2023年重庆市巴蜀中学校中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年重庆市巴蜀中学校中考一模数学试题（含解析），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年重庆市巴蜀中学校中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（   ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，，则的度数为（   ）
  
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（   ）

A．10 B．6 C．5 D．4
4．估算的结果在（   ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
5．根据如图所示的程序计算y的值，若输入x的值为3时，输出y的值为4，则输入x的值为6时，输出y的值为（   ）
  
A．14 B．11 C．10 D．8
6．在一次设计环保标志的活动中，初三（1）班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒.设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，根据题意得方程组（   ）
A． B． C． D．
7．将大小形状完全相同的“△”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“△”的个数，则第8个图中三角形的个数是（   ）
  
A．40 B．42 C．43 D．44
8．如图，与相切于点F，连接、分别交于点D、C，E为上一点，连接，.若半径为2，，，则的度数是（   ）
  
A．60° B．65° C．55° D．52.5°
9．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ）
A．10 B．12 C．16 D．14
10．对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；……依次类推，若，则下列说法
①当时，；    ②当时，；
③点一定在抛物线上；
④当，2，3，…，n时，对应b的值分别为，，，…，，若则n的值为42：其中正确的个数是（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11． ．
12．最近比较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2023年2月9日当天，其下载量达到了286000次的峰值，286000用科学记数法可表示为 ．
13．如果一个多边形的内角和比外角和的4倍还多180°，则这个多边形的边数是 ．
14．有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片，记数字为m，放回并洗匀，再从中随机抽取一张卡片，记数字为n，则满足的概率为 .
15．如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则 ．
  
16．如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点M，再以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点N.若，，则图中阴影部分的面积为 .

17．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 .
  
18．若一个各位数字均不为的四位数（，，，，，，为整数）满足：把的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字组成的两位数与的和记作，的千位数字与个位数字的倍的和记作，如果的各位数字之和与的和是一个正整数的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数称“赓续元素”；当，时，最小“赓续数”为 ；若“赓续数”满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大为 .

三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．在学习角平分线的过程中，小琦遇到了这样一个问题：在梯形中，，若平分，且点E是边的中点，则.他的思路是：过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，进行转边，从而解决问题.请根据小琦的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作于点F（保留作图痕迹）
平分，
∴____①____




又
∴____②____(
，
∵点E是的中点，
，
在与中
，

___③_____

  
21．某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：90，91，92，92，93，93，94八年级抽取20名同学竞赛成绩数据为：80，85，82，81，88，86，92，88，92，93，97，94，100，96，99，96，93，97，96，95.
  
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均分
中位数
众数
七年级
91.5
b
93
八年级
91.5
93
c
请根据相关信息，回答以下问题：
(1)直接写出a，b，c的值，并补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握地震自救知识较好？请说明理由（写一条理由即可）；
(3)该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
22．如图1，在等腰中，，，D为底边的中点，点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从C点出发，以每秒2个单位长度的速度；沿着的路线运动，设运动时间为t，连接，，，记的面积为，记的面积为，请解答下列问题：
  
(1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的函数图象；
(2)观察的函数图象，写出函数的一条性质；
(3)根据图象，直接写出当时，t的取值范围.
23．重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的，而乙施工队单独修建这项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？
24．如图，在小晴家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角为，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）
  
(1)求坡面的长度？（结果保留根号）
(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着上山的速度为每分钟25米，若她出发，请通过计算说明她在前能否到达山顶C处？（结果精确到0.1）
25．已知抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，且，该抛物线的对称轴为直线．
  
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，E为直线下方抛物线上一点，过点E作轴交直线于点F，求的最大值及此时点E的坐标；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，M为与y轴的交点，N为新抛物线对称轴上一点，点C平移后的对应点为Q，平面内是否存在点P，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为矩形，若存在请写出所有点P的坐标，并写出其中一种情况的过程；若不存在请说明理由．
26．如图，是等边三角形，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转120°至，连接，分别交、于点F、G.
  
(1)若，，求的面积；
(2)请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)当周长最小时，请直接写出的值.

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，据此解答即可．
【详解】根据相反数的含义，可得
的相反数等于：−.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是熟练的掌握相反数的含义.
2．A
【分析】设与交于点，根据平行线的性质可得，根据即可求得答案．
【详解】如图所示，设与交于点．
  
∵，
∴．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，牢记平行线的性质（两直线平行，内错角相等）和三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）是解题的关键．
3．B
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形
∴




的周长为15，

故选B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
4．C
【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估计大小即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算和无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
5．A
【分析】直接利用已知运算公式公式得出m的值，进而代入求出时对应的值．
【详解】解：∵输入x的值是3时，输出的y的值为4，
∴，
解得：，
若输入x的值是6，则输出的y的值是：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数值，正确得出m的值是解题关键．
6．C
【分析】依据“若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒”列二元一次方程组即可解题．
【详解】解：∵每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒，
∴，
∵每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒，
∴，
∴依题意列出方程组为，
故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．D
【分析】第①个图中△的个数为：，第②个图中△的个数为: ,第③个图中△的个数为: ,第④个图中△的个数为: , 据此可得到第n个图中△的个数，从而可求解.
【详解】∵第①个图中△的个数为：，
第②个图中△的个数为:,
第③个图中△的个数为: ,
第④个图中△的个数为：,
,
∴第n个图中△的个数为：，
∴第个图中△的个数是：
故选: .
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第n个图中△的个数为
8．D
【分析】由切线的性质定理得到，又,得到,由是等腰直角三角形得到,因此,由圆周角定理即可求出.
【详解】∵与相切于点F,
∴半径,
∴,
∵,
∴

，
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∵
∴
，
故选:.
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键.
9．B
【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且，即可求得满足条件的所有整数的值．
【详解】
解不等式，得
．
解不等式，得
．
因为关于的不等式组无解，可得
．
解得
．
解关于的分式方程，得
．
∵为整数，，,
∴或或．
∴满足条件的所有整数的和．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．
10．B
【分析】根据题意，首先找出a，b之间的关系式，然后逐个分析找出规律，即可得解.
【详解】由题意得， 且
,,
则当时,,
∴①正确.
当时,或,
∴②错误.
将P的坐标代入抛物线得,
∴式子成立，③正确.
当时,.
当时,.
当时,.
当时,.
即
，
，
，
，
∴.
∴④错误.
故选: .
【点睛】本题考查了规律性探索问题，解题时需要分析题意，学会转化，灵活变形.
11．/
【分析】先求绝对值，进行负整数指数幂的计算，再进行减法运算．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂的计算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
12．
【分析】根据科学记数法的定义求解即可．
【详解】根据科学记数法的定义可知：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查科学记数法，牢记科学记数法的定义（把一个绝对值大于的数记作的形式，其中是整数位数只有一位的数，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法，的指数比原数的整数位数少）是解题的关键．
13．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理及多边形的外角和为360゜及题中等量关系：多边形的内角和比外角和的4倍还多180°，列出方程并解方程即可．
【详解】设多边形的边数为n
根据题意，得：（n﹣2）•180＝1620
解得：n＝11
则这个多边形的边数是11
故答案为：11
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的外角和，涉及方程思想，关键是清楚多边形的内外角和．
14．
【分析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出满足 的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】画树状图为：
  
共有种等可能的结果，其中满足 的结果数为，
∴满足 的概率
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
15．
【分析】设，可求 ，， 由，即可求解．
【详解】解：设，
轴，
，，轴，

，
解得：，
在上，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键．
16．
【分析】根据 , 即可求得即, 得到, 图中阴影部分的面积等于扇形的面积减去图形的面积即可.
【详解】连接,

∵，, ,
∴，
∴,
∴,
∴阴影部分的面积为 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，矩形的性质，解直角三角形等，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键.
17．
【分析】连接，交于点，说明为的中位线，再利用勾股定理列方程即可解决问题．
【详解】解：连接，交于点，
  
将沿着翻折到，
垂直平分，
四边形是矩形，
，，
是的中位线，
，
在中，由勾股定理得，，
，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
18．
【分析】当，时，可知，，则，当时，可以取得最小值，且，据此即可求得答案．根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．
【详解】∵，，
∴四位数．
∴，．
∴．
∴当时，可以取得最小值．
又，
∴．
∵，
∴．
∵为整数，
∴为整数．
又，，
∴或．
①当时．
根据题意可知
，，，．
，．
∴．
∴．
∴不符合题意．
②当，且，，时．
根据题意，得
，，．
∴．
∵为正整数，
∴．
∴．
∴，，，不符合题意．
③当，且，，时．
根据题意，得
，，．
∴．
∵为正整数，
∴．
∴．
∴．
综上所述，符合条件的的最大值为．
故答案为： ，．
【点睛】本题主要考查实数，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
19．(1)
(2)

【分析】原式利用单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.
【详解】（1）原式

（2）原式



【点睛】此题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.
20．作图见解析，①②③
【分析】根据要求作出图形，证明． 推出，再证明，可得结论．
【详解】图形如图所示：
  
平分，
∴，
，
，
，
，
又，
∴(，
，，
∵点E是的中点，
，
，
在与中，
，，
，
，
．
故答案为：①②③
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，所以是中考常考题型．
21．(1)，；；补全条形统计图见解答；
(2)八年级成绩较好，理由见解答；
(3)1380人．

【分析】（1）用组人数除以样本容量可得组所占百分比，进而得出的值；根据中位数的定义可得的值；根据众数的定义可得的值；求出组人数后，即可补全条形统计图；
（2）从中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）分别计算七年级、八年级优秀人数即可．
【详解】（1）由题意可知，样本容量为：，
，
；
把七年级20名同学竞赛成绩从大到小排列排在第10和第11个数是92，91，故中位数；
八年级20名同学竞赛成绩中96出现的次数最多，故众数；
八年级抽取20名同学竞赛成绩中组人数为4人，补全条形统计图如下：
  
（2）八年级成绩较好，理由如下：
八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高；
（3）

（人，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是1380人．
【点睛】本题考查中位数、众数、用样本估计总体以及条形统计图，理解中位数、众数的意义，掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键．
22．(1)；；作图见解析
(2)函数的最大值是；
(3)

【分析】由锐角三角函数可求的长，由三角形的面积公式可求解；
由图象可直接求解；
列出不等式即可求解.
【详解】（1）如图, 过点P作于H, 过点Q作于N,
  
∵，，D为底边的中点，
∴

∵点P从A点出发以每秒个单位长度的速度向终点B运动，
∴,
，
，
，
当点Q在上时，
∵动点Q从C点出发，以每秒个单位长度的速度,
∴,
，
，
当时,
；
当点Q在上时,同理可求当时,

综上所述：
则，的函数图象如图所示：
  
（2）由图象可得：函数的最大值；
（3）∵
，
.
即.
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
23．(1)甲施工队每天修建米，乙施工队每天修建米
(2)共需修建费用万元

【分析】（1）设甲施工队每天修建米，则乙施工队每天修建米，根据乙施工队单独修建这项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天，列出方程进行求解即可；
（2）设乙施工队干了天，根据先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，列出方程，求出，分别求出甲，乙两队的修建费，即可得解．
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建米，则乙施工队每天修建米，由题意，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
∴甲施工队每天修建米，乙施工队每天修建米；
（2）设乙施工队干了天，由题意，得：，
解得：，
∴乙施工队修建了3天，
∴共需修建费用万元；
答：共需修建费用万元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
24．(1)米
(2)不能；计算过程见解析

【分析】（1）过点C作于点E，根据，利用三角函数求出米即可；
（2）过点B作于点F，根据平行线的性质得出，求出，得出（米），求出，解直角三角形得出（米），求出（米），求出到达山顶的时间为（分），根据，得出结果即可．
【详解】（1）解：过点C作于点E，如图所示：
  
∵B和C的水平距离为300米，
∴米，
∵，
∴（米）；
（2）解：如图，过点B作于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴（米），，
∴，
∵，
∴（米），
∵，，
∴（米），
∴小晴从A出发去山顶C所用时间为：
（分），
∵，
∴她在前不能到达山顶C处．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
25．(1)
(2)的最大值为，此时，点的坐标为
(3)存在，点P的坐标为或或或

【分析】（1）由得到，，结合对称轴为直线求得与的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）过点作于点，则轴，根据相似三角形的判定和性质可得，求得直线的解析式为，设，则，得出、的长，然后用二次函数的性质即可求解；
（3）先求得平移后抛物线的解析式为，得平移后抛物线的对称轴为，与轴的交点，由以、、、为顶点的四边形为矩形得为直角三角形，设，利用勾股定理得，，，然后分情况讨论，利用直角三角形的性质以及矩形的性质即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线与轴交于点，
，
，
，
，
称轴为直线，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，，对称轴为直线，
，，
，
过点作于点，则轴，
  
，，
，
，即，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，的最大值为，此时，点的坐标为；
（3）抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，，
抛物线向右平移3个单位，向上平移1个单位，
抛物线的解析式为，，
新的抛物线，
平移后抛物线的对称轴为，与轴的交点，
以、、、为顶点的四边形为矩形，
为直角三角形，
设，
，
，
，
①当为对角线，时，
，
，
，
，
，，
点的坐标为；
②当为对角线，时，
，
，
或，
的坐标为或，
，，
点的坐标为或；
③当为对角线，时，
，
，
，
，
，，
点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题、考查了待定系数法、二次函数的性质、平移变换，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．(1)
(2).证明见解析
(3)

【分析】将绕点顺时针旋转, 得到,则点E在上, 过点E作，利用旋转的性质可得, 于是可得点在同一直线上,再根据三角形的面积公式计算即可；
将绕点C顺时针旋转, 得到, 连接, 易证明四边形为菱形,于是得到为的中位线，利用线段之间关系即可求解；
将绕点C顺时针旋转, 得到, 连接,作点C关于的对称点连接交于点P,则，要使周长取得最小值，即取得最小值，根据两点之间线段最短得当三点共线时，E取得最小值连接,交 于点O,连接AH, 连接, 易得四边形为菱形，四边形为矩形，设的边长a, 设,则由知, 则易得为的中位线,于是, 得到解得, 因此由计算即可求解.
【详解】（1）如图,将绕点C顺时针旋转,得到, 则点在上,过点作 .
  
∵,
∴,
∵为等边三角形,
∴,
根据旋转的性质可得,.
,
∵
∴点在同一直线上,
，
；
（2）.证明如下:
如图,将绕点C顺时针旋转,得到, 连接,
  
∵,.
∴.
∵,
∴四边形为菱形,
∴,
∵,
∴为的中位线,
，
；
∵,
∴；
（3）如图,将绕点C顺时针旋转得到, 连接,作点C关于的对称点 连接 交于点P.
  
则,
，
∴要使周长取得最小值，即取得最小值，
，
∴当三点共线时, 取得最小值，
如图, 连接交于点O, 连接,连接,
  
∵为等边三角形, ,
∴,
∴四边形 为菱形，
∵,且
∴四边形为矩形,
设的边长a,
，
设, 则
由(2)知, 则，
∵, P为中点，
∴为的中位线，
∴,
，
∴,
，
，
，
∴,
∴,
设G到的距离为, G到的距离为，

，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短、平行线的判定与性质、矩形的判定、相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，难度较大，正确作出辅助线，构建等边三角形解决问题是解题关键.