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上海市普陀区曹杨二中附属学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份上海市普陀区曹杨二中附属学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中附属学校八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数y=-3x-2的截距是( )
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
2. 下列方程中，有实数根的是( )
A. x4+1=0 B. x-2+1=0 C. x+2=-x D. xx2-1=1x2-1
3. 将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是( )
A. 摸到白球比摸到黑球的可能性大 B. 摸到白球和黑球的可能性相等
C. 摸到红球是确定事件 D. 摸到黑球或白球是确定事件
4. 下列四个命题中，假命题是( )
A. 有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B. 等腰梯形一定有两个内角相等
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形的两条对角线相等
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD=2，BD=3，能判断DE//BC的是( )
A. DEBC=23
B. DEBC=25
C. AEAC=23
D. AEAC=25
6. 已知四边形ABCD是矩形，点O是对角线AC与BD的交点．下列四种说法：①向量AO与向量OC是相等的向量；②向量OA与向量OC是互为相反的向量；③向量AB与向量CD是相等的向量；④向量BO与向量BD是平行向量．其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 已知一次函数f(x)=3x+2，那么f(-17)= ______ ．
8. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>BP，AB=6，那么AP= ______ ．
9. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，那么它的重心G到C点的距离是______．
10. 二项方程2x3+16=0在实数范围内的解是______．
11. 已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为______cm2．
12. 方程(x+3) x-1=0的解是______ ．
13. 已知一个梯形的中位线长为5cm，其中一条底边的长为6cm，那么该梯形的另一条底边的长是______cm．
14. 如果一个多边形的各个外角都是40°，那么这个多边形的内角和是______度．
15. 如图，菱形ABCD的对角线的长分别为12和15，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)且PE//BC交AB于E，PF//CD交AD于F，那么阴影部分的面积是______ ．
16. 已知：如图，EF//AB//CD，AC与BD交于点E，AB=9，CD=6，那么EF= ______ ．
17. 如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是______．
18. 如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=4，AD⊥AB，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，如果DE=2，那么△ABC的面积为______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 解方程：x+1x-1-2x2-1=1x+1
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题10.0分)
解方程组：x-y=2x2-2xy-3y2=0．
21. (本小题10.0分)
如图，已知向量a、b，用直尺与圆规先作向量a+b，再作向量a-b.(不写画法，保留画图痕迹，并在答案中注明所求作的向量．)
22. (本小题10.0分)
已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，联结DE．
(1)当AC⊥BD时，求证：BE=2CD；
(2)当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．
23. (本小题12.0分)
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA⋅BD=BC⋅BE．
(1)求证：△BDE∽△BCA；
(2)如果AE=AC，求证：AC2=AD⋅AB．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数y=-43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．
(1)直接写出点A与点B的坐标______ (用含b的代数式表示)；
(2)求b的值；
(3)如果一次函数y=-43x+b的图象经过第二、三、四象限，点C的坐标为(2,m)，其中m>0，试用含m的代数式表示△ABC的面积．
25. (本小题14.0分)
如图，点P是边长为2的正方形ABCD对角线上一个动点(P与A不重合)，以P为圆心，PB长为半径画圆弧，交线段BC于点E，联结DE，与AC交于点F.设AP的长为x，△PDE的面积为y
(1)判断△PDE的形状，并说明理由；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(3)当四边形PBED是梯形时，求出PF的值
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当x=0时，y=-3x-2=-2，
∴一次函数y=-3x-2的截距是-2．
故选：B．
代入x=0求出与之对应的y值，该值即是一次函数y=-3x-2的截距．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记截距的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、x4≥0，x4+1>0，方程x4+1=0没有实数解；
B、变形得 x-2=-1，根据算术平方根非负可知原方程没有实数解；
C、两边平方得x+2=x2，解得x1=-1，x2=2，经检验，原方程的解为x=-1；
D、去分母得x=1，经检验原方程没有实数解，
故选：C．
利用偶次方的非负性可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．
本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性(概率)的计算方法和确定性事件的概念．
根据随机事件发生的可能性(概率)的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得．
【解答】
解：A.由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意；
B.摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意；
C.摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意；
D.摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意．
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，这个命题为假命题；
B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题；
C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题；
D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题．
故选：A．
利用直角梯形可对A进行判断；根据等腰梯形的性质对B、D进行判断；根据等腰梯形的判定方法对C进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5.【答案】D
【解析】解：只有选项D正确，
理由是：∵AD=2，BD=3，AEAC=25，
∴ADAB=AEAC=25，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE//BC，
根据选项A、B、C的条件都不能推出DE//BC．
故选：D．
先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量AO与向量OC是相等的向量，错误．
②向量OA与向量OC是互为相反的向量，正确．
③向量AB与向量CD是相等的向量，正确．
④向量BO与向量BD是平行向量，正确．
故选：C．
利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
本题考查平面向量，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】-49
【解析】解：当x=-17时，f(-17)=3×(-17)+2=-49．
故答案为：-49．
代入x=-17，即可求出f(-17)的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
8.【答案】3 5-3
【解析】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，AP>BP，AB=6，
∴AP= 5-12AB= 5-12×6=3 5-3，
故答案为：3 5-3．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9.【答案】53
【解析】
【解答】
解：如图，延长CG交AB于点D，
∵G点为△ABC的重心，
∴CD为AB边上的中线，CG=2DG，
∴CD=12AB，
∴CG=23CD=13AB，
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB= 32+42=5，
∴CG=13×5=53，
即三角形的重心G到C点的距离是53．
故答案为：53．
【分析】
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的性质得到CD为AB边上的中线，CG=2DG，则CG=13AB，然后利用勾股定理计算出AB即可．
10.【答案】x=-2
【解析】解：∵2x3+16=0，
∴2x3=-16，
∴x3=-8，
则x=3-8=-2，
故答案为：x=-2．
先移项，再将三次项系数化为1，最后根据立方根的定义求解可得．
本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．
11.【答案】2 3
【解析】解：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AM=ABsin60°= 3，
∴此菱形的面积为：2× 3=2 3(cm2).
故答案为：2 3
连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
12.【答案】x=1
【解析】解：(x+3) x-1=0，
x+3=0或 x-1=0，
解得：x=-3或1，
经检验：x=-3不是原方程的解，x=1是原方程的解．
故答案为：x=1．
根据方程得出x+3=0或 x-1=0，求出两方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能根据题意得出x+3=0或 x-1=0是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
13.【答案】4
【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm，
由题意得：6+x=2×5，
解得x=4．
即梯形的另一条底边的长为4cm．
故答案为：4．
根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可．
本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是熟记梯形的中位线定理并灵活的应用．
14.【答案】1260
【解析】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于40°，
∴n=360÷40=9，
∴这个多边形的内角和=(9-2)×180°=1260°．
故答案为：1260．
由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n-2)⋅180°；也考查了n边形的外角和为360°．
15.【答案】45
【解析】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=90，
∴图中阴影部分的面积为90÷2=45．
故答案为：45．
根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
16.【答案】185
【解析】解：∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CFCB，
∵EF//CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴EFCD=BFBC，
∴EFAB+EFAB=CFCB+BFBC=1，
∴EF9+EF6=1，
解得：EF=185，
故答案为：185．
证明△CEF∽△CAB，EFAB=CFCB，同理可得EFCD=BFBC，得到EFAB+EFAB=1，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】7 3-12
【解析】解：过P作PH⊥DC于H，交AB于G，如图，
则PG⊥AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠C=90°，
又∵将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于形内点P处，
∴PA=PB=2，∠FPA=∠EPB=90°，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠APB=60°，PG= 32AB= 3，
∴∠EPF=120°，PH=HG-PG=2- 3，
∴∠HEP=30°，
∴HE= 3PH= 3(2- 3)=2 3-3，
∴EF=2HE=4 3-6，
∴△EPF的面积=12FE⋅PH=12(2- 3)(4 3-6)
=7 3-12．
故答案为7 3-12．
过P作PH⊥DC于H，交AB于G，由正方形的性质得到AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠C=90°；再根据折叠的性质有PA=PB=2，∠FPA=∠EPB=90°，可判断△PAB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB=60°，PG= 32AB= 3，于是∠EPF=120°，PH=HG-PG=2- 3，得∠HEP=30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE，得到EF，最后利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
18.【答案】16
【解析】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴DE//AB，
∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE=2，AB=4，即DE：AB=1：2，
∴S△DEC：S△ACB=1：4，
∴S四边形ABDE：S△ACB=3：4，
∵S四边形ABDE=S△ABD+S△ADE=12×4×4+12×2×4=8+4=12，
∴S△ACB=16，
故答案为16．
由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】解：去分母得：(x+1)2-2=x-1，
解得：x=0或x=-1，
经检验x=0是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.【答案】解：x-y=2 ①x2-2xy-3y2=0 ②
由①得y=x-2③
把③代入②，得x2-2x(x-2)-3(x-2)2=0，
即x2-4x+3=0
解这个方程，得x1=3，x2=1
代入③中，得x1=3y1=1或x2=1y2=-1．
∴原方程组的解为x1=3y1=1或x2=1y2=-1．
【解析】用代入法即可解答，把①化为y=x-2，代入②得化简x2-4x+3=0即可解答．
本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
21.【答案】解：如图，AB=a+b，CD=a-b．
【解析】利用三角形法则求解即可．
本题考查作图-复杂作图，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵AC⊥BD，
∴BC=CD，
∵BC=CE，
∴BC=CE=CD，
即BE=2CD；
(2)
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC=BC=CE，∠ACE=90°，
∴四边形ACED是正方形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出BO=DO，根据线段垂直平分线性质得出BC=CD，求出BC=CE=CD即可；
(2)根据邻补角互补求出∠ACE=90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，能灵活运用知识点进行推出是解此题的关键，注意：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
23.【答案】(1)证明：∵BA⋅BD=BC⋅BE．
∴BDBC=BEBA，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA．
(2)证明：∵BA⋅BD=BC⋅BE．
∴BDBE=BCBA，
∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠B=∠ACD，
∵∠BAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD⋅AB．
【解析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据两边成比例夹角相等判定两三角形相似即可；
(2)只要证明△ADC∽△ACB，即可解决问题；
24.【答案】A(3b4,0)，B(0,b)
【解析】解：(1)∵一次函数y=-43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴当y=0时，-43x+b=0，解得：x=34b，
∴A(3b4,0)，
当x=0时，y=b，
∴B(0,b)，
故答案为：A(3b4,0)，B(0,b)
(2)∵A(3b4,0)，B(0,b)，
∴OA=|3b4|，OB=|b|，
∴S△OAB=12⋅OA⋅OB=12⋅|3b4|⋅|b|=38b2=6，
∴b2=16，
∴b=4或b=-4；
(3)∵一次函数y=-43x+b的图象经过第二、三、四象限，
∴b=-4，
∴A(-3,0)，B(0,-4)，
设直线AC的解析式为y=kx+t，
∵A(-3,0)，C(2,m)，
∴-3k+t=02k+t=m，解得：k=m5t=35m，
∴直线AC的解析式为y=m5x+35m，
设直线AC与y轴交于点D，则D(0,35m)，
∴BD=35m+4，
∵S△ABC=S△ABD+S△DBC，
∴S△ABC=12×(35m+4)×(2+3)=32m+10．
(1)分别令x=0，y=0求出点B和点A的坐标；
(2)由点B与点A的坐标得到OB、OA的长度，再结合△AOB的面积为6求出b的值；
(3)由直线经过第二、三、四象限得到b的值，进而得到点A与点B的具体坐标，再用含有m的式子表示△ABC的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征表示出点A与点B的坐标．
25.【答案】解：(1)△PDE为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAP=∠DAP=45°，
在△ABP和△ADP中，AB=AD ∠BAP=∠DAP AP=AP ，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴BP=DP，
由题意可得：PB=PE，
∴PE=PD，
过点P作GH⊥AD，与BC、AD分别交于点G、H，如图所示：
∵PB=PE，
∴BG=GE，
∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴AH=BG，AB=GH，
∴AB=GH=AD
∵在Rt△APH中，∠PAH=45°，
∴∠APH=90°-∠PAH=45°，
∴AH=PH，
..AH=PH=BG=GE，
∵PG=GH-PH，DH=AD-AH，
∴PG=DH，
在△DPH和△PEG中，DH=PG ∠DHP=∠PGE PH=GE ，
∴△DPH≌△PEG(SAS)，
∴∠HDP=∠GPE，
∴∠DPE=180°-∠HPD-∠GPE=180°-(∠HPD+∠HDP)=90°，
∴△PDE为等腰直角三角形；
(2)∵在Rt△APH中，AP=x，
∴AH=PH= 22x，
∴DH=2- 22x，
∴在Rt△DPH中，PD2=DH2+PH2=( 22x)2+(2- 22x)2=x2-2 2x+4，
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴S△PDE=12PD×PE=12PD2=12x2 - 2x+2(0
∴∠PED=∠PDE=45°，
当四边形PBED是梯形时，只有可能是四边形PB//DE，
∴∠PBE=∠FEC，∠BPE=∠PED=45°，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB=12(180°-∠BPE)=67.5°，
∴∠FEC=∠PBE=67.5°，
∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ACB=67.5°，
∴∠EFC=∠FEC，
∴CE=CF，
∵∠PFD=∠EFC=67.5°，
∴∠DPF=180°-∠PDF-∠PFD=67.5°，
∴∠CDP=180°-∠DPF-∠PCD=67.5°，
∴∠CDP=∠DPF，
∴CP=CD，
∴AP=x=AC-CP=AC-CD=2 2-2，
∴CF=CE=BC-BE=BC-2BG=2- 2x=2 2-2，
∴PF=AC-AP-CF=4-2 2．
【解析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
(1)证明△ABP≌△ADP，得出BP=DP，由题意可得：PB=PE，得出PE=PD，过点P作GH⊥AD，与BC、AD分别交于点G、H，证出BG=GE，证明△DPH≌△PEG，得出∠HDP=∠GPE证出∠DPE=180°-∠HPD-∠GPE=90°，即可得出结论；
(2)由等腰直角三角形的性质得出AH=PH= 22x，得出DH=2- 22x，在Rt△DPH中，由勾股定理得出PD2=DH2+PH2=( 22x)2+(2- 22x)2=x2-2 2x+4，由等腰直角三角形的性质得出S△PDE=12PD×PE=12PD2=12x2 - 2x+2(0
2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中附属学校八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数y=-3x-2的截距是( )
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
2. 下列方程中，有实数根的是( )
A. x4+1=0 B. x-2+1=0 C. x+2=-x D. xx2-1=1x2-1
3. 将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是( )
A. 摸到白球比摸到黑球的可能性大 B. 摸到白球和黑球的可能性相等
C. 摸到红球是确定事件 D. 摸到黑球或白球是确定事件
4. 下列四个命题中，假命题是( )
A. 有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B. 等腰梯形一定有两个内角相等
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形的两条对角线相等
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD=2，BD=3，能判断DE//BC的是( )
A. DEBC=23
B. DEBC=25
C. AEAC=23
D. AEAC=25
6. 已知四边形ABCD是矩形，点O是对角线AC与BD的交点．下列四种说法：①向量AO与向量OC是相等的向量；②向量OA与向量OC是互为相反的向量；③向量AB与向量CD是相等的向量；④向量BO与向量BD是平行向量．其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 已知一次函数f(x)=3x+2，那么f(-17)= ______ ．
8. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>BP，AB=6，那么AP= ______ ．
9. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，那么它的重心G到C点的距离是______．
10. 二项方程2x3+16=0在实数范围内的解是______．
11. 已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为______cm2．
12. 方程(x+3) x-1=0的解是______ ．
13. 已知一个梯形的中位线长为5cm，其中一条底边的长为6cm，那么该梯形的另一条底边的长是______cm．
14. 如果一个多边形的各个外角都是40°，那么这个多边形的内角和是______度．
15. 如图，菱形ABCD的对角线的长分别为12和15，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)且PE//BC交AB于E，PF//CD交AD于F，那么阴影部分的面积是______ ．
16. 已知：如图，EF//AB//CD，AC与BD交于点E，AB=9，CD=6，那么EF= ______ ．
17. 如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是______．
18. 如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=4，AD⊥AB，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，如果DE=2，那么△ABC的面积为______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 解方程：x+1x-1-2x2-1=1x+1
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题10.0分)
解方程组：x-y=2x2-2xy-3y2=0．
21. (本小题10.0分)
如图，已知向量a、b，用直尺与圆规先作向量a+b，再作向量a-b.(不写画法，保留画图痕迹，并在答案中注明所求作的向量．)
22. (本小题10.0分)
已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，联结DE．
(1)当AC⊥BD时，求证：BE=2CD；
(2)当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．
23. (本小题12.0分)
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA⋅BD=BC⋅BE．
(1)求证：△BDE∽△BCA；
(2)如果AE=AC，求证：AC2=AD⋅AB．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数y=-43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．
(1)直接写出点A与点B的坐标______ (用含b的代数式表示)；
(2)求b的值；
(3)如果一次函数y=-43x+b的图象经过第二、三、四象限，点C的坐标为(2,m)，其中m>0，试用含m的代数式表示△ABC的面积．
25. (本小题14.0分)
如图，点P是边长为2的正方形ABCD对角线上一个动点(P与A不重合)，以P为圆心，PB长为半径画圆弧，交线段BC于点E，联结DE，与AC交于点F.设AP的长为x，△PDE的面积为y
(1)判断△PDE的形状，并说明理由；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(3)当四边形PBED是梯形时，求出PF的值
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当x=0时，y=-3x-2=-2，
∴一次函数y=-3x-2的截距是-2．
故选：B．
代入x=0求出与之对应的y值，该值即是一次函数y=-3x-2的截距．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记截距的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、x4≥0，x4+1>0，方程x4+1=0没有实数解；
B、变形得 x-2=-1，根据算术平方根非负可知原方程没有实数解；
C、两边平方得x+2=x2，解得x1=-1，x2=2，经检验，原方程的解为x=-1；
D、去分母得x=1，经检验原方程没有实数解，
故选：C．
利用偶次方的非负性可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．
本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性(概率)的计算方法和确定性事件的概念．
根据随机事件发生的可能性(概率)的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得．
【解答】
解：A.由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意；
B.摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意；
C.摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意；
D.摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意．
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：A、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，这个命题为假命题；
B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题；
C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题；
D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题．
故选：A．
利用直角梯形可对A进行判断；根据等腰梯形的性质对B、D进行判断；根据等腰梯形的判定方法对C进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5.【答案】D
【解析】解：只有选项D正确，
理由是：∵AD=2，BD=3，AEAC=25，
∴ADAB=AEAC=25，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE//BC，
根据选项A、B、C的条件都不能推出DE//BC．
故选：D．
先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量AO与向量OC是相等的向量，错误．
②向量OA与向量OC是互为相反的向量，正确．
③向量AB与向量CD是相等的向量，正确．
④向量BO与向量BD是平行向量，正确．
故选：C．
利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
本题考查平面向量，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】-49
【解析】解：当x=-17时，f(-17)=3×(-17)+2=-49．
故答案为：-49．
代入x=-17，即可求出f(-17)的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
8.【答案】3 5-3
【解析】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，AP>BP，AB=6，
∴AP= 5-12AB= 5-12×6=3 5-3，
故答案为：3 5-3．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9.【答案】53
【解析】
【解答】
解：如图，延长CG交AB于点D，
∵G点为△ABC的重心，
∴CD为AB边上的中线，CG=2DG，
∴CD=12AB，
∴CG=23CD=13AB，
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB= 32+42=5，
∴CG=13×5=53，
即三角形的重心G到C点的距离是53．
故答案为：53．
【分析】
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的性质得到CD为AB边上的中线，CG=2DG，则CG=13AB，然后利用勾股定理计算出AB即可．
10.【答案】x=-2
【解析】解：∵2x3+16=0，
∴2x3=-16，
∴x3=-8，
则x=3-8=-2，
故答案为：x=-2．
先移项，再将三次项系数化为1，最后根据立方根的定义求解可得．
本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．
11.【答案】2 3
【解析】解：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AM=ABsin60°= 3，
∴此菱形的面积为：2× 3=2 3(cm2).
故答案为：2 3
连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
12.【答案】x=1
【解析】解：(x+3) x-1=0，
x+3=0或 x-1=0，
解得：x=-3或1，
经检验：x=-3不是原方程的解，x=1是原方程的解．
故答案为：x=1．
根据方程得出x+3=0或 x-1=0，求出两方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能根据题意得出x+3=0或 x-1=0是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
13.【答案】4
【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm，
由题意得：6+x=2×5，
解得x=4．
即梯形的另一条底边的长为4cm．
故答案为：4．
根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可．
本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是熟记梯形的中位线定理并灵活的应用．
14.【答案】1260
【解析】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于40°，
∴n=360÷40=9，
∴这个多边形的内角和=(9-2)×180°=1260°．
故答案为：1260．
由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n-2)⋅180°；也考查了n边形的外角和为360°．
15.【答案】45
【解析】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=90，
∴图中阴影部分的面积为90÷2=45．
故答案为：45．
根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
16.【答案】185
【解析】解：∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CFCB，
∵EF//CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴EFCD=BFBC，
∴EFAB+EFAB=CFCB+BFBC=1，
∴EF9+EF6=1，
解得：EF=185，
故答案为：185．
证明△CEF∽△CAB，EFAB=CFCB，同理可得EFCD=BFBC，得到EFAB+EFAB=1，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】7 3-12
【解析】解：过P作PH⊥DC于H，交AB于G，如图，
则PG⊥AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠C=90°，
又∵将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于形内点P处，
∴PA=PB=2，∠FPA=∠EPB=90°，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠APB=60°，PG= 32AB= 3，
∴∠EPF=120°，PH=HG-PG=2- 3，
∴∠HEP=30°，
∴HE= 3PH= 3(2- 3)=2 3-3，
∴EF=2HE=4 3-6，
∴△EPF的面积=12FE⋅PH=12(2- 3)(4 3-6)
=7 3-12．
故答案为7 3-12．
过P作PH⊥DC于H，交AB于G，由正方形的性质得到AD=AB=BC=DC=2；∠D=∠C=90°；再根据折叠的性质有PA=PB=2，∠FPA=∠EPB=90°，可判断△PAB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB=60°，PG= 32AB= 3，于是∠EPF=120°，PH=HG-PG=2- 3，得∠HEP=30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE，得到EF，最后利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
18.【答案】16
【解析】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴DE//AB，
∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE=2，AB=4，即DE：AB=1：2，
∴S△DEC：S△ACB=1：4，
∴S四边形ABDE：S△ACB=3：4，
∵S四边形ABDE=S△ABD+S△ADE=12×4×4+12×2×4=8+4=12，
∴S△ACB=16，
故答案为16．
由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】解：去分母得：(x+1)2-2=x-1，
解得：x=0或x=-1，
经检验x=0是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.【答案】解：x-y=2 ①x2-2xy-3y2=0 ②
由①得y=x-2③
把③代入②，得x2-2x(x-2)-3(x-2)2=0，
即x2-4x+3=0
解这个方程，得x1=3，x2=1
代入③中，得x1=3y1=1或x2=1y2=-1．
∴原方程组的解为x1=3y1=1或x2=1y2=-1．
【解析】用代入法即可解答，把①化为y=x-2，代入②得化简x2-4x+3=0即可解答．
本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
21.【答案】解：如图，AB=a+b，CD=a-b．
【解析】利用三角形法则求解即可．
本题考查作图-复杂作图，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵AC⊥BD，
∴BC=CD，
∵BC=CE，
∴BC=CE=CD，
即BE=2CD；
(2)
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC=BC=CE，∠ACE=90°，
∴四边形ACED是正方形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出BO=DO，根据线段垂直平分线性质得出BC=CD，求出BC=CE=CD即可；
(2)根据邻补角互补求出∠ACE=90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，能灵活运用知识点进行推出是解此题的关键，注意：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
23.【答案】(1)证明：∵BA⋅BD=BC⋅BE．
∴BDBC=BEBA，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA．
(2)证明：∵BA⋅BD=BC⋅BE．
∴BDBE=BCBA，
∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠B=∠ACD，
∵∠BAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD⋅AB．
【解析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据两边成比例夹角相等判定两三角形相似即可；
(2)只要证明△ADC∽△ACB，即可解决问题；
24.【答案】A(3b4,0)，B(0,b)
【解析】解：(1)∵一次函数y=-43x+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴当y=0时，-43x+b=0，解得：x=34b，
∴A(3b4,0)，
当x=0时，y=b，
∴B(0,b)，
故答案为：A(3b4,0)，B(0,b)
(2)∵A(3b4,0)，B(0,b)，
∴OA=|3b4|，OB=|b|，
∴S△OAB=12⋅OA⋅OB=12⋅|3b4|⋅|b|=38b2=6，
∴b2=16，
∴b=4或b=-4；
(3)∵一次函数y=-43x+b的图象经过第二、三、四象限，
∴b=-4，
∴A(-3,0)，B(0,-4)，
设直线AC的解析式为y=kx+t，
∵A(-3,0)，C(2,m)，
∴-3k+t=02k+t=m，解得：k=m5t=35m，
∴直线AC的解析式为y=m5x+35m，
设直线AC与y轴交于点D，则D(0,35m)，
∴BD=35m+4，
∵S△ABC=S△ABD+S△DBC，
∴S△ABC=12×(35m+4)×(2+3)=32m+10．
(1)分别令x=0，y=0求出点B和点A的坐标；
(2)由点B与点A的坐标得到OB、OA的长度，再结合△AOB的面积为6求出b的值；
(3)由直线经过第二、三、四象限得到b的值，进而得到点A与点B的具体坐标，再用含有m的式子表示△ABC的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征表示出点A与点B的坐标．
25.【答案】解：(1)△PDE为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAP=∠DAP=45°，
在△ABP和△ADP中，AB=AD ∠BAP=∠DAP AP=AP ，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴BP=DP，
由题意可得：PB=PE，
∴PE=PD，
过点P作GH⊥AD，与BC、AD分别交于点G、H，如图所示：
∵PB=PE，
∴BG=GE，
∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴AH=BG，AB=GH，
∴AB=GH=AD
∵在Rt△APH中，∠PAH=45°，
∴∠APH=90°-∠PAH=45°，
∴AH=PH，
..AH=PH=BG=GE，
∵PG=GH-PH，DH=AD-AH，
∴PG=DH，
在△DPH和△PEG中，DH=PG ∠DHP=∠PGE PH=GE ，
∴△DPH≌△PEG(SAS)，
∴∠HDP=∠GPE，
∴∠DPE=180°-∠HPD-∠GPE=180°-(∠HPD+∠HDP)=90°，
∴△PDE为等腰直角三角形；
(2)∵在Rt△APH中，AP=x，
∴AH=PH= 22x，
∴DH=2- 22x，
∴在Rt△DPH中，PD2=DH2+PH2=( 22x)2+(2- 22x)2=x2-2 2x+4，
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴S△PDE=12PD×PE=12PD2=12x2 - 2x+2(0
∴∠PED=∠PDE=45°，
当四边形PBED是梯形时，只有可能是四边形PB//DE，
∴∠PBE=∠FEC，∠BPE=∠PED=45°，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB=12(180°-∠BPE)=67.5°，
∴∠FEC=∠PBE=67.5°，
∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ACB=67.5°，
∴∠EFC=∠FEC，
∴CE=CF，
∵∠PFD=∠EFC=67.5°，
∴∠DPF=180°-∠PDF-∠PFD=67.5°，
∴∠CDP=180°-∠DPF-∠PCD=67.5°，
∴∠CDP=∠DPF，
∴CP=CD，
∴AP=x=AC-CP=AC-CD=2 2-2，
∴CF=CE=BC-BE=BC-2BG=2- 2x=2 2-2，
∴PF=AC-AP-CF=4-2 2．
【解析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
(1)证明△ABP≌△ADP，得出BP=DP，由题意可得：PB=PE，得出PE=PD，过点P作GH⊥AD，与BC、AD分别交于点G、H，证出BG=GE，证明△DPH≌△PEG，得出∠HDP=∠GPE证出∠DPE=180°-∠HPD-∠GPE=90°，即可得出结论；
(2)由等腰直角三角形的性质得出AH=PH= 22x，得出DH=2- 22x，在Rt△DPH中，由勾股定理得出PD2=DH2+PH2=( 22x)2+(2- 22x)2=x2-2 2x+4，由等腰直角三角形的性质得出S△PDE=12PD×PE=12PD2=12x2 - 2x+2(0
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