则该函数在区间上不单调；
对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，
则该函数区间上单调递减；
对于D选项，函数的最小正周期为，且该函数在区间上单调递增.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数周期和单调性的判断，熟悉正弦、余弦和正切函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.
6. 已知，若，则（ ）
A. 或 B. 3或5 C. 或5 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解.
【详解】解：由题意，当时，，解得或（舍去）；
当，，解得（舍去）；
综上，.
故选：D.
7. 已知函数， 若， 则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
由函数的解析式，求得函数的定义域，再根据函数的奇偶性和复合函数的单调性，得出函数为奇函数且为单调递减函数，再根据函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，
又由，所以函数为奇函数，
令，可得函数为单调递减函数，
根据复合函数的单调性，可得函数为定义域上的单调递减函数，
因为，即，
则满足，解得.
故选：B.
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
8. 若不等式解集为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.
【详解】①当时，成立
②当 时，若不等式的解集为，
则不等式在恒成立，
则，
解得：
综上，实数的取值范围是
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ④⑥ D. ②⑤
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据为第二象限角判断出、、的符号，从而可得出为第二象限角的充要条件.
【详解】若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.
故选：BC.
【点睛】本题考查三角函数值的符号与象限角之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
10. 给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A. “”的否定是“”
B. 函数（其中，且）的图象过定点
C. 当时，幂函数的图象是一条直线
D. 若函数，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定即可判断A；根据指数函数、对数函数的性质即可判断B；根据幂函数的定义与性质即可判断C；令，则，代入即可判断D．
【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确；
对于B，函数（其中，且），当，即时，此时，故的图象过定点，故B正确；
对于C，当时，幂函数（），其图象是一条直线（除去与y轴的交点），故C错误；
对于D，令，则，即，所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 下列函数中最小值为8的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用均值不等式求和的最小值，注意等号成立与否.
【详解】对A，，当且仅当或时取等号，A对；
对B，，由无解，故不能取等号，B错；
对C，，当且仅当时取等号
，C对；
对D，，当且仅当时取等号，D对.
故选：ACD
12. 已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，恒有
B. 若当时，的最小值为，则m的取值范围为
C. 不存在实数k，使函数有5个不相等的零点
D. 若关于x的方程所有实数根之和为0，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．
【详解】当时，且为R上的奇函数，
作函数f（x）的图象如图：

对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；
对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；
对于C，联立，得，
△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，
∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；
对于D，由 可得或，
∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，
∴函数的根与根关于原点对称，则，
但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，
若关于x的两个方程与所有根的和为0，
则的根为，此时 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.
第二部分 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式可求得答案.
【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.
故答案为.
【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
14. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.
【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，
又函数在上单调递减，则，
所以实数m的值为-3.
故答案为：-3
15. 已知，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】将齐次式弦化切即可求解.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：2.
16. 已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.
【详解】不妨设，
因为函数有两个零点分别为a，b，
所以，
所以，
即，且，
，
当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，
，
即，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角的终边上点的坐标得到，，然后计算即可；
（2）利用诱导公式化简原式得到，然后根据角的终边上点的坐标求即可.
【小问1详解】
因为角的终边上有点，
所以，
，
所以.
【小问2详解】


.
18. (1)若不等式的解集为，求的值.
(2)不等式的解集为A，求集合A.
【答案】(1)；(2){或}.
【解析】
【分析】(1)根据二次不等式的解法即可求解；
(2)根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】(1)由题意得：－1，3就是方程的两根，
∴，则，∴；
(2)将不等式转化为，∴或，
∴或.
19. 已知函数（，且）．
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．
【答案】（1）1 （2）或
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
（1）求的解析式，并作出函数的图象；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），图象见解析
（2）
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解即可，再根据函数解析式画出图像即可；
（2）不等式在上有解可转化为不等式在上有解，只需即可求解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
设，则，所以，所以，
综上：，
函数的图象如下图：
【小问2详解】
由不等式在上有解，
即不等式在上有解，只需，
由（1）图象知函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
所以实数的取值范围是.
21. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．
【答案】5km；最小费用8万元
【解析】
【分析】先设出，代入自变量及对应的函数值，求出，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值.
【详解】设，
当时，，
∴，
∴，
∴两项费用之和为．
当且仅当时，即当时等号成立．
即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，
且最小费用为8万元．
22. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值;
（2）解关于的不等式;
（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【小问1详解】
函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
【小问2详解】
，
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
【小问3详解】
函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.