四川省泸县第一中学2023届高考适应性考试数学（文）试题（解析版）

这是一份四川省泸县第一中学2023届高考适应性考试数学（文）试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泸县一中高2020级高考适应性考试
数学（文史类）
本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合后可得.
【详解】，；
，
故选：B.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交集运算，解对数不等式时注意真数恒为正，属于中档题.
2. 已知向量，，若，则等于（ ）
A. 6 B. C. 12 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据向量的加减和数乘运算求出的坐标，然后根据建立等式，求出的值即可．
【详解】解：，
，，，
，
.
解得
故选：．
【点睛】本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及向量的加减和数乘运算，属于基础题．
3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域，当目标函数过点时取得最大值，最大值为.
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大
所以联立方程，解得：，
所以的最大值为：，即：有最大值1．
故选：C．
4. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案.
【详解】由题意进行数据分析，可得：
，解得：；
，解得：；
所以.
比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到：.
故选：A
5. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ）
A. 16天 B. 17天 C. 18天 D. 19天
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，然后利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，
设经过天后他完成健身计划，则，
整理得.
因为函数在为增函数，且，，
所以.
故选：B
6. 设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是（ ）
A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理逐项判断即可.
【详解】对于A，内有无数条直线与平行不能得出内的所有直线与平行才能得出，故A错；
对于B、C，垂直于同一平面或平行于同一条直线，不能确定的位置关系，故B、C错；
对于D，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂于某条直线，则也垂于该条直线.
故选：D.
7. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据二倍角公式以及“”的代换化简原式，再根据齐次式的计算方法“分子分母同除”并结合条件可求得结果.
【详解】因为，
故选：D.
8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从100提升至900，则C大约增加了（ ）(，)
A. 28% B. 38% C. 48% D. 68%
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给公式及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了48%.
故选：C
9. 在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，连，，，（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，解三角形可得解.
【详解】取的中点，连，，，
则，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，
设正方体的棱长为，则，，
则.
所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为.

故选：C
10. 若圆上有且只有四个点到直线的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求圆心到直线的距离，再根据条件，列式和半径比较大小，求的取值范围.
【详解】圆心到直线的距离，
若圆上有四个点到直线的距离等于1，则，即.
故选：D
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.
11. 将函数(其中)的图像向右平移个单位长度，所得图像关于对称，则的最小值是
A. 6 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的图象和性质，结合函数图象的变换即可得出结果.
【详解】将的图象向左平移个单位，可得
所得图象关于，所以
所以，即
由于，故当时取得最小值.
故选：D
12. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和比较大小，同理比较的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较大小，即可得答案.
【详解】由题意：，，故．
又，即，所以，即，
因为，所以．
因为，故，即，
所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若复数（为虚数单位），则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法化简复数，再结合复数的运算得的值.
【详解】，所以.
故答案为：.
14. 已知数列的前n项和为，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中，利用 和 的关系式 来求解，注意时要检验是否符合时的表达式.
【详解】当时，；
当时，因为，
所以
所以；
所以；
所以当时，是以2为公比的等比数列；
所以，
当时，
所以，
故答案为：
15. 函数，若，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.
【详解】由题得，
∴，
所以．
故答案为：3.
16. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也.”现有一个刍甍如图所示，底面是边长为4的正方形，上棱，四边形为两个全等的等腰梯形，到平面的距离为2，则该刍甍外接球的表面积为___________.

【答案】
【解析】
【分析】根据几何体的结构特征，得出该刍甍外接球的球心在直线上，结合球的截面性质，列出方程组，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接相交于点，取的中点，连接，可得平面，则该刍甍外接球的球心在直线上，
设该刍甍外接球的半径为，，则，解得，所以该刍甍外接球的表面积为.
故答案：.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
17. 为改善学生的就餐环境，提升学生的就餐质量，保证学生的营养摄入，某校每学期都会对全校3000名学生进行食堂满意度测试.已知该校的男女比例为1∶2，本学期测试评价结果的等高条形图如下：


男
女
合计
满意



不满意



合计


3000


（1）填写上面的列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”情况与性别有关；
（2）按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人，再从这5人中随机选出3人交流食堂的问题，求选出的3人中恰好没有男生的概率．
附：，．

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”与性别有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意和等高条形图，求出对应数据，将列联表补充完整，利用卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论；
（2）由分层抽样的定义可知抽取的男生1人，女生4人，利用列举法即可解决该古典概型问题.
【小问1详解】
∵该校的男女比例为1：2，总人数为3000人，
∴该校男生数为，该校女生数为，
其中测试评价满意的男生数为，不满意的男生数为300，
其中测试评价满意的女生数为，不满意的女生数为，
列联表如下：

男
女
合计
满意
700
800
1500
不满意
300
1200
1500
合计
1000
2000
3000
∵，
∴由独立性检验定义知，有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”与性别有关．
【小问2详解】
按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人，
由分层抽样的定义可知，抽取的男生人数为，抽取的女生人数为，
设男生为A，女生为a，b，c，d，基本事件总数为10个，如下：
，，，，，，，，，
恰好没有男生的基本事件个数为4个，如下：，，，，
所以这5人中随机选出3人，恰好没有男生的概率为：．
18. 已知中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值.
（2）若的面积，且，求的外接圆半径.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据，得到，将化简，代入得到的数值，计算出答案；
（2）根据的面积得到，再利用余弦定理得到，再由正弦定理得到外接圆的半径.
【小问1详解】
由，得，且，
所以，
所以


；
【小问2详解】
由得：，
解得，
由余弦定理，
得到，
由正弦定理得：，即，
解得.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．

（1）证明：平面平面PAC；
（2）求AD与平面PCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）计算，，根据勾股定理得到，再证明平面PAC，得到答案.
（2）作，垂直为H，连接DH ，确定为AD与平面PCD所成的角，计算，得到答案.
【小问1详解】
，，，则，．
中，，
故，故，
又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
又因为，平面PAC，平面PAC，
底面PCD，故平面平面PAC，
另解：平面ABCD，平面ABCD，故，

过C做AD的垂线，垂足为E，连接CE，则，
，，，
在中，，，即，
又，PA，平面PAC，故平面PAC，
平面PCD，故平面平面PAC，
【小问2详解】
作，垂直为H，连接DH ，

因为平面平面PAC，且平面平面，平面，
所以平面PCD，故为AD与平面PCD所成的角，
中，，，
所以直线AD与平面PCD所成角的正弦值为．
另解：设直线AD与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为，
所以，
根据三棱锥等体积转换方法可知，即，
中，由（1）可知，，，，，
故，所以，
故，解得，
直线AD与平面PCD所成角的正弦值为.
20. 已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，是面积为的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆外一点的直线交椭圆于两点，已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面积及其为正三角形的特征，可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；
（2）假设直线方程，利用对称性可知在轴上，由此可得；设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入中整理可得，根据，由向量数量积的坐标运算可构造不等式求得结果.
【小问1详解】
是面积为的正三角形，，解得：，
椭圆的方程为：.
【小问2详解】

设，则，
直线方程为：，即；
由对称性可知：点在轴上，则令，解得：，
设直线，
由得：，，
，，
又，，，，
为钝角，，解得：或，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的向量数量积问题，解题关键是能够利用韦达定理的结论化简点坐标，结合为钝角，将问题转化为向量数量积的求解问题，从而构造不等式求得结果.
21. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）求的最值；
（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值，无最大值；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求导，解方程，列表判断单调性和极值点，即得到最值；
（2）先求，并求导.先由得到一个零点，再讨论参数k研究函数单调性，结合零点存在定理判断和均存在一个零点，即得实数的取值范围.
【详解】解：（1）因为，
令，即，所以，
列表如下：


-1


-

+

↘
极小值
↗
所以在递减，在递增，
所以当时，有最小值，无最大值；
（2），注意到，
则，，
当时，，单调递增，不合题意；
当时，设，
则上恒成立，
所以在上单调递增．
因为，又注意到，，则，
所以，
从而，所以，
根据零点存在性定理知，存在，使得，
当时，，递减；当时，，递增
注意到，当时，只有一个零点，
这时，即；
当时，，则，
又因为在递减，递增，，所以，
又因为，所以，
因为，
因为，，所以，
所以在上有一个零点，另一个零点为1，
所以当时，有两个零点.
当时，，，
所以存在使得，
又因为在递增，注意到，所以，
又因为，而，
可知所以在上有一个零点，另一个零点为1，
所以当时，有两个零点.
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
1、利用导数研究函数的最值的步骤：
(1)写定义域，对函数求导；(2)在定义域内，解不等式和得到单调性；(3)利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.
2、判断函数零点个数的方法
（1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；
（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；
（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
（选修4-4 极坐标与参数方程）
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）M为曲线上的动点，点P在线段上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点Q的极坐标为，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值2.
【解析】
【分析】（1）设，根据已知等量关系即可求出极坐标方程，再代入可得直角坐标方程；
（2）表示出和Q到的距离即可得出面积，求出最小值.
【详解】（1）设，
，则，
，即.
方程化为，将代入可得；
（2）可知，
Q到的距离，
，
当时，面积取得最小值2.
（选修4-5 不等式选讲）
23. 设a，b，c均为正数，已知函数的最小值为4.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用绝对值三角不等式及基本不等式求目标式最小值，注意取值条件，
（2）利用基本不等式证明不等式即可.
【小问1详解】
，
，则，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，
，即，仅当时取等号，
故的最小值为.
【小问2详解】
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，
又，仅当时等号成立，
同理，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
即.