河南省河南大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份河南省河南大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年下学期期中考试高一数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法求解，进而可得的虚部.
【详解】，故的虚部为1.
故选：A
2. 如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）

A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图确定原图形的形状和大小，由此可求其面积.
【详解】因为为等腰直角三角形，，，
所以，
所以对应的原平面图形如下，

其中，，
所以这个平面图形的面积,
故选：D.
3. 已知向量，，，若，则实数m的值是（ ）
A. －10 B. －8 C. 10 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算即可.
【详解】
；



故选：A.
4. 函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由周期求出，再根据函数过点，求出，即可得解；
【详解】解：由图可知，所以，又，所以，
又函数过点，即，
所以，解得，因为，所以，
所以；
故选：C
5. 若是第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由已知和求出，再代入两角和的正切展开式可得答案.
【详解】是第二象限角，所以，，
由，得，，
所以，则.
故选：D.
6. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：

，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
7. 已知内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角恒等变换求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，即可求得面积的最大值．
【详解】因为，
所以，
即，
即，
即，
所以，解得，
因为，所以，
又因为，，
，解得，
因为，，都为正数，所以，即，
解得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即面积的最大值为．
故选：A．
8. 已知函数，a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. f (cos A)≤f (cos B)
C. f (sin A)≥f (sin B) D. f (sin A)≥f (cos B)
【答案】D
【解析】
【分析】先利用余弦定理和基本不等式求得，从而得到.由和在上的单调性得到,，而大小不确定，大小不确定.
利用复合函数的单调性法则判断出在上单调递减.对四个选项一一验证：
对于A、D：因为，所以f (sin A)≥f (cos B).即可判断；
对于B、C：因为大小不确定，大小不确定.
【详解】因为a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且
由余弦定理得：
利用基本不等式可得：，所以，
所以.
因为，所以，所以,
所以.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以,,
即,.
由于A、B大小不确定，所以大小不确定，大小不确定.
当x>0时，.
因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减.
对于A、D：因为，所以f (sin A)≥f (cos B).故A错误，D正确.
对于B、C：因为大小不确定，大小不确定，所以B、C不能确定.
故选：D
【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 若，则与的夹角为钝角 B. 若向量与不共线，则与都是非零向量
C. 若与共线，与共线，则与共线 D. “”的充要条件是“且”
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用向量的相关概念以及数量积运算的概念进行判断.
【详解】对于A，若，与的夹角也可以为，不一定是钝角，故A不正确；
对于B，因为与任意向量都共线，若向量与不共线，则与都是非零向量，故B正确；
对于C，若与共线，与共线，，则与不一定共线，故C不正确；
对于D，若，则与是相等向量，则它们模长相等，方向相同，
若且，它们不一定是相等向量，故D不正确.
故选：ACD.
10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数
C. 的模长等于 D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】对于A：，
在复平面内对应的点为位于第二象限，故A正确；
对于B：，为纯虚数，故B正确；
对于C：，
所以，故C正确；
对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.
故选：ABC.
11. 三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正余弦定理逐一判断即可
【详解】A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；
B：由,得，则为钝角，故B能判断；
C：由正弦定理，得，则，，故C能判断；
D：由正弦定理，条件等价于=，
则，即，故，则，故D不能判断.
故选：BC
12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若B+C=2A，则的外接圆的面积为
B. 若，且有两解，则b的取值范围为
C. 若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若A=2C，且，为的内心，则的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件求出.
选项A：根据条件求角A，根据正弦定理求外接圆半径，从而求外接圆的面积；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b的取值范围；
选项C：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角A的范围，从而求边的范围；
选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求的内切圆半径，从而求的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得,
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，
所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,故 ,解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到.
②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中A=2C，综合三个角为锐角有,得.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知球O的表面积是其体积的3倍，则球O的半径为______．
【答案】1
【解析】
【分析】设出球的半径，根据球的表面积公式与体积的等量关系，列方程即可求得半径．
【详解】设球的半径为，
球的表面积是其体积的3倍，
则，解得，
故答案为：1．
14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则___________
【答案】7
【解析】
【分析】由面积公式与余弦定理求解
【详解】，得
由余弦定理得，即
可得，故
故答案为：7
15. 设是平面内两个不共线的向量，，，，．若A、、三点共线，则的最小值是____.
【答案】4
【解析】
【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【详解】，．若A、、三点共线，
设，即，
是平面内两个不共线的向量，
，解得，，即，
则，
当且仅当，即，即，时，取等号，故最小值为4.
故答案为：4.
16. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为锐角的面积，且，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得的取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【详解】∵，，
∴，即，
由余弦定理得：，∴，
即，
又∵，
∴
∴，
∴（舍），.
∴，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，，，
，，
，，，
令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
．
故答案为：．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
17. （1）已知复数满足，求及；
（2）已知向量，满足，求向量和的夹角.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用复数的除法运算及共轭复数求解作答.
（2）利用向量数量积的运算律、向量夹角公式求解作答.
【详解】（1）复数满足，则，.
（2）因为，则，
，
因此，而，则，
所以向量和的夹角为.
18. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若在上的投影向量的模为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直数量积为0求解即可；
（2）根据投影向量的计算公式与模长公式求解即可.
【小问1详解】
由题意，，，故，解得.
【小问2详解】
由题意，，
即，又因为，
所以，所以，
即
19. 已知函数，且的最小正周期为．
（1）求的值及函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求当时，函数的最大值．
【答案】（1）1，
（2）
【解析】
【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，代入正弦函数的单调递减区间计算即可.
(2) 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，根据所给，求出，结合正弦函数的性质即可求得最大值.
【小问1详解】
，
，，所以，.
,解得，，所以函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
由向右平移个单位长度后得，因为，则，则，则函数的最大值为.
20. 在①；②；③.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在中，角的对边分别为，的面积为，且满足______.
（1）求的大小；
（2）设，点为边的中点，，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）选①，利用三角恒等变换结合条件求解作答；选②，利用三角形面积公式及数量积的定义求解作答；选③，利用正余弦定理，三角恒等变换结合求解作答.
（2）由（1）的结论结合已知及正弦定理求出，再由向量的运算律及三角形面积公式求解作答.
【小问1详解】
选①，在中，由，得，
整理得，即，，
因为，所以.
选②，在中，由三角形面积公式及得，
整理得，因为，所以.
选③，中，由正弦定理及，
得，而，
整理得，
又，则，因为，所以.
【小问2详解】
中，由（1）知，由，得，
，
由正弦定理得，即，又点为边的中点，，
则，于是，
即，因此，解得，，
所以的面积.
21. 如图所示，经过村庄有两条夹角为的公路，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库（异于村庄），要求（单位：千米），设.

（1）用表示的长；
（2）为何值时，工厂生产的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）在中，得到，利用正弦定理，即可求解；
（2）在中，得到，利用余弦定理和辅助角公式，化简求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：在中，，且，所以，
由正弦定理可得，且，
所以.
【小问2详解】
解：在中，，
由余弦定理得


，
因为，可得的，
所以当且仅当时，即时，取得最大值，即的最大值为，
故设计时，工厂产生的噪音对居民的影响最小.
22. 如图，在中，，点是上一点，与交于点，且，记.

（1）若，求实数的值；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，求的最大值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先得到，再利用三点共线即可求解;
（2）由，得到，再利用正弦，余弦定理求解即可;
（3）由两角差的正切公式与化简得：，再由基本不等式即可求.
【小问1详解】
因为，故，
因为三点共线，故，故.
【小问2详解】
因为，故
，即.
故，所以.
故，由余弦定理，即，
由正弦定理可得，故.
【小问3详解】
因为，故，
可得，
当且仅当，即时取等号.
故的最大值为.