河南省许昌市鄢陵县第一高级中学2023届高三下学期高考全真模拟押题数学（文）试题（解析版）

这是一份河南省许昌市鄢陵县第一高级中学2023届高三下学期高考全真模拟押题数学（文）试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
2023年普通高等学校招生全国统一考试鄢陵县一高全真模拟试题
文科数学
本试题卷共4页，共23题（含选考题）.满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解一元二次不等式化简集合，根据指数的性质化简集合，再求解即可.
【详解】依题意，，
故，故ABD错误，C正确.
故选：C.
2. 已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z，进而判断复数z所对应的点所在象限.
【详解】∵，
∴复数z所对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3. 经调查，某公司职员的入职年份（年）和年收入（万元）之间具有线性相关关系，并得到关于的回归直线方程，则下列说法中错误的个数是（ ）
①可以预测，员工第3年的年收入约为6.85万元
②若某员工年收入约为7.9万元，可以预测该员工入职6年
③员工入职年份每增加一年，收入平均增加0.35万元
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据回归方程，将每一选项相关数据代入计算即可判断真伪.
【详解】当时，，故①正确；
令，可得，故②正确；
因为回归直线的斜率为0.35，故③正确；
故选：A.
4. 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝．“笔、墨、纸、砚”之名，起源于南北朝时期．历史上，“笔、墨、纸、砚”所指之物屡有变化．在宋朝时，“笔、墨、纸、砚”特指宣笔（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙县）、宣纸（安徽宣城泾县）、歙砚（安徽徽州歙县）、洮砚（甘肃卓尼县）、端砚（广东肇庆，古称端州）．若从宋朝特指的六种文书工具中任取两种，则这两种恰好都是产自安徽的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解.
【详解】由题意可知宋朝“笔、墨、纸、砚”有6种，其中4种产自安徽，从6种当中选2种，共有种情况，且每种情况发生的概率相同，其中两种全部来自安徽的情况共有种，所以所求概率为．
故选：D
5. 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】依题意，，.
因为，，所以.
故数列是以14为首项，7为公比的等比数列.
故，，
而，故.
故，，
选项A：.判断错误；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：C.
6. 过点的直线l与函数的图象交于M，N两点，若O为坐标原点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性分析可得为线段的中点，结合向量的坐标运算求解.
【详解】∵，
可知是由向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到
故函数的对称中心，则为线段的中点，
可得，
所以.
故选：C.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定P点在双曲线的右支上，再根据点到直线距离公式和条件求出a与b的关系.
【详解】依题意，，故点在双曲线的右支上；
设，则，即；渐近线方程为 ，即 ，
，则，
则 ，，故双曲线的渐近线方程为；
故选：D.
8. 函数的部分图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，
故选：C
9. 已知正三棱台的上、下底面面积分别为，若，则该正三棱台的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果.
【详解】若正三角形的边长为，则其面积为
由题意可得：，
取的外接圆的圆心为，正三棱台的外接球的球心，连接，过作底面的投影，
可得，则，
由，可得，
设外接球的半径为，则，
可得，解得，
所以该正三棱台的外接球的表面积.
故选：D.

10. 已知，，现有如下说法：①；②；③.则正确说法的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性逐项分析.
【详解】依题意，，故，故①错误；
，故，即，故②正确；
，故，即，故③正确；
故选：C.
11. 已知函数，若实数a、b、c使得对任意的实数恒成立，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，得到，根据题意转化为，由此得出方程组，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】设，
可得，其中，且，
因为实数使得对任意的实数恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以
由上式对任意恒成立，故必有，
若，则由式①知，显然不满足式③，所以，
所以，由式②知，则，
当时，则式①，③矛盾.
所以，由式①，③知，所以.
故选：B.
【点睛】知识方法：有关三角函数综合问题的求解策略：
1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
12. 若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得在上恒成立，构建，结合定点分析运算.
【详解】因为，则，
由题意可得在上恒成立，
构建，则，
注意到，则，解得，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
若，因为，则，
可得；
若，因为，则，
可得；
综上所述：当时，在上恒成立，
则在上单调递增，可得，符合题意；
故实数m的取值范围为.
故选：D.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】法一：由正弦定理得到，利用极限思想，考虑A为直角和C为直角时的的值，从而求出的取值范围；
法二：由正弦定理得到，由正弦定理，化边为角，得到，求出的取值范围，由正切函数单调性，得到取值范围.
【详解】法一：由正弦定理得，即，，
因为，所以，故，
因为，所以，
利用极限思想，当A为直角时，，，此时；
当C为直角时，，，此时；
所以；
法二：由正弦定理得，即，，
因为，所以，故，
因为，所以，
由正弦定理得，所以，
其中，
所以
，
因为为锐角三角形，，所以，，
解得，故，
因为在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
其中，
此时，
当时，取得最小值，
∴，
故.
故答案为：
14. 如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出白色区域的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求解即可
【详解】由题易知四边形EFGH为正方形，且
由得，所以的高为，
故白色区域的面积为
又正方形ABCD的面积为8，
所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为，
故选：A
15. 如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.

【答案】##
【解析】
【分析】将四棱锥补为三棱柱，由求解.
【详解】解：如图所示：

补全四棱锥为三棱柱，作，且，
因为ABCD为平行四边形，所以，
则，且，
所以四边形和四边形都是平行四边形，
因为N为中点，则延长AN必过点E，
所以A，N，E，H，M同一平面内，
因为，所以，
又因为M是棱上靠近点D的三等分点，
所以，则，
故答案为：
16. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，则______；若在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由平移变换以及正弦函数的对称性得出，由正弦函数的单调性得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知
由，得
，，即
由得
当时，函数在区间上单调递减
，，解得
故答案为：；
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题
（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分.
17. 已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据关系求得的通项公式，根据关系求得的通项公式；
（2）常数分离得，使用作差法判断的单调性并求得最大值，从而得到的取值范围.
【小问1详解】
由，得，
两式相减，得，所以，
又，所以，
当时，，
所以，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
当时，；
当时，，满足上式.
所以.
【小问2详解】
由，得，
即，
设，则，
当时，，所以，即，
又，所以，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
18. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）情况，如表所示.
月份
5
6
7
8
9
时间代号t
1
2
3
4
5
家乡特产收入y
3
2.4
2.2
2
1.8

（1）根据5月至9月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；
（2）求出y关于t的回归直线方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.
附：相关系数公式：.（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.③参考数据：.
【答案】（1），y与t具有很强的线性相关关系
（2），10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接套公式求出y与t之间的线性相关系数，即可判断；
（2）套公式求出系数b、a，即可得到回归方程，并求出10月份的收入.
【小问1详解】
（1）由5月至9月的数据可知，
，
，，
，
所以所求线性相关系数为
.
因为相关系数的绝对值，
所以认为y与t具有很强的线性相关关系.
【小问2详解】
由题得，
，
所以，
所以y关于t的回归直线方程为.
当时，，
因为，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元.
19. 如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE．

（1）设F为的中点，若M为线段AB上的一点，满足．求证：平面；
（2）求点B到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点N，证明AMFN是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）取AE的中点O，BC的中点Q，连接EF，，由平面平面AECB，得到平面AECB，设点B到平面的距离为d，由求解.
【小问1详解】
证明：如图所示：

取的中点N，连AN、NF，则，，
∵，当时，，，
是且，
所以AMFN是平行四边形，
则．
又平面，平面，
所以平面；
小问2详解】
如图所示：

取AE的中点O，BC的中点Q，连接EF，．
易知，．
因为，，
所以，平面平面，
平面平面AECB，平面，
所以平面AECB．
设点B到平面的距离为d．
在中，，，
所以．
在中，因为，，
所以．
由，
得．
即
解得．
20. 已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.
【答案】（1）
（2）直线的斜率为定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，即可得到，再根据及求出、，即可得解；
（2）首先求出点坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，，，表示出的方程，联立求出，把换为得，即可求出、，从而求出直线的斜率，即可得解.
【小问1详解】
设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，
故，
即，则，
又，即，解得，所以，
即椭圆的方程为.
【小问2详解】
联立，解得或，又在第一象限，所以，
由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
设，，直线的方程为，即，
由消去得，
因为、为直线与椭圆的交点，所以，即，
把换为得，
所以，
所以，
所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.

21. 已知函数 ．
（1）当时，求函数的单调递增区间
（2）若函数在的最小值为，求的最大值．
【答案】（1）单调递增区间为
（2） ．
【解析】
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【小问1详解】
当时，，
则，
令，在R上单调递增，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，
故，
所以恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
【小问2详解】

当时，时，，时，，
则在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，，
时，，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，，
时，，
则有，不合题意；
综上可得，的最大值 ．
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一作答，如果多做，则按所做的第一计分.
［选修4—4：坐标系与参数方程］
22. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线且.
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）若曲线与曲线交于两点，与曲线分别交于两点，则当取到最大值时，求曲线上的点到曲线距离的最大值.
【答案】（1），（为参数）
（2）
【解析】
【分析】（1）对于曲线通过消去参数，得出曲线的普通方程，再利用，即可得出曲线的极坐标方程和曲线普通方程，再利用圆的参数方程即可得出曲线的参数方程；
（2）根据条件，设出曲线的参数方程，通过联立方程，求出两点的参数，再利用参数方程的几何意义即可求出结果.
【小问1详解】
因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数，得到，化简得，
又因为，所以，
故曲线的极坐标方程为，
而曲线，即，即，
故曲线的参数方程为（为参数）.
【小问2详解】
设曲线的参数方程为为参数，且，
代入曲线的直角坐标方程，可得，故，
将曲线的参数方程代入曲线的普通方程，可得，故，
所以，
因为且，故当时，有最大值，
此时曲线，圆心到直线的距离为，故曲线上的点到曲线距离的最大值为.
［选修4—5：不等式选讲］
23. 已知函数，关于的不等式的解集为.
（1）求不等式的解集；
（2）若，使得能成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，求出，则，再利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；
（2）依题意可得能成立，令，求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
依题意得，解得，
所以，
故等价于，
若，则，解得，故；
若，则，解得，故无解；
若，则，解得，故.
故不等式的解集为或.
【小问2详解】
因为能成立，故能成立，
令，
可知，故，
即实数的取值范围为.