安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试题

这是一份安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试题，共16页。试卷主要包含了9%B等内容，欢迎下载使用。

2020—2021学年第二学期期末考试卷
高二文科数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.
3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效.
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（　　）
A. B.
C. D.
2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z为（　　）
A.i B. C. D.
3.函数的图象大致是（　　）
A.B.C.D.
4.某人在网上购买了100只青岛产的虾开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：

中小虾
大虾
白色
40
15
灰色
20
25
则可以认为大虾与其颜色有关的概率（　　）
参考公式：其中

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.至多为99.9% B.至少为99.5% C.至多为0.5% D.至少为0.1%
5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）

A.4 B.8 C.16 D.64
6.若点在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（　　）
A. B.2 C. D.
7.在平行四边形中，设，，为的靠近D的三等分点，与交于F，则（　　）
A. B. C. D.
8.如图所示，在矩形内，线段与圆弧相切于D，已知矩形的长和宽分别为和1，现在向矩形内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（　　）

A. B. C. D.
9.小张于2020年1月5号申请到了10万的无息创业贷款，约定：2021年的1月5号开始还贷，每月还贷额比上一次多10%，于2022年的12月5号还清，则小张第一次应该还贷约为（　　）
注意：，，
A.1017元 B.1130元 C.1257元 D.4167元
10.若连续函数，的定义域为同一闭区间，则，满足：，是成立的（　　）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.不充分不必要条件
11.动点P，Q分别在函数，的图象上运动，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
12.定义，为不超过x的最大整数，例如，，，若区间（为正整数）在数轴上任意滑动，则区间取盖数轴上整数的个数为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.
13.的值为__________.
14.已知实数x，y满足不等式组，若则z的最大值为__________.
15.直线l过定点，且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为__________.
16.在四棱锥中，若，四棱锥外接球表面积为__________.
三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和解题步骤.
17.（10分）
在等差数列中，已知，分别为复数的实部与虚部.
（1）求的通项公式；
（2）令求数列（的前n项和，
18.（12分）
在三角形中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，.
（1）若，，平分角A交于D，求的长；
（2）若b，c为函数的两个不同的零点，求边上的高.
19.（12分）
小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
利润占投入的百分比
10%
5%

频率
50%
40%
10%

利润占投入的百分比
10%
5%

频率
40%
x
y
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并闸述你的理由.
20.（12分）
如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面，，，对角线与交于点，连接.

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
21.（12分）
函数的图象为曲线关于直线的对称曲线，，设为函数的导函数.
（1）当时，求的零点；
（2）时，设的最小值为，求证：.
22.（12分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线的两条渐近线于E，C，得到三角形的面积为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设的中点为Q，且，试判断的面积是否为定值，并说明理由.

2020—2021学年第二学期期末考试
高二文科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】由题意可知，，所以选D.
2.【答案】A
【解析】因为，所以.
3.［答案】A
【解析】为偶函数，图像关于y轴对称，所以排除D，又，排除B，C，所以选A.
4.【答案】B
【解析】补成如下的2×2列联表：

中小虾
大虾
合计
白色
40
15
55
灰色
20
25
45
合计
60
40
100
所以，以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%.
5.【答案】B
【解析】最后输出的结果为.
6.【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程，因为点在双曲线的一条渐近线上，所以，所以，它的离心率为.
7.【答案】A
【解析】如图，在上取C点，使得，在上由左到右取K，H，使得，连接，，则，因为且，所以（相似比），所以，所以.

8.【答案】D
【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为和1，所以拱高为1，
所以，，所以图中阴影部分的面积，
又矩形的面积为，所以质点落在图中阴影部分的概率为.
9.【答案】B
【解析】设小张第一次应该还贷a万元，则，所以.
10.【答案】B
【解析】若，满足：，则，，
所以，所以是充分的；
若，则，，显然，
但不存在m，满足：，所以不必要的.
11.【答案】C
【解析】，∴，设动点，
当在P点处切线与平行，
过点P作直线垂线，垂足为点Q时，取得最小值，即为两平行直线间的距离，
亦即点P到直线的距离是的最小值.
令，解得，故，所以|.
12.【答案】C
【解析】因为为整数，
所以当n为整数时，m也为整数，所以此时覆盖数轴上个整数，
当n不是整数时，m也不是整数，所以此时数轴上覆盖个整数.
可以验证：区间覆盖数轴上整数的个数为，所以选C.
13.【答案】0
【解析】.
14.【答案】
【解析】作出不等式组，
所对应的可行域如图.其中，当且仅当动直线过点时，则z的最大值为.

15.【答案】2
【解析】因为点在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切.
16.【答案】
【解析】因为，∠所以，
即四边形四点共圆，
四棱锥的外接球与三棱锥的外接球为同一个，
又，，
所以三棱锥为正四面体，
如图，构造棱长为1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，
易求得外接球半径，所以外接球表面积.

17.【解析】（1）设公差为d，
因为，分别为复数的实部与虚部，
所以，.
所以，所以，
所以，
即的通项公式为；
（2），
所以

.
18.【解析】（1）因为

在三角形中，由正弦定理得，，
因为，，
所以；
（2）因为b，c为函数的两个不同的零点，
所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
，
设BC边上的高为h，
因为，，所以，
所以.
19.【解析】（1）投资项目A的平均利润率为，
投资项目B的平均利润率为
因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，
所以，
解得，，
所以投资A项目不亏损的概率为，
投资B项目不亏损的概率为；
（2）考察角度一：
由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：
投资A项目利润率的方差为，.
投资B项目利润率的方差为（.，
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，
即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目.
20.【解析】（1）延长，，交于一点R，
因为，，
所以为正三角形，且为三角形RBC的中位线，即A为边的中点，
所以，
因为底面，平面，所以，
因为，所以平面，平面，
所以；
（2）三棱锥即三棱锥.
因为，所以，
由（1）得，，
因为底面，，
所以三棱锥的体积即三棱锥的体积.
21.【解析】函数的定义域为，
为上的增函数.
（1）当时，，

因为为上的增函数，
所以在上有唯一的零点1；
（2）当时，，，
因为为上的增函数，
所以在上有唯一的零点，且为函数的极小值点，
所以，
因为，为上的减函数，
所以，即.
22.【解析】（1）因为椭圆C：的离心率为，
所以，其中
双曲线的两条渐近线的方程为
设，则，
因为三角形的面积为1，所以，所以，
，，
所以椭圆C的方程为；
（2）①当直线的斜率不存在时，
因为，
所以，此时的方程为；
或，此时的方程为.
将，代入椭圆方程得，，
所以的面积为.
由椭圆轴对称性得：当的方程为时，的面积也为；
（2）当直线的斜率存在时，
设直线方程为，
设，，，
因为的中点为，且，所以的重心是坐标原点，
所以，
联立和，
得，
当时，，，
所以，，
故，
因为点在糊圆上，所以代入椭圆整理得，满足，
因而与满足的等式关系为①
当时，，
因为的重心是坐标原点，所以的面积为的面积的3倍，
设直线与轴交与点，则.
那么的面积为，
关系式（1）代入得，
综合①②得，的面积为定值.