初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程优质课课件ppt

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第二章 一元二次方程
第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
第2课时 用配方法求解复杂的一元二次方程
北师大版数学九年级上册
1
2
会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. (重点）
能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
复 习
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解．
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
方程配方的方法
配方法解方程的基本步骤
★ 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4.
用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 . 移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方, 得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4 .
结论：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
例1
例2
解方程：(1) 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以3,得 x2 + x - 1=0. 配方,得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0, 即（x + ）2 - =0. 移项,得 x + =± , 即 x + = 或 x + = . 所以 x1= , x2 = -3 .
 
 
 
 
 
 
 
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
3x2－6x=-4,
即
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3
★ 配方法的应用
配方法的应用
求最值或证明代数式的值为恒正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方转化成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值
完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4
利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2
1．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
C
2.解下列方程：
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
解：
（2） 3x2+6x-9=0.
（1）4x2-6x-3=0；
3.应用配方法求最值.(1) 2x2 - 4x+5的最小值；(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 , 所以当x =1时，有最小值，为3. （2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 , 所以当x =2时,有最大值，为-4.
配方法
方法
步骤
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上二次项系数一半的平方