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新人教版小学六年级数学上册第五单元《圆》教案
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这是一份新人教版小学六年级数学上册第五单元《圆》教案，共62页。
第五单元《圆》
本单元的主要内容有：圆的认识、圆的周长、圆的面积、扇形。
圆是小学阶段认识的最后一种平面图形。本单元内容是在学生已经初步认识圆和一些直线图形，知道周长和面积的意义，会计算部分图形的周长和面积的基础上进行教学的。日常生活中圆形的物体处处可见，应用非常广泛，学生接触的也很多，这为学生系统地认识圆奠定了认知基础。
从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一种跨越。因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还需要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和解决问题的能力。教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
教学目标
1.使学生认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。
2.使学生会利用直尺和圆规，在教师指导下设计一些与圆有关的图案
3.使学生通过实践操作，理解圆周率的意义，理解和掌握圆的周长计算公式，并解决一些相应的实际问题。
4.引导学生探索并掌握圆的面积计算公式，并解决一些简单的实际问题。
5.使学生认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。
6.使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，培养数学活动经验，在解决一些与圆有关的数学问题的过程中，提高问题解决的能力。
7.使学生在推导圆的周长与面积的计算公式过程中体会和掌握转化、极限等数学思想。
8.通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。
课时安排
教学建议
1.加强学生动手操作，自主探索的能力。
实际教学时，教师应注意多让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围、拼一拼等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探索圆的周长和面积计算公式。
2.注重引导学生体会和掌握相关的数学思想方法。
本单元的学习内容蕴含了多种数学思想方法，如求圆的周长，蕴含了“化曲为直”的转化思想。探究圆的面积计算方法，蕴含了转化思想、极限思想、等积变换思想。
3.合理用好生活素材，凸显其教学价值。
因为圆在生活中有着广泛应用，所以研究圆的时候，要合理用好生活素材，把这些素材作为引发学生探究、促进学生思考、加深学生感悟的有效载体。
1.圆的认识
第1课时
圆的认识
课时内容
教材第55～57页内容及相关习题。
课时
目标
1.使学生认识圆，掌握圆的特征；了解圆的各部分名称。
2.会用字母表示圆心、半径、直径；理解并掌握在同圆（或等圆）中直径与半径的关系。
3.能正确熟练地掌握用圆规画圆的方法。
4.培养学生动手操作、主动探究、自主发现、交流合作的能力。
重点
难点
重点：通过动手操作，理解直径与半径的关系，认识圆的特征。
难点：掌握画圆的方法，认识圆的特征。
一、创设情境，导入新课
师：对于圆，同学们一定不会感到陌生吧？生活中，你们在哪儿见到过圆形？
【学情预设】钟面上有圆，轮胎上有圆，硬币是圆的，有些商标也是圆……
教师根据学生回答出示课件。
师：看来圆在我们的生活中真是无处不在。同学们，古希腊一位数学家曾经说过：“在一切平面图形中，圆是最美丽的！”因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇。今天这节课，就让我们一起来探索圆的奥秘。（板书课题：圆的认识）
设计意图：采用直接切入主题的方式，从学生熟悉的生活情境入手，让学生感受到圆与生活紧密相连，创设出特定的问题情境，激发起学生的学习欲望。
二、自主探索，互动授新
1.自主画圆，认识圆各部分的名称。
（1）借助模具画圆。
师：你们能想办法在纸上画一个圆吗？
学生自主画圆，教师巡视。
【学情预设】学生可能会用身边的圆形物体，如茶杯盖、三角尺上的圆洞画圆，也可能用圆规画圆。
师：同学们都画好了吗？谁能展示一下自己画的圆，并说说你是怎样画的？
学生举手发言，展示自己画出的圆，并介绍画圆的方法，教师及时给予肯定。
师：我想画一个更大或更小的圆，用这些实物可以吗？
【学情预设】学生可以体验到实物只能画出固定大小的圆，不能随意变化。由于学生有一些经验，会有学生说出，可以用圆规画出任意大小的圆。
师：我们原来都是用直尺、三角尺画图形，这次为什么不用这些学具画圆？
【学情预设】学生可能会说，“因为三角尺、直尺画出的线都是直的，而圆的边是弯曲的”，也可能会说用直尺、三角尺无法画出圆。
设计意图：充分利用学生的生活经验，感受圆的“边线”是“弯”的，体会圆的特征。
师小结：圆是由曲线围成的封闭平面图形。（板书）
（2）用圆规画圆，体验画法。
师：刚才有同学提到了圆规，确实，画圆要用到专门的工具——圆规。
教师介绍圆规。（课件出示）
教师出示圆规，配合课件演示介绍圆规各部分的名称及使用方法。
师：刚才已经有少数同学用圆规画出了一个圆，现在请同学们都拿出圆规，在纸上画一个圆。边画边想：你是怎样画的？
学生尝试用圆规画圆。
（3）展示交流，规范画圆的方法。
师：大家都画好了吗？谁来说一说，你是怎么用圆规画圆的？
先展示学生画得比较规范的圆，交流画法。
结合学生的交流，归纳用圆规画圆的方法：①把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；②把有针尖的一只脚固定在一点上；③把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
再展示画得不是很规范的圆，辨析讨论，明确画圆时要注意的地方。如：带有针尖的脚不能移动；两脚之间的距离不能改变。
教师小结画圆的步骤：①定圆心；②定半径；③画圆。（板书）
教师在黑板上用圆规示范画圆。
（4）结合画圆，认识圆各部分的名称。
①认识圆心。
展示学生画出的几个不同的圆。
师：这些都是同学们画出的圆，仔细观察，都是画圆，为什么会画到不同的纸上？
【学情预设】引导学生发现，圆规的针尖在不同的地方，圆就画在不同的地方。
师小结：针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。圆心决定圆的位置。（板书：圆心O决定圆的位置。）
②认识半径和直径。
师：继续观察，都是用圆规画出的圆，为什么这些圆大小会不同呢？
【学情预设】启发学生发现，两脚间的距离不同，画出的圆的大小就不同。
师小结：圆规两个脚之间的距离就是半径的长度，一般用字母r表示。半径决定圆的大小。（板书：半径r决定圆的大小。）
师：这两条在同一直线上的半径合起来是一条直径，一般用字母d表示。
③完善纠正，在圆上标出各部分名称。
师：请刚才画得不规范的同学再画一个规范的圆，都在自己画好的圆上标出圆心、半径、直径。
学生在所画的圆上标出圆心、半径和直径，教师巡视，发现错误及时纠正。
2.动手操作，探究直径与半径的关系。
（1）进一步认识半径。
师：在你的学具圆上任意找一点，连接圆心和这一点得到一条线段，你还能画出这样的线段吗？再画出几条，用直尺量一量这些线段，你发现了什么？
【学情预设】这些线段的长度都相等。
师：像这样的线段我们把它叫做半径。你能用自己的话说一说什么叫半径吗？
学生回答后出示概念及字母表示方法。
师：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母r表示。（边示范边讲解）
师：请同学们仔细观察，想一想半径具备哪些特征。在同一个圆中，可以画出几条半径？所有的半径都相等吗？你是怎样证明的？
学生讨论后，汇报交流。
【学情预设】半径是一条线段，它的一个端点在圆心，另一个端点在圆上。在同一个圆中，可以画出无数条半径，所有的半径都相等，可以用尺量，也可以把圆对折。
师小结：半径是一端在圆心，另一端在圆上的线段；在同一个圆中有无数条半径，所有的半径都相等。
（2）进一步认识直径。
师：拿出你的圆形学具，先对折，再用直尺沿着对折后的一条折痕画出一条线段，用同样的方法再画出几条，用直尺量一量这些线段，你发现了什么？
【学情预设】这些线段的长度都相等。
师：像这样的线段我们把它叫做直径。你能用自己的话说一说什么是直径吗？
学生回答后出示概念及字母表示方法。
师：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母d表示。（边示范边讲解）
师：请同学们仔细观察，想一想直径具备哪些特征。在同一个圆中，可以画出几条直径？所有的直径都相等吗？
学生讨论后，全班汇报交流。
【学情预设】直径是一条线段，它的两个端点都在圆上，而且通过圆心。在同一个圆中，可以画出无数条直径，所有的直径都相等。
师小结：直径通过圆心，并两端都在圆上；在同一个圆中有无数条直径，所有的直径都相等。
（3）探索在同圆或等圆中直径和半径的关系。
学生用直尺独立量出自己手中圆形学具的直径和半径的长度，然后讨论测量结果，找出直径与半径之间的关系。
师生共同小结：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长
度是直径的。。用字母表示为 d =2r或r = 。
（4）理解直径是圆内最长的线段。
师：请同学们拿出尺子，量一量圆内的线段，看看直径有什么特点。
【学情预设】学生可能会说到直径是半径的2倍，此时教师要引导学生知道，圆内的线段，有些是经过圆心的，还有一些是不经过圆心的。经过学生交流，教师引导得出：同一圆内，直径是圆里面最长的线段。
设计意图：让学生经历动手操作、观察发现的过程，在操作、观察中认识圆的各部分名称，发现圆的特征，理解和掌握在同圆或等圆中直径与半径之间的关系，体验自主感悟新知的过程。
（5）体会圆的美的真正内涵。
师：我们刚才学习了圆，知道圆的半径和直径都有无数条，而且所有的半径都相等，所有的直径都相等。试想一下，在同一个圆里，如果它们的半径不是都相等的，而是有的长，有的短，那你觉得最后连起来的还是一个圆吗？还可能光滑饱满匀称吗？想一想是什么原因，使圆看起来那样光滑饱满匀称？
【学情预设】所有的半径都相等，所有的直径都相等。
3.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第56页“做一做”第1题。
先尝试解答，再全班讨论交流。
设计意图：要求找到一个画在纸上的圆的圆心，需要利用圆的特征——直径是圆里面最长的线段，通过反复测量、调整，方能找到圆心。如果把它剪下来，通过两次对折，交点即是圆心。
（2）完成教材第56页“做一做”第2题。
学生自主解答，展示交流。
（3）完成教材第58页“练习十三”第2题。
先在教材上填空，再交流。交流时让学生说说是怎样想的。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第58页“练习十三”第1题。
巩固用圆规画圆的方法。
2.完成教材第58页“练习十三”第4题。
提高动手实践和解决问题的能力。
新课标指出：“学生是数学学习的主人”，教师要“向学生提供充分从事数学活动的机会”，并指出：“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”。本节课教学通过问题引领、动手操作、合作交流组织教学，使整节课在思考中充满了“做数学”的过程，学生的主体性得到充分展现。本课教学设计还着力利用信息技术让学生经历体验的过程，将抽象的数学知识形象化，引导学生积极主动地参与学习过程，培养学生的数学意识和探究能力。对于六年级上学期的学生，他们开始对“有用”的数学更感兴趣。此时，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排更应当关注数学在学生的学习和生活中的应用，使他们感觉到数学就在自己的身边，而且学数学是有用的、必要的，从而愿意并且想学数学。对于本节课教学的圆，学生在生活中有大量的接触，有了一定的知识、经验基础，同时学生具备了很强的动手操作能力，有较强的交流与表达的愿望，使课堂教学引导学生主动探究，开展小组合作学习，培养创新意识和实践能力成为可能。
第2课时
用圆设计图案
课时内容
教材第59页内容及相关习题。
课时
目标
1.认识到圆是轴对称图形，且对称轴有无数条。
2.利用前面所学的对称知识，用圆设计图案。
3.培养学生动手操作能力，提高观察能力和欣赏能力。
重点
难点
重点：能准确地找出学过的平面图形的对称轴，能根据对称轴画出与给定图形对称的图形。
难点：画出由多个圆组成的组合图形的对称轴，以圆为基本图形设计美丽的图案。
一、创设情境，导入新课
师：我们已经知道圆是轴对称图形，生活中有很多美丽的图案由圆构成，让我们一起来看一个美丽的图案。（课件出示）
师：构成这些图案的基本图形都是圆，这节课我们一起来学习如何利用圆设计精美的图案。（板书课题：用圆设计图案）
设计意图：呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。
二、自主探索，互动授新
1.认识对称图形。
（1）认识圆的对称性。
①认识圆的对称轴。
师：圆是轴对称图形，那么圆的对称轴在哪里呢？可以拿出圆片折一折。
学生讨论，师生归纳：直径所在的直线都是圆的对称轴。
板书：圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。
②探究圆的对称轴的数量。
师：先折一折，再想一想，圆有多少条对称轴呢？
【学情预设】 学生会根据圆有无数条直径以及直径所在的直线都是圆的对称轴推理知道圆有无数条对称轴。
板书：圆有无数条对称轴。
师：对称轴要用虚线表示。
（2）认识平面轴对称图形及其对称轴。
课件出示教材第59页“练习十三”第6题。
结合学生的交流，课件展示长方形、正方形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形，并出示它们的对称轴。
（3）画组合图形的对称轴。
课件出示教材第59页“练习十三”第8题。
师：你能分别画出几条对称轴呢？
①学生在教材上画对称轴。
②展示学生的画法，进行分析判断。
③课件展示完整的画法。
2.用圆设计图案。
课件出示图案。
（1）分析图案。
师：这个图案就是充分利用圆的对称性设计出来的。仔细观察这个图案，它是由哪些部分组成的？
【学情预设】 引导学生观察图案特征，发现：四个“花瓣”实际上是由四个半圆组成的。
师：思考一下四个半圆的圆心在哪里？半径是多少？
【学情预设】 引导学生通过画辅助线帮助分析，确定四个半圆的圆心在大圆里最大的正方形的边长上，半径是正方形边长的一半。
设计意图：引导学生对图案进行分析，培养学生对图形的观察和分析能力，提升空间观念。
（2）学生尝试画图案。
师：我们要画这个图案的话，要先确定什么？
引导学生知道，画图案先要确定某个圆或半圆的圆心和半径。
展示学生作品，交流归纳画法。
（3）规范画法。
根据学生的交流，整理画图的步骤。
师：通过观察图案，我们发现要想确定圆心的位置和半径的大小，需要找到大圆里最大的正方形。正方形的边长就是小圆的直径。正方形各边的中点就是四个半圆的圆心位置。
以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）（课件出示23-27页）
……
选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因，及时订正问题。带领学生按步骤再画一遍，边画边分析每一步隐含的数学原理。
设计意图：引导学生观察图案特征，尝试确定圆心和半径的大小，适当的时候给予直接的帮助，最后通过对错误的讨论确定半圆的半径和圆心的重要性。
（4）归纳画图案的方法。
师：刚才我们用圆规画出了一个图案，大家想一想，画一个图案应该经历哪几个步骤？
此处学生容易将画上一个图案的步骤与画一般图案的步骤混淆，教师进行提示：上面所画的是具体的图案，画一般的图案我们要经历哪几个步骤？
【学情预设】 引导学生知道：
第一步，分解图案，看图案包括哪几个部分。
第二步，分析图案，看图案中每部分是怎么来的。
第三步，确定图案的具体画法，确定画图的顺序。
第四步，画图。
第五步，涂色。（板书）
（5）独立设计图案。
①小组合作设计一个喜欢的图案，然后给自己的作品涂色并适当修饰。
②教师在学生设计过程中巡视，发现问题立即给予帮助。
③交流展示，作品欣赏。
设计意图：由于课堂时间所限，学生完成任务可能有困难，通过小组合作可以提高学习效率。通过作品展示拓宽学生的思维，培养学生的创造性。
3.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第59页“练习十三”第7题。
学生完成后，集中交流评价。
（2）完成教材第59页“练习十三”第10题。
师：请大家看教材第59页第10题，任选一个图案，用圆规和三角尺画一画、涂一涂。
学生根据选择的图案，交流自己画的过程。
【学情预设】 第一个图案，圆心是正方形四边的中点，半径是正方形边长的一半；第二个图案，圆心是4条半径的中点，且这4条半径恰好组成2条互相垂直的直径，小圆半径是大圆半径的一半；第三、四个图案基本步骤同第二个图案，擦去辅助线条涂色即可。
设计意图：教材第59页下面让学生试一试的两个图案比较复杂，所以在此选用相对简单的“练习十三”中的第10题，让学生进一步巩固观察图案、分析图案、再画图案的一般过程。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：利用圆规和直尺可以设计出许多漂亮的图案，作图的关键是确定圆心和半径。有时为了设计方便，还可先添加一些辅助线。
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第59页下面的试一试。
小组合作完成，集体交流画图的思路。
用圆设计图案
圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴。
用圆规和直尺绘制图案的步骤及方法：
第一步，分解图案，看图案包括哪几个部分。
第二步，分析图案，看图案中每部分是怎么来的。
第三步，确定图案的具体画法，确定画图的顺序。
第四步，画图。
第五步，涂色。
本课时引导学生从日常生活中的轴对称图形入手，先重温了有关轴对称图形的知识，进而让学生能够更深入地理解圆是轴对称图形。接着以此为切入点，让学生利用圆的这一特性来设计图案。整个教学过程都十分注重情景互动，让学生经历由特殊到一般，再到特殊的过程，非常巧妙地抓住了学生的心理。不足的是，在引导学生分解图案、确定画的顺序时，花费的时间过多，导致有些图案放在课后完成。
2.圆的周长
第1课时
圆的周长（1）
课时内容
教材第60～61页内容及相关习题。
课时
目标
1.使学生认识圆的周长的意义，能用滚动、绕线等方法测量圆的周长，在实践活动中探索并发现圆的周长与直径的关系。
2.使学生初步掌握圆周率的意义和近似值，理解和掌握圆的周长计算公式，能正确地计算圆的周长。
3.培养学生的问题意识和应用意识，发展学生的空间观念，培养学生的抽象概括能力。
4.让学生了解祖冲之在圆周率研究方面所作出的贡献，增强民族自豪感，激发学生的探索精神。
重点
难点
重点：圆的周长计算公式的推导，能利用公式正确计算圆的周长。
难点：理解圆周率的意义。
一、复习旧知，迁移导入
师：同学们，回想一下之前我们都学习过哪些平面图形？
【学情预设】长方形 、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆。
师：长方形的周长等于什么呢？正方形呢？
【学情预设】长方形的周长=（长+宽）×2 ，正方形的周长=边长×4。
师：那么圆的周长又应该怎样计算呢？这节课我们就一起来学习一下圆的周长。[板书课题：圆的周长（1）]
设计意图：从学生熟悉的图形入手，引起学生的学习兴趣。
二、自主探索，互动授新
1.理解圆周长的意义。
（1）课件出示教材第60页的情境图。
师：王叔叔家的圆桌和菜板都有点开裂，需要在它们的边缘箍上一圈铁皮，分别需要多长的铁皮呢？思考一下，铁皮的长度与圆有什么关系？
教师用教具模仿把铁皮绕在菜板上。
【学情预设】 铁皮的长度等于围成圆的曲线的长度，那么围成圆的曲线的长度也就是圆的周长。
师：请同学们拿出课前准备好的圆形物体，先想一想，再向你的同桌比划一下它的周长在哪里。
设计意图：初步感知圆的周长就是圆一周的曲线长度，增强了学生对圆周长的感性认识，并形象理解圆周长的意义。
（2）课件演示圆的一周。
板书：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
2.动手操作，探究圆周长的计算方法。
（1）尝试测量圆的周长。
师：现在请同学们以小组为单位，想办法量出这个圆形物体的周长。（每个小组量一个圆形物体）
学生讨论并动手测量，教师巡视，必要时给予帮助。
师：谁愿意代表你们小组到讲台上来向大家展示一下你们的测量方法？
小组派一个代表上台动手操作，同时向大家讲解。
【学情预设】 在圆形物体上找一个起点，然后把绳子的一端对准起点绕圆一周，在绳子对接处作个标记，再把绳子拉直。量出绳子从一端到标记的这段绳子的长度就是这个圆形物体的周长。
教师提醒学生注意绕的时候要尽量贴合一些，这样测量结果会更准确一些。
师：这种用绳子辅助测量的方法叫绳绕法，下面请同学们一起来看一下用绳绕法测量圆形物体的周长的动画演示过程。（课件出示）
师：其他小组还有没有别的测量方法？可以到讲台上来展示一下。
小组派一个代表上台动手操作，同时向大家讲解。
【学情预设】 先在圆形物体的边缘作一个标记作为起点并对准直尺的“0刻度线，然后把圆形物体在直尺上滚动一周（也就是作的标记又一次对准直尺的刻度时），标记指向几，圆的周长就是几。
教师提醒学生注意滚动时不要滑动。
师：这种方法叫滚动法，下面请同学们一起来看一下用滚动法测量圆形物体的周长的动画演示过程。（课件出示）
师：请同学们想一想，这两种方法有什么相同点？
【学情预设】都是把围成的圆的曲线的长度转化成了一条线段的长度。
师：这就是数学中经常用到的“化曲为直”的方法，这是一种转化的思想方法。再想一想，你们用这两种方法测量圆的周长时遇到什么问题了吗？
师：看一下这是什么？同学们能用刚才的方法测量出它的周长吗？
【学情预设】不能。
师：现实生活中到处都存在着大大小小的圆，所以用这两种方法测量圆的周长都有一定的局限性，这就需要我们去探索一种更简单、更科学的求圆周长的方法。
设计意图：让学生明白 “绳绕法”“滚动法” 是有局限性的，引发其探索“计算公式”的积极性、必要性，为深入研究圆周长的计算问题作好了心理铺垫。
师：现在老师手里有大、小两个圆片，你认为哪个圆的周大更长？为什么？你是怎么知道的？
【学情预设】学生有测量圆的周长的经验，知道大圆的周长长，因为这个圆大。
师：所以圆的周长与圆的大小有关，而圆的大小是由圆的什么决定的？
【学情预设】半径或直径。
师：这两个圆相比较而言，大圆的直径比较长，它的周长就比较长，小圆的直径比较短，它的周长就比较短，由此可见圆的周长与圆的什么有关呢？（师拿着大小两个圆片比划）
【学情预设】半径或直径。
设计意图：引发学生探索圆的周长与直径关系的兴趣。
（2）探究圆周长与直径的关系。
师：圆的周长跟直径是不是存在着固定的倍数关系呢？下面我们来做一个实验。请大家拿出提前准备好的圆形物品，测量出它的周长，并计算同一物品的周长和直径的比值，得数保留两位小数，将结果记录在表格中。
学生先分组进行测量、计算、填表。根据学生的汇报，教师用课件出示一组结果。（课件出示）
师：请同学们看大屏幕，从这些测量的和计算的数据中你发现了什么？周长与直径的比值有什么特点？
【学情预设】 一般情况下，学生会得到周长与直径的比值是三点几，但由于测量有些误差，其结果有所不同，教学时要正视问题，可让学生通过讨论来统一认识。
设计意图：让学生通过实践活动自己探索并总结规律。
（3）揭示圆周率的概念。
师：原来一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，其实在很早以前就有人研究了周长和直径的关系，发现任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。（板书）
教师解释“任意”也就是任何一个，“固定”就是不变的。
师：既然圆周率是一个固定的数，那么大圆的圆周率和小圆的圆周率有什么关系？
【学情预设】相等。
师：圆周率用字母π表示。它是一个无限不循环小数。π＝3. 1415926535…，但在实际应用中常常只取它的近似值，π≈3.14。
（4）了解圆周率的历史。
课件播放圆周率的发展史。
师：听完圆周率的发展史，你想说些什么？
设计意图：让学生了解祖冲之在求圆周率中作出的贡献，增强民族自豪感。
（5）推导圆周长的计算公式。
师：根据刚才的探索，用字母C表示圆的周长，用d表示直径，用r表示半径，你能用字母表示出圆周长的计算公式吗？
小组交流，师生推导圆周长的计算公式：C=πd，C=2πr。（板书）
3.巩固练习，强化新知。
完成教材第62页“做一做”第1题。
学生独立解答后全班交流展示。
设计意图：让学生巩固圆周长计算公式。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第63页“练习十四”第7题。
巩固对π值的记忆和圆的周长计算公式的应用。
2.完成教材第64页“练习十四”第10题。
先将周长分成几段，分别求出每一段的长，再求和。
圆的周长（1）
圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
测量方法：滚动法、绳绕法→化曲为直
任意一个圆的周长和直径的比值都是一个固定不变的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数。圆周率一般取3.14。
圆的周长计算公式：C=πd或 C= 2πr
这节课通过创设生活情境，让学生感受生活中和圆有关的问题，然后通过观察得出圆的周长的概念。“圆的周长与直径有关，究竟有什么关系呢？”一语激起千层浪，学生在教师的启发下动手实践，完成实验报告单，探索出圆的周长是直径的3倍多一些。让学生经历猜想、实验、验证、概括等数学学习过程，不仅有利于掌握数学知识，而且有利于培养学生探索科学知识的意识和能力。总之，本节课的设计从学生的实际出发，通过测量圆的周长、探讨圆的周长与直径的关系、推导圆的周长的计算公式等活动，让学生在亲身经历数学知识的探究过程中发现知识、理解知识、应用知识。
第2课时
圆的周长（2）
课时内容
教材第62页例1及相关习题。
课时
目标
1.通过实例，巩固圆的周长公式，使学生学会根据圆的周长公式解决问题。
2.能熟练解决日常生活中和圆的周长相关的问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑推理能力以及初步掌握变换和转化的方法。
重点
难点
重点：灵活应用圆的周长公式解决问题。
难点：根据实际情况灵活运用公式解决问题。
一、复习旧知，迁移导入
师：上节课我们学习了圆的周长公式，请大家计算下面几个圆的周长。（课件出示）
学生独立完成，全班汇报交流。
设计意图：通过求圆的周长，加深对圆的周长计算公式的应用。
师：课外让大家观察自行车车轮转动一周所走的距离跟车轮的关系，谁来说一说自己的想法？
【学情预设】 车轮转动一周所走的距离其实就是车轮（圆）的周长，它跟车轮的半径有关系，半径越大走的越远。
师：今天我们一起来学习利用圆周长的知识解决实际问题。［板书课题：圆的周长（2）］
二、自主探索，互动授新
1.圆的周长计算公式的应用。
（1）联系实际，解决问题。
课件出示教材第62页例1。
师：这辆自行车轮子转1圈，大约可以走多远？实际就是求什么？
【学情预设】就是求半径为33厘米的圆的周长。
师：小明家离学校1 km，骑车从家到学校，轮子大约转了多少圈？又是求什么？
【学情预设】求轮子大约转多少圈就是求1 km里面有多少个周长。
学生独立完成后，教师指名学生板演，汇报交流。
【学情预设】C=2πr=2×3.14×33=207.24（cm）≈2（m）
1 km=1000 m 1000÷2=500（圈）（板书）
师：如果告诉我们的不是轮子的半径，而是直径，又该怎么解答呢？不需要计算，说说计算方法。
【学情预设】周长=圆周率×直径。
设计意图：通过解决这个问题，让学生了解数学与生活的联系，提高学生运用圆的知识解决实际生活中问题的能力。
（2）周长公式的变换。
师：前面我们运用圆的周长公式计算出了圆的周长。如果已知圆的周长，要求圆的直径或半径，又该怎么求呢？
学生思考后，交流想法。根据学生的交流，教师板书。
板书：
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第62页“做一做”第2题。
学生独立完成，交流结果。
【学情预设】
（2）完成教材第63页“练习十四”第2题。
学生独立完成，全班交流。
师：要求圆的周长，需要知道圆的直径或半径，这道题中圆的直径或半径是多少呢？
【学情预设】直径=步长×步数。
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
（3）完成教材第63页“练习十四”第3题。
学生自主解答。
师：你是怎样解答的？怎样想的？
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
（4）完成教材第63页“练习十四”第4题。
先让学生独立思考，再组织学生进行交流。
引导学生明确：钟面一圈是60分钟，分针经过30分钟、45分钟所走的路程分别是转动一周所走路程的几分之几。也可以让学生想：30分钟、45分钟分别是60分钟的几分之几，就表示针尖所走的路程是一周的几分之几。
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
（5）完成教材第63页“练习十四”第5题。
引导学生理解题意，让学生明确：求“要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈”就是求圆周长的3倍是多少。
学生独立解决问题，并组织全班交流。
在解决第二个问题时，可以引导学生回忆以前所学的“植树问题”，让学生明白，在一个封闭的圆上分段，分隔点的数目与分成的段数相等，从而解决这个问题。
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
设计意图：在读图的过程中培养学生用变化的眼光观察事物的习惯。培养学生的观察分析能力，初步感知面积和周长的区别。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：本节课我们利用圆的周长计算公式来解决实际问题，加深了对圆的周长公式的理解。与圆的周长相关的计算无非是对两个公式的正反两方面的运用，解题时关键要理解题意，可以通过画草图来理清题目中已知什么，要求的是什么，从而找到解题方法。
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第63页“练习十四”第6题。
巩固用圆的周长公式解决实际问题。
2.完成教材第64页“练习十四”第9题。
注意木条的长度包括两部分：（1）半圆的弧长；（2）正方形的周长。
本节课在掌握了圆的周长计算公式后，让学生自己推导出已知圆的周长求圆的半径或直径的公式。这一部分内容可让学生自主练习，充分发挥学生的主体性，巩固已经学过的知识。在反馈练习中，把教师的指导和学生的独立练习结合起来，既提高了练习的有效性，又培养了学生运用知识解决数学问题的能力。但整节课的教学内容较综合，练习中渗透着新的知识，花费了较多的时间探究，学生学习的强度较大。
3.圆的面积
第1课时
圆的面积
课时内容
教材第65～66页例1及相关习题。
课时
目标
1.通过操作、观察、验证、讨论和归纳等过程，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。
2.激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。
3.引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。
重点
难点
重点：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。
难点：理解圆的面积计算公式的推导过程。
一、复习旧知，迁移导入
师：同学们，我们已经学过了面积。那“长方形的面积”指的是什么？
【学情预设】长方形所占平面的大小。
师：那正方形呢？
【学情预设】正方形所占平面的大小。
师：长方形所占平面的大小叫长方形的面积，正方形所占平面的大小叫正方形的面积，那圆所占平面的大小叫什么呢？
【学情预设】圆的面积。
师：今天，我们一起来学习圆的面积。
回忆平行四边形、三角形、梯形的面积推导公式。（课件出示）
师：这是一个平行四边形，怎样计算平行四边形的面积？
【学情预设】平行四边形的面积=底×高。
师：你们还记得平行四边形面积是怎样推导出来的吗？
边讲解边课件展示：把平行四边形的左边割下一部分平移到右边，这样就把平行四边形转化成了长方形。
师：那你们还记得三角形、梯形的面积公式又是怎样推导出来的？
先抽几名代表学生回答，教师再进行详细补充。
师：同学们，那我们能不能把圆转化成学过的图形，从而推导出圆的面积的计算公式呢？这就是下面我们要学习的内容。（板书课题：圆的面积）
设计意图：通过启发学生回忆平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导过程，激起学生用旧知探索新知的兴趣，并加深对“转化”的数学思想方法的理解。
二、自主探索，互动授新
1.推导圆的面积计算公式。（课件出示）
（1）讨论将圆转化为学过的图形。
师：我们在学习推导几何图形的面积公式时，总是把新的图形通过分割、拼组等方法，转化成我们熟悉的图形。你们能将圆转化成学过的图形吗？
小组讨论，交流汇报。
【学情预设】 通过讨论，大部分学生可以想到将圆平均分成若干份，将圆“化曲为直”转化为近似的长方形或平行四边形。
（2）分组探究将圆转化成学过的图形。
①启发思考。
师：如果我们把一个圆平均分成8份，其中的每一份都是这个样子的。同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？（课件出示）
师：如果我们继续平均分，把一个圆平均分成16份，其中的每一份都是这个样子的。这时你们觉得它像一个什么图形呢？（课件出示）
师：对比两次平均分，你发现了什么？
【学情预设】 平均分得的每一份都是一个近似的三角形，平均分的份数越多，每份越接近三角形。
师：请同学们再想一想，这个近似三角形跟圆有什么关系呢？
【学情预设】 引导学生观察，明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径。
师：想一想，三角形跟我们学过的哪些图形又有联系？那圆可以转化为我们学过的哪些图形呢？
【学情预设】三角形跟长方形、平行四边形甚至梯形都有联系。圆可以转化为学过的三角形、长方形、平行四边形……
师：通过刚才的讨论，大家认为可以将圆转化为长方形、平行四边形或三角形甚至梯形，再来研究圆面积的计算，同学们的猜想和推理是否正确呢？
②学生分组操作，把圆形学具剪裁、拼组，转化成学过的其他图形。
把圆平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形。课件演示剪拼的过程。
师：大家观察一下，拼成的图形像什么图形？为什么说它像长方形而不是长方形？谁有办法把边变得更直些？把这个近似长方形变得更近似长方形？
【学情预设】 学生会想到拼成的图形像长方形。拼成的四边形的长远大于宽，所以更像长方形。平均分的份数越多，边更直，拼成的图形就越接近长方形。
课件动画演示将圆平均分成8份、16份、32份后拼成的近似平行四边形
师：把圆分成64等份，拼接后的图形的边会怎么样？图形会怎么样？
师：闭眼想象，如果把圆面等分成128份、256份……一直这样下去分成很多很多份，剪拼后的图形是什么情形？
【学情预设】分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
设计意图：渗透“转化”的数学思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识来解决。先让学生想象出等分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。再借助课件的演示，生动形象地展示了“化曲为直”的剪拼过程。在想象的过程中蕴含了另一个重要的数学思想——极限思想。
（3）推导圆的面积计算公式。
师：现在请同学们观察一下，这个长方形的长和宽与原来的圆有什么联系吗？如果圆的半径为r，那么这个长方形的长和宽各是多少呢？请同学们在小组里讨论一下。
学生讨论后汇报。
【学情预设】这个长方形的长约等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。如果圆的半径为r，那么这个长方形的长就是πr，宽就是r。
师：拼成的长方形的面积与圆的面积有什么关系？
【学情预设】拼成的长方形与圆形状不同，面积相等。
师：如果用S表示圆的面积，那么圆的面积S等于什么？
【学情预设】S＝πr²。
师：原因是什么？
【学情预设】 因为拼成的长方形的面积等于原来圆的面积，拼成的长方形的长相当于原来圆的周长的一半，宽相当于原来圆的半径，且长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=圆的周长的一半×圆的半径。即。
。
设计意图：通过动手操作，引导学生理解和掌握把圆转化成长方形推导出圆的面积计算公式的方法，培养学生的动手操作能力，渗透转化思想和极限思想。
（4）介绍数学文化。
师：我国早在魏晋时期就有数学家用“割圆术”来计算圆的面积，他利用此方法将圆周率精确到了小数点后第4位。
学生自主阅读教材第66页“你知道吗？”。
设计意图：给学生介绍数学文化，不仅让学生了解我国古代的数学成就，还让学生初步了解“割圆术”，产生继续探究的兴趣。
2.初步运用公式，解决问题。
课件出示教材第66页例1。
师：大家试试看，能解决吗？
学生尝试独立解决，指名学生上台板演，集体订正。
设计意图：学生已经掌握了圆面积的计算公式，通过练习让学生能运用公式解答一些简单的实际问题。
3.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第66页“做一做”第1题。
学生自主解答，展示交流。
【学情预设】问题中已知的是直径，学生往往会忽略，直接把直径当作半径计算。提醒学生要仔细读题。
（2）完成教材第69页“练习十五”第2题。
学生自主解答后展示交流。
【学情预设】计算周长和面积时，学生一般都会计算，但是有的时候容易弄错单位。
设计意图：本节课是圆的面积的第1课时，主要是理解并掌握圆的面积的计算公式。此处设计两道基础题，重在应用公式计算，并将面积与周长同时解答，加深对面积的理解。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第69页“练习十五”第3题。
巩固圆的面积的计算。
2.完成教材第69页“练习十五”第4题。
注意知识的综合应用，先求出半径，再求面积。
3.完成教材第71页“练习十五”第13题。
先求半径，再算两个圆的面积，最后相减。
本节课较好地完成了教学目标，学生学习积极性高，课堂气氛活跃、和谐。在学习新知之前，引导学生回忆以前探究平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法，引导学生发现“转化”是探究新的数学知识、解决数学问题的好方法，为下面探究圆的面积计算的方法奠定基础。在推导圆的面积计算公式的过程中，为学生创造充分的动手机会，让学生在动手操作的过程中逐步明确圆与所转化成的图形之间的关系，掌握圆的面积计算公式，从而使学生在操作中积累更多的数学活动经验。整个知识的形成过程，对提高学生的动手操作能力，小组合作能力，探索和创新能力以及培养学生良好的思维品质，具有十分积极的作用。
第2课时
圆环的面积
课时内容
教材第66页例2及相关习题。
课时
目标
1.使学生认识圆环，掌握计算圆环面积的方法，让学生进一步巩固已学过的圆的面积公式。
2.通过解决实际问题，理解圆环面积公式的推导过程。
3.培养学生综合运用知识的能力，会利用所学知识解决实际问题。
重点
难点
重点：掌握圆环的特征以及圆环面积的计算方法，并能正确的计算圆环的面积。
难点：理解圆环面积计算公式的推导过程以及圆环面积与外圆、内圆面积之间的关系。
一、创设情境，导入新课
师：上节课我们学习了圆的面积计算公式，你能求出下面各圆的面积吗？（课件出示）
学生计算后交流。
师：我们来欣赏一组美丽的图片。
师：同学们，你们从图中发现了什么？
【学情预设】它们都是由两个大小不同的圆组成的。
教师拿出环形光盘，说明像这样的图形，我们称它为圆环或环形。
师：你还知道生活中有哪些环形的物体？
学生结合生活实际谈谈已经知道的环形物体。
师：这节课我们一起来学习圆环的面积。（板书课题：圆环的面积）
设计意图：从学生掌握的常识和熟悉的事物入手，使其感受到数学就在我们身边，学生从直观上也感受到了圆环的特点，为后面学习圆环的面积奠定基础。
二、自主探索，互动授新
1.探究圆环的面积计算方法。
（1）介绍圆环。
师：看看这个圆环，你们觉得圆环跟圆有什么相同和不同的地方？（课件出示）
【学情预设】学生可能说圆环也是圆形的，圆环是由两个圆组成的，圆环只是圆外面的一部分，等等。
师：圆环中，较大的圆叫外圆，较小的圆叫内圆，两个圆之间的宽度叫环宽。
设计意图：让学生认识身边的圆环，感受生活与数学的紧密联系，初步认识圆环的基本特征，为后面解决问题打好基础。
（2）课件出示教材第66页例2。
学生试做，指名学生板演。
（4）交流算法。
师：你们都是怎样计算的？
【学情预设】 一般学生会根据“外圆的面积-内圆的面积”得到圆环的面积，不容易想到简便计算。也有学生会出现3.14×（6-2）²的错误。教师要根据实际情况进行引导和分析。
方法一：外圆的面积：3.14×6²=113.04（cm²）
内圆的面积：3.14×2²=12.56（cm²）
圆环的面积：113.04-12.56=100.48（cm²）
方法二：3.14×（6²-2²）=100.48（cm²）
（5）比较异同，深化理解。
①比较两种方法。
师：比较一下，这两种方法有什么不同？
引导学生发现，两种方法的计算方法是一致的，都是“圆环的面积＝外圆的面积-内圆的面积”，只是第二种方法用的是简便计算。
师小结：外圆：圆环中较大的圆叫做外圆，外圆半径用R表示；内圆：圆环中较小的圆叫做内圆，内圆半径用r表示；圆环的面积=外圆面积-内圆面积，用字母表示为S环＝πR²-πr²或S环＝π（R²-r²）。（板书）
②错误辨析。
师：有少数同学列出“3.14×（6-2）²=50.24（cm²）”这个算式，是否正确？
让学生讨论、辨析，说说为什么。
【学情预设】学生会说，4是环宽，并不是圆的半径，不能这样计算；也有学生会说6²-2²不等于（6-2）²；也会有学生说，πr²是圆的面积计算公式，圆环没有半径，不能用圆的面积计算公式计算。针对学生的辨析，教师适时引导。
设计意图：例题主要由学生自己完成，最后老师引导学生列出综合算式，使学生领会两种方法的区别，好中选优，展现学生的创新精神。
（6）解决前面的问题。
师：刚上课时老师出示了两个圆环，请大家猜哪个圆环的面积大。现在我们再来看一下。（课件出示）
师：现在你能比较了吗？
学生独立计算，集体汇报。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第66页“做一做”第2题。
学生自主解答，集体评价。
【教学提示】此题是对环形面积公式的简单应用，难度不大，需注意的是题中给出的条件是直径，要先转化再计算。
（2）完成教材第70页“练习十五”第6题。
学生自主解答，集体讨论交流。
【教学提示】此题跟前面学习的圆环有区别，两个圆不是同心圆，而且大圆的直径是隐含条件，对于学生来说，有一定的难度。
师：这个阴影部分的面积是圆环吗？怎么求面积呢？说说你是怎么想的。
【学情预设】引导学生分析得出：这道题是圆环的变式，虽然不是标准的圆环，但是它的面积也是用大圆的面积减去小圆的面积，计算方法与求圆环面积的方法相同。
设计意图：两道题由浅入深，从基础到整式，帮助学生理解圆环面积的计算方法，培养学生具体问题具体分析、认真读题、分析图中信息、灵活解决问题的能力。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第69页“练习十五”第5题。
巩固环形面积的计算。
2.完成教材第70页“练习十五”第7题。
注意计算周长时先分成几个小段，再求和。
本节课是在学生学习了圆的面积的基础上进行教学的，主要教学圆环的面积及应用。对于圆环的认识，学生也已经有了生活经验，教学时从学生熟悉的情境出发，让他们知道圆环的组成，再教学例题。选择有层次性的练习，通过变式、对比练习使学生加深对圆环的认识，培养学生结合实际分析图形、解决问题的能力。整节课教学内容充实、丰富，调动了学生学习的积极性。
第3课时
解决问题
课时内容
教材第67～68页例3及相关习题。
课时
目标
1.结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2.在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。
重点
难点
重点：理解并掌握“外方内圆”和“外圆内方”图形中圆和正方形面积的计算方法，并能准确计算。
难点：对组合图形的特征进行分析。
一、创设情境，导入新课
师：古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅，故有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。虽然这种说法是错误的，却对建筑设计有深远的影响。（课件出示）
师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？
【学情预设】预设1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的。（课件出示）
预设2：都是由圆和正方形这两个图形组成的。
师：我们可以将具有上述特征的两类图形分别概括地称为外方内圆、外圆内方。今天我们就来利用已有的知识研究与圆和正方形有关图形的面积计算，并解决相应的实际问题。（板书课题：解决问题）
设计意图：由传统文化对建筑设计产生的影响导入新课，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情，提高了学生的专注程度。
二、自主探索，互动授新
1.有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
（1）观察图形，呈现问题。
课件出示教材第67页例3。
①阅读与理解。
师：你读到了哪些数学信息？
学生讨论交流。
师：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？先想一想，再和同桌交流自己的观点。
【学情预设】预设1：左图是正方形的面积减去圆的面积；右图是圆的面积减去正方形的面积。
预设2：要求正方形和圆的面积，需要知道两个正方形的边长和圆的半径。
学生思考，尝试解答。
②解答“外方内圆”。
师：谁来说说你是怎么计算左图中正方形和圆之间部分的面积的？
【学情预设】正方形的面积是2×2=4（m²），减去圆的面积3.14×1²=3.14（m²），等于0.86 m²。
师：你是怎么知道正方形的边长的？
根据学生回答展示课件：正方形的边长=圆的直径。
③解答“外圆内方”。
师：在右图中你能得出正方形的边长吗？该如何计算正方形的面积呢？
【学情预设】预设1：可以把右图中的正方形看成两个三角形。
师：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？
【学情预设】底是2 m，高是1 m，相当于圆的直径和半径。
结合学生回答展示课件。
【学情预设】预设2：也可以看成四个三角形。
师：这样一来，每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？
【学情预设】底和高都是1 m，相当于圆的半径。
师：那么，圆与正方形之间部分的面积可以怎样计算？
学生练习，分析订正。
【学情预设】圆的面积是3.14×1²=3.14（m²），减去正方形的面积
12×2×2=2（m²），等于1.14 m²。
设计意图：经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主运用已有的知识解决问题。教学过程中，注重学生自主探索，教师只用几个简单的设问，引出的却是学生自主学习的过程展示。
（2）回顾与反思。
师：如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。
【学情预设】左图：（2r）²－3.14×r²＝4r²－3.14r²＝0.86r²
师：像这样，你能计算出右图中正方形和圆之间部分的面积吗？
学生练习，反馈讲评。
【学情预设】右图：3.14×r²－ ×2＝1.14 r²
师：我们可以把题目中的条件r＝1 m代入上述的两个结果算一算，有什么发现？
【学情预设】和之前计算的结果完全一致。
设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的重要内容。在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的情境，提高学生解决问题的能力和发散思维的能力。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第68页“做一做”。
学生独立完成，指名板演，集体订正。
（2）完成教材第70页“练习十五”第9题。
学生独立完成，汇报交流。
【学情预设】本题中的铜钱也是一个外圆内方的典型素材，只不过正方形不是圆的内接正方形，要引导学生看图，同时结合题中的信息解答。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第70页“练习十五”第10题。
巩固不规则图形面积的计算。
本节课是在学习了圆的面积的基础上进行教学的，通过解决中国建筑设计中经常出现的“外方内圆”和“外圆内方”图案的问题，指导学生综合运用所学的几何知识来解决日常生活中的实际问题。“外圆内方”问题有一定难度，是本节课的难点，由于正方形只有对角线的长，而没有边长，学生不懂得怎样计算正方形的面积，这时候教师没有直接告诉学生计算的方法，而是鼓励学生通过画辅助线将正方形分成两个完全相等的三角形。这样，学生就很容易体会到用画辅助线来解决几何图形问题的方法。
第4课时
练习课
教材第69～72页“练习十五”。
1.进一步巩固圆的面积的计算方法，能根据具体情境，灵活地运用公式进行计算。
2.培养学生具体问题具体分析、结合实际解决问题的能力。
3.探寻周长与面积的关系，加深对周长、面积意义的理解。
一、回顾旧知，复习导入
师：同学们，我们已经学习了圆的面积计算，计算公式是怎样的？（S=πr²）根据公式，要知道哪些信息才能求出圆的面积呢？（半径）如果有的问题中没有直接告诉圆的半径，又该如何求圆的面积呢？
【学情预设】学生可能会说，想办法求出它的半径或半径的平方。（课件出示）
师：小组讨论，如果知道了圆的直径或圆的周长，该怎么求圆的面积？
学生讨论后交流。
【学情预设】
设计意图：通过推理分析，理清半径、直径、周长、面积之间的关系，为灵活运用面积公式打下基础。
二、基础练习，巩固所学
1.完成教材第69页“练习十五”第1题。（课件出示）
学生独立完成，全班集中交流。
2.完成教材第69页“练习十五”第5题。
【学情预设】本题是求圆环面积，一般学生都能正确解答。需要注意的是，这儿给出的都是直径，需要先求出半径。
3.完成教材第71页“练习十五”第11题。
学生独立完成，汇报交流。
【学情预设】此题需要将图形分解，学生在求周长时可能会出错，教师在巡视时需要个别指导。
4. 完成教材第71页“练习十五”第12题。
（1）学生自主解答，点两名同学板演。
（2）展示交流。
【学情预设】学生可能对“占地面积”不是很清楚。引导学生明白两座土楼的占地面积就是两个圆环的面积。
师：求两座土楼的占地面积相差多少该怎么求呢？
【学情预设】 一般学生都知道先分别求出两座土楼的占地面积，再求它们的差。
师：我们来看看这两位同学的解答是否正确。
针对学生的板演进行评价、分析。
设计意图：通过练习，进一步巩固基础知识，培养学生利用圆的面积公式来解决问题的基本能力。
三、能力提升，发散思维
1.完成教材第71页“练习十五”第15题。
（1）启发思考。
师：这块地可以是怎样的图形？
【学情预设】学生可能说任意图形都行。
师：在围成的图形中，什么不变？
【学情预设】周长。
师：可以围成任意的图形，但是要探究怎样围面积最大，我们该怎么办呢？
【学情预设】启发学生围成我们学过的图形——长方形、正方形、平行四边形、圆等等，再算出面积进行比较。
（2）自主探究。
师：我们真的需要拿绳子围吗？该怎么办？
【学情预设】引导学生有序思考，列举部分围成的图形，进行比较。
（3）展示交流，发现规律。
师：你们围成了哪些图形？它们的面积分别是多少？
展示学生围成的多种图形及它们的面积，进行比较。
师小结：周长一定，围出的图形中，圆的面积最大。
本节练习课教学内容较多，涉及了圆面积计算的变式、周长与面积之间的关系等，这些都是新知识，需要学生理解和掌握。通过自主解答、集中交流等数学活动既进一步巩固了圆面积的计算，也培养了学生结合实际情况解决问题的能力。在探究第16题时，由于可以围成的形状很多，有些形状不好计算出面积，还有长方形有多种围法，所以有少数学生对这个规律还不是很认同，这也是一种好的现象，说明学生有深度思考。
4.扇形
扇形
课时内容
教材第73页内容及相关习题。
课时
目标
1.结合生活中的物品，认识扇形，能指出扇形的各部分名称。
2.通过动手操作、实验观察，理解在同一个圆中扇形的大小与圆心角的大小有关。
3.通过自主探究，理解扇形是圆的一部分，能分别计算出以半圆为弧和以四分之一圆为弧的扇形的圆心角度数。
重点
难点
重点：认识弧、圆心角、扇形，并能对它们作出准确判断。
难点：理解在同一个圆中扇形的大小与圆心角的大小有关。
一、创设情境，导入新课
师：老师给大家带来了一些美丽的图片，请大家欣赏一下。（课件出示）
让学生说出图片上物体的名称。
【学情预设】学生依次回答：扇贝、扇形藻、折扇。
师：这些物体的名称中都有一个“扇”字，它们的形状统称为扇形，那么同学们回忆一下，在生活中，还有哪些物体的形状也是扇形？
【学情预设】银杏叶，扇形的盘子……
师：大家见到的扇形真不少，这节课我们就来学习扇形的有关知识。（板书课题：扇形）
设计意图：从生活中熟悉的事物导入，直观形象，学生能很快建立扇形的表象，从而激发学生主动学习的热情，产生探索新知的欲望。
二、自主探索，互动授新
1.认识扇形。
（1）师：观察这些扇形，猜猜这些美丽的扇形可能与我们已经学过的哪些数学知识有关呢？
【学情预设】预设1：扇形可能与角的知识有关，因为每个扇形上都有角。
预设2：扇形可能和圆有关，因为扇形是从圆上剪下来的，圆是由曲线围成的，而扇形有一条边也是曲线。
预设3：扇形会不会和三角形有关呢？因为它们看上去很像。
设计意图：通过猜测，唤起学生已有的知识基础，让学生在脑海中出现模糊的扇形的形象，并巧妙地将扇形和学过的知识联系起来，为新知的探索做好铺垫。
（2）自学新知，验证猜测。
师：同学们的猜测都有些道理，那到底什么是扇形，扇形都是由哪些部分组成的？请同学们自学教材第75页，同桌之间互相说一说什么是扇形，学有余力的同学可以试着画一画。
【学情预设】预设1：我们通过自学了解到扇形有一条弧，而这条弧正好是圆的一部分；而且扇形的两条边就是圆的两条半径，所以我们小组讨论的结果是扇形是圆的一部分，扇形就是由一条弧和经过这条弧的两端的半径所围成的图形。
师：通过汇报，老师捕捉到一个新的知识——弧的概念。
师：我这样画（一个端点在圆上，一个不在圆上，连起来画一条弧线），是否能称作弧呢？
【学情预设】学生讨论，得出在圆上的两个点之间，也就是圆周长上的连线部分才是“弧”。
课件出示弧的概念。
教师指图强调：这段彩色的线叫做“弧”。因为这条弧的两个端点分别是A和B，所以称这条弧为“弧AB”，弧是圆上的一部分。
【学情预设】预设2：我们小组通过自学觉得扇形的知识和角的知识有关。因为扇形是由两条半径和一条弧围成的，两条半径相交就形成了角，因为这个角的顶点在圆心上，所以这个角就叫做圆心角。但它和其他角一样，两条边（也就是两条半径）张开的越大，圆心角的度数就越大。
师：通过汇报，你们又引出圆心角的概念。什么是圆心角？
课件呈现圆心角。
师：两条半径所夹的角∠AOB，它的顶点在哪儿？
【学情预设】顶点在圆心。
师：像这样，顶点在圆心的角叫作圆心角。
师生共同总结：圆心角应该满足两个条件：一是角的顶点在圆心；二是角的两条边是圆的半径。
师：我们通过自学知道了什么是弧，什么是圆心角，那到底什么是扇形？
课件展示扇形。引导学生明白扇形的特点：一、顶点在圆心；二、它的两条边其实就是半径；三、它所对的弧就是圆周长的一部分。
【学情预设】预设3：我们小组通过学习了解到扇形和三角形看上去很像，但它们有本质上的区别。三角形由三条线段围成的，有三个角；而扇形只有一个角，扇形是由两条半径和一条弧围成的，是圆的一部分。
设计意图：通过学生互相反馈交流、教师质疑的活动，既检测了学生的学习成果，又培养了学生的口头表达能力。
（3）分析推理，判断扇形的大小。
师：我们已经认识了扇形，那么扇形的大小与哪些因素有关呢？
【学情预设】有的学生回答扇形的大小与圆心角有关，圆心角越大，扇形就越大，反之，扇形就越小；有的学生回答扇形的大小与半径有关，半径越长，扇形就越大；还有的学生会回答扇形的大小与圆心角和半径都有关。
师：在同一个圆中，怎样判断扇形的大小？
用课件直观演示：在同一个圆中，圆心角变大，扇形变大，圆心角变小，扇形变小。
师：不在同一个圆中，扇形的大小还与什么有关呢？
用课件直观演示：圆心角的大小一样时，半径越长，扇形越大。
师小结：扇形的大小与圆心角和半径都有关系。
（4）认识圆心角为180°的扇形。
师：想一想，以半圆为弧的扇形的圆心角是多少度？
学生自由交流，发表自己的见解。
结合学生的交流，课件出示：以半圆为弧的扇形的圆心角是180°。
教师出示圆形纸片。
师：想一想，用这个圆形纸片折出一个圆心角为180°的扇形，该怎么折？
学生交流自己的想法。（对折）
（5）认识圆心角为90°的扇形。
师：如果要折出一个以 圆为弧的扇形，又该怎么折呢？你怎么得到这个扇形的圆心角的度数的？
【学情预设】通过两次对折，相当于把周角平均分成了4份，其中一份的度数是360°× =90°，即以 圆为弧的扇形的圆心角是90°。
（6）认识扇形是轴对称图形。
师：在折的过程中，你们发现扇形是一个什么图形？
【学情预设】它是一个轴对称图形。
师：有几条对称轴呢？
【学情预设】有的学生受到圆的影响会回答有无数条对称轴，有的学生会回答有1条对称轴。
师小结：扇形是一个只有1条对称轴的轴对称图形。
设计意图：教学此内容加深学生对扇形的全面认识。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第74页“练习十六”第1题。
学生交流，课件呈现答案。
（2）完成教材第74页“练习十六”第2题。
师：这些图形中哪些角是圆心角？为什么？
学生交流，课件呈现答案。
设计意图：由实物到几何图形，加深对扇形的知识的理解。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第74页“练习十六”第3题。
巩固扇形的画法。
2.完成教材第74页“练习十六”第4题。
结合扇形面积的计算来推导出扇环的面积公式。
本课时只要求学生知道“扇形”，能看得懂、听得懂、讲得出，能在图上找出相关对象，知道圆心角和半径都在变化时，扇形大小也在随着变化就可以了。但是在后面的扇形统计图及练习中，都出现了画规定半径和圆心角的扇形，如果仅仅落实本课时目标，就会影响后面的学习。因此结合以后学习的实际情况，本课时还应对扇形的圆心角和面积稍微拓展。
整理和复习
教材第75～75页的相关内容。
1.通过整理和复习使学生进一步认识圆的特征，熟练掌握圆的周长和面积的计算公式。
2.提高学生整理知识的能力，掌握整理知识的方法。
3.能灵活运用圆的周长和面积的有关知识解决生活中的实际问题，培养学生解决实际问题的能力，增强学生对数学的应用意识。
一、小组交流，整理归纳
师：请同学们回忆一下，圆这一单元我们主要学习了哪些知识？
学生自由交流。
【学情预设】学生可能回答出本单元的部分知识，可能有重复或遗漏，也可能是杂乱无序的，需要同学之间的互相补充。
1.学生自主整理。
师：刚才，同学们说的都是圆这一单元的重点内容，但有点乱，怎样让这些知识更有条理呢？这就需要我们对这些知识进行整理。下面就请同学们先看一遍教材，然后根据这些知识要点和它们之间的联系用自己喜欢的方式进行整理。要求整理的结果一定要简洁，清晰，一目了然。
学生整理，教师巡视指导。
设计意图：先让学生根据自己的学习状况自主地对知识点进行归纳、分类、整合，使学过的知识系统化。
2.以小组为单位相互交流，讨论完善整理结果，取长补短，构建新的认知结构。
3.全班交流，找有代表性的小组代表汇报，其他小组进行评价、补充。
设计意图：面向全班同学汇报交流，目的是让不一样的整理方式、不一样的思维模式进行碰撞，让学生在交流中相互矫正、相互补充、相互借鉴，让学生在头脑中形成完整的知识体系。
课件出示本单元的知识网络。
4.梳理内化，细化知识点。
师：你能对照知识结构图为大家介绍每个知识点的相关知识吗？
在教师的引导下，有序地回顾、剖析本单元的每个知识点。
结合学生的交流，课件完善知识结构图。
二、复习巩固，提升认识
1.完成教材第75页“整理和复习”第1 题。（课件出示）
小组交流讨论，怎样找到这两幅图的圆心和直径。
【学情预设】学生会根据正方形、圆的轴对称性来找圆心和直径。左图和右图均是利用正方形两条对角线相交，找到圆心和直径。
师：如果左图中圆的半径是2 cm，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？如果右图正方形的面积是16 cm²，你能求出圆的面积吗？
学生自主解答。
设计意图：为了能让此题囊括更多知识点，教学时在此题完成后又提出了两个问题，借机对外圆内方和外方内圆的知识进行巩固，力求达到一题多练，体现精练的效果。
2.完成教材第75页“整理和复习”第2题。（课件出示）
学生读题，交流解题思路。
【学情预设】第一个问题是已知直径求面积，要先求出半径，再利用公式进行计算；第二个问题要用周长除以每个人需要的宽度来求能坐多少人；第三个问题是求环形的面积。
学生独立解答，组织交流。
设计意图：这是一道综合性较强的习题，结合实际生活巩固圆的面积、周长计算以及圆环的面积计算，进一步提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
3.完成教材第76页“练习十七”第3题。
自主解答，交流反馈。在反馈过程中，教师要问一问采取什么方法取近似值。（去尾法）
三、补充练习，发散思维
1.完成教材第76页“练习十七”第4题。
师：求这块场地的占地面积就是求什么？请画图并解答出来。
学生自主完成，再交流自己的计算方法。
师：这块场地的直径是多少？为什么不是8 m加1 m？
【学情预设】因为路宽1 m，相当于半径大1 m，所以直径为8 m加2 m。
2.完成教材第77页“练习十七”第8题。
师：从图中你读到了哪些数学信息？
【学情预设】有4个相同的扇形，这4个扇形可以组合成一个圆。
此时教师要追问“你怎么知道它们会组合成一个圆”，引导学生将圆心角与圆联系起来。
师：怎么解答呢？
【学情预设】 学生回答这个图形的面积就是用中间正方形的面积加上一个以正方形边长为半径的圆的面积。
学生自主解答，集中反馈评价。
3.完成教材第77页“练习十七”第9 题。
引导学生分析半圆的周长是圆周长的一半加一条直径，两个半圆的周长相当于一个圆的周长加两条直径。根据这个数量关系，先求出直径或半径，再求面积。
【学情预设】这里的数量关系比较复杂，学生理解有一定的难度，可引导学生设未知数，用方程解答。学生计算容易出错，教师要引导学生能简算的进行简算。有的学生可能会根据半圆周长直接推导出圆的半径，这种方法也是可以的，要积极鼓励。
本堂课对圆这个单元的知识进行了系统的整理和复习。在这个过程中，主要是对圆的认识、圆的周长和面积的计算方法进行了回顾梳理。其中，对周长和面积的区别进行了着重复习，以进一步地让学生学会区分这两个概念，并通过相应的练习加以强化。相应配套的练习题的使用，与课堂教学的每个步骤环环相扣，既复习，又练习，再提高，使后进生能牢固掌握基础知识，优等生能再度提高，使复习与练习有机结合，从而真正提高复习课的效率。
☆ 确定起跑线
课时内容
教材第78～79页内容。
课时准备
1.收集有关跑道尺寸的资料或实地测量。
2.课件。
课时
目标
1.通过该活动使学生了解田径场跑道的结构，学会确定起跑线的方法。
2.使学生经历观察、计算、推理等数学活动过程，发展综合运用数学知识解决实际问题的能力，体会抽象、推理等基本的数学思想。
3.通过活动让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
重点
难点
重点：通过圆的周长计算公式，了解田径场跑道的结构，能根据起跑线设定原理正确计算起跑线的位置。
难点：综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设定与什么有关。
一、创设情境，导入新课
师：同学们，你们参加过田径比赛吗？下面是100米比赛和400米比赛的场面。（课件出示）
师：看了两个比赛的场面，在起跑线上你发现了什么情况？
组织学生交流。
【学情预设】预设1：100米跑运动员站在同一条起跑线上，而400米跑运动员站在不同的起跑线上。
预设2：外面跑道的运动员站在前面，里面跑道的运动员站在后面，这样公平吗？
预设3：400米跑的起跑线位置是怎样安排的？
师：今天，我们就带着这些问题走进运动场，用我们学过的知识来研究、解决这些问题，了解比赛的时候各跑道的起跑线是如何确定的。（板书：确定起跑线）
设计意图：引导学生观察不同的起跑场景，比较不同点，从而引入需要研究的数学问题。
二、自主探索，互动授新
1.研究起跑线的位置。
课件出示完整跑道图。
（1）观察思考，找出问题关键。
师：这是一张400米正规跑道图，观察跑道图，每一条跑道具体是由哪几部分组成的？
【学情预设】 2条直道和2条弯道。
师：每条跑道一圈的长度相等吗？差别在哪里呢？
【学情预设】 2条直道相等，差别在于2条弯道。
师：内外跑道的差异是怎样形成的？
【学情预设】实际上每两条跑道之间的长度差别就是2条弯道长度的差别。
师：2条弯道合起来就是1个整圆。
学生充分交流得出结论：①跑道一圈长度=2条直道长度+一个圆的周长；
②内外跑道的长度不一样是因为圆的周长不一样。
（2）小组讨论：怎样找出相邻两个跑道的长度之差？
【学情预设】预设1：分别把每条跑道的长度算出来，也就是计算2条直道长度与一个圆周长的总和，再相减，就可以知道相邻两条跑道的长度之差。
预设2：因为各跑道的直道都一样长，所以各跑道的长度之差与直道无关，只要计算出各圆的周长，再算出相邻两圆的周长相差多少米，就是相邻跑道的长度之差。
设计意图：通过观察分析，使学生明白问题的本质和解决问题的方法，培养学生分析问题的能力。
（3）计算验证，解决问题。
师：计算圆的周长要知道什么？
【学情预设】直径。
师：第一跑道的直径为72.6米，第二跑道是多少？第三跑道呢？（让学生选择自己喜欢的方法进行计算。）
【学情预设】预设1：计算每一条跑道的长度。
预设2：弯道长度相减。
75.1×3.14159-72.6×3.14159≈7.85（m）；
77.6×3.14159-75.1×3.14159≈7.85（m）；
……
预设3：先求弯道直径之差，再计算长度之差。
（75.1－72.6）×3.14159≈7.85（m）；
（77.6－75.1）×3.14159≈7.85（m）；
……
师：刚才大家通过计算已经知道了400米跑道相邻两个跑道长度大约相差7.85米，也就是相邻跑道的起跑线应该相差7.85米。哪一种方法更快、更简便呢？
【学情预设】第三种方法更简便。
师：75.1－72.6表示什么？
【学情预设】跑道宽度的2倍，也就是两个圆的直径之差。
师：如果我们在计算圆的周长时直接用π来表示，看看有什么发现？
（72.6＋1.25×2－72.6）π＝1.25×2×π；
（75.1＋1.25×2－75.1）π＝1.25×2×π；
……
【学情预设】 每相邻两条跑道起跑线相差的长度都可以用“跑道宽×2×π”来计算。
师：从这里可以看出，起跑线的确定与什么关系最为密切？
【学情预设】与跑道的宽度关系最为密切。
师小结：同学们经过努力终于找到了确定起跑线的秘密！只要知道了跑道的宽度，就能确定起跑线的位置。相邻跑道起跑线相差的长度都是“跑道宽×2×π”。
设计意图：通过不同的方式，计算相邻跑道的长度差，不断对探究方法进行优化，接近造成相邻跑道长度差的根源，让学生明白相邻跑道长度差和跑道宽度的关系。
2.拓展延伸，强化新知。
（1）问题拓展。
师：校园运动会的跑道宽比成人比赛的跑道宽要窄些，400米的跑步比赛，跑道宽为1米，你能帮裁判计算出相邻两条跑道的起跑线应该依次提前多少米吗？如果跑道宽是1.2米呢？
【学情预设】跑道是由两个弯道和两个直道组成。如果跑道宽为1 m，相邻起跑线相差2π m；如果跑道宽是1.2 m，相邻起跑线相差2.4π m。
（2）巩固提高。
师：如果在400 m的跑道上进行200 m跑步比赛，跑道宽还是1.25 m，相邻起跑线的差又该如何确定呢？
学生讨论。
【学情预设】根据前面的规律，学生知道200 m是400 m的一半，由一个弯道和一个直道组成，跑道宽1.25 m，所以相邻起跑线相差1.25π m；可能有的学生会想到7.85÷2＝3.925（m）。
设计意图：促进学生举一反三，设置不同难度的问题，让学生用最简洁的方法计算起跑线应该依次提前多少米，尤其是200米比赛，只有一个弯道，也就是只相差圆周长的一半。
师：如果一共有八条跑道，那么请你利用学过的知识，算一算400米比赛中，第三道起跑线比第一道起跑线提前了多少米？第五道与第二道呢？第八道与第一道呢？你能得出什么结论？
师小结：不相邻的跑道起跑线之间的差距的算法：相隔几道×跑道宽×2×π。
3.课外扩展：了解黄金跑道。
师：同学们今天学到的知识可真不少，其实，在田径运动场上还有黄金跑道之分。让我们一起来看一看。（课件出示）
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：知道了跑道的宽度，就能确定起跑线的位置。400米比赛中，相邻跑道起跑线相差的长度=跑道宽×2×π。
确定起跑线是一节综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过这个活动一方面让学生了解田径跑道结构，学会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。确定起跑线密切结合数学学科课内学习内容，从多个方面培养学生的数学能力，有效地提高了学生的数学素养。教学时，引导学生从数学角度去发现并解决问题，增强了学生解决问题的能力和综合应用的意识，通过自主探索、计算推理、合作学习、交流辩论、互相启发，把相邻两条跑道的长度差的计算方法从繁杂化到简洁，最后得出规律，让学生享受成功的喜悦。
第五单元《圆》
本单元的主要内容有：圆的认识、圆的周长、圆的面积、扇形。
圆是小学阶段认识的最后一种平面图形。本单元内容是在学生已经初步认识圆和一些直线图形，知道周长和面积的意义，会计算部分图形的周长和面积的基础上进行教学的。日常生活中圆形的物体处处可见，应用非常广泛，学生接触的也很多，这为学生系统地认识圆奠定了认知基础。
从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一种跨越。因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还需要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和解决问题的能力。教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
教学目标
1.使学生认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。
2.使学生会利用直尺和圆规，在教师指导下设计一些与圆有关的图案
3.使学生通过实践操作，理解圆周率的意义，理解和掌握圆的周长计算公式，并解决一些相应的实际问题。
4.引导学生探索并掌握圆的面积计算公式，并解决一些简单的实际问题。
5.使学生认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。
6.使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，培养数学活动经验，在解决一些与圆有关的数学问题的过程中，提高问题解决的能力。
7.使学生在推导圆的周长与面积的计算公式过程中体会和掌握转化、极限等数学思想。
8.通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。
课时安排
教学建议
1.加强学生动手操作，自主探索的能力。
实际教学时，教师应注意多让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围、拼一拼等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探索圆的周长和面积计算公式。
2.注重引导学生体会和掌握相关的数学思想方法。
本单元的学习内容蕴含了多种数学思想方法，如求圆的周长，蕴含了“化曲为直”的转化思想。探究圆的面积计算方法，蕴含了转化思想、极限思想、等积变换思想。
3.合理用好生活素材，凸显其教学价值。
因为圆在生活中有着广泛应用，所以研究圆的时候，要合理用好生活素材，把这些素材作为引发学生探究、促进学生思考、加深学生感悟的有效载体。
1.圆的认识
第1课时
圆的认识
课时内容
教材第55～57页内容及相关习题。
课时
目标
1.使学生认识圆，掌握圆的特征；了解圆的各部分名称。
2.会用字母表示圆心、半径、直径；理解并掌握在同圆（或等圆）中直径与半径的关系。
3.能正确熟练地掌握用圆规画圆的方法。
4.培养学生动手操作、主动探究、自主发现、交流合作的能力。
重点
难点
重点：通过动手操作，理解直径与半径的关系，认识圆的特征。
难点：掌握画圆的方法，认识圆的特征。
一、创设情境，导入新课
师：对于圆，同学们一定不会感到陌生吧？生活中，你们在哪儿见到过圆形？
【学情预设】钟面上有圆，轮胎上有圆，硬币是圆的，有些商标也是圆……
教师根据学生回答出示课件。
师：看来圆在我们的生活中真是无处不在。同学们，古希腊一位数学家曾经说过：“在一切平面图形中，圆是最美丽的！”因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇。今天这节课，就让我们一起来探索圆的奥秘。（板书课题：圆的认识）
设计意图：采用直接切入主题的方式，从学生熟悉的生活情境入手，让学生感受到圆与生活紧密相连，创设出特定的问题情境，激发起学生的学习欲望。
二、自主探索，互动授新
1.自主画圆，认识圆各部分的名称。
（1）借助模具画圆。
师：你们能想办法在纸上画一个圆吗？
学生自主画圆，教师巡视。
【学情预设】学生可能会用身边的圆形物体，如茶杯盖、三角尺上的圆洞画圆，也可能用圆规画圆。
师：同学们都画好了吗？谁能展示一下自己画的圆，并说说你是怎样画的？
学生举手发言，展示自己画出的圆，并介绍画圆的方法，教师及时给予肯定。
师：我想画一个更大或更小的圆，用这些实物可以吗？
【学情预设】学生可以体验到实物只能画出固定大小的圆，不能随意变化。由于学生有一些经验，会有学生说出，可以用圆规画出任意大小的圆。
师：我们原来都是用直尺、三角尺画图形，这次为什么不用这些学具画圆？
【学情预设】学生可能会说，“因为三角尺、直尺画出的线都是直的，而圆的边是弯曲的”，也可能会说用直尺、三角尺无法画出圆。
设计意图：充分利用学生的生活经验，感受圆的“边线”是“弯”的，体会圆的特征。
师小结：圆是由曲线围成的封闭平面图形。（板书）
（2）用圆规画圆，体验画法。
师：刚才有同学提到了圆规，确实，画圆要用到专门的工具——圆规。
教师介绍圆规。（课件出示）
教师出示圆规，配合课件演示介绍圆规各部分的名称及使用方法。
师：刚才已经有少数同学用圆规画出了一个圆，现在请同学们都拿出圆规，在纸上画一个圆。边画边想：你是怎样画的？
学生尝试用圆规画圆。
（3）展示交流，规范画圆的方法。
师：大家都画好了吗？谁来说一说，你是怎么用圆规画圆的？
先展示学生画得比较规范的圆，交流画法。
结合学生的交流，归纳用圆规画圆的方法：①把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；②把有针尖的一只脚固定在一点上；③把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
再展示画得不是很规范的圆，辨析讨论，明确画圆时要注意的地方。如：带有针尖的脚不能移动；两脚之间的距离不能改变。
教师小结画圆的步骤：①定圆心；②定半径；③画圆。（板书）
教师在黑板上用圆规示范画圆。
（4）结合画圆，认识圆各部分的名称。
①认识圆心。
展示学生画出的几个不同的圆。
师：这些都是同学们画出的圆，仔细观察，都是画圆，为什么会画到不同的纸上？
【学情预设】引导学生发现，圆规的针尖在不同的地方，圆就画在不同的地方。
师小结：针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。圆心决定圆的位置。（板书：圆心O决定圆的位置。）
②认识半径和直径。
师：继续观察，都是用圆规画出的圆，为什么这些圆大小会不同呢？
【学情预设】启发学生发现，两脚间的距离不同，画出的圆的大小就不同。
师小结：圆规两个脚之间的距离就是半径的长度，一般用字母r表示。半径决定圆的大小。（板书：半径r决定圆的大小。）
师：这两条在同一直线上的半径合起来是一条直径，一般用字母d表示。
③完善纠正，在圆上标出各部分名称。
师：请刚才画得不规范的同学再画一个规范的圆，都在自己画好的圆上标出圆心、半径、直径。
学生在所画的圆上标出圆心、半径和直径，教师巡视，发现错误及时纠正。
2.动手操作，探究直径与半径的关系。
（1）进一步认识半径。
师：在你的学具圆上任意找一点，连接圆心和这一点得到一条线段，你还能画出这样的线段吗？再画出几条，用直尺量一量这些线段，你发现了什么？
【学情预设】这些线段的长度都相等。
师：像这样的线段我们把它叫做半径。你能用自己的话说一说什么叫半径吗？
学生回答后出示概念及字母表示方法。
师：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母r表示。（边示范边讲解）
师：请同学们仔细观察，想一想半径具备哪些特征。在同一个圆中，可以画出几条半径？所有的半径都相等吗？你是怎样证明的？
学生讨论后，汇报交流。
【学情预设】半径是一条线段，它的一个端点在圆心，另一个端点在圆上。在同一个圆中，可以画出无数条半径，所有的半径都相等，可以用尺量，也可以把圆对折。
师小结：半径是一端在圆心，另一端在圆上的线段；在同一个圆中有无数条半径，所有的半径都相等。
（2）进一步认识直径。
师：拿出你的圆形学具，先对折，再用直尺沿着对折后的一条折痕画出一条线段，用同样的方法再画出几条，用直尺量一量这些线段，你发现了什么？
【学情预设】这些线段的长度都相等。
师：像这样的线段我们把它叫做直径。你能用自己的话说一说什么是直径吗？
学生回答后出示概念及字母表示方法。
师：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母d表示。（边示范边讲解）
师：请同学们仔细观察，想一想直径具备哪些特征。在同一个圆中，可以画出几条直径？所有的直径都相等吗？
学生讨论后，全班汇报交流。
【学情预设】直径是一条线段，它的两个端点都在圆上，而且通过圆心。在同一个圆中，可以画出无数条直径，所有的直径都相等。
师小结：直径通过圆心，并两端都在圆上；在同一个圆中有无数条直径，所有的直径都相等。
（3）探索在同圆或等圆中直径和半径的关系。
学生用直尺独立量出自己手中圆形学具的直径和半径的长度，然后讨论测量结果，找出直径与半径之间的关系。
师生共同小结：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长
度是直径的。。用字母表示为 d =2r或r = 。
（4）理解直径是圆内最长的线段。
师：请同学们拿出尺子，量一量圆内的线段，看看直径有什么特点。
【学情预设】学生可能会说到直径是半径的2倍，此时教师要引导学生知道，圆内的线段，有些是经过圆心的，还有一些是不经过圆心的。经过学生交流，教师引导得出：同一圆内，直径是圆里面最长的线段。
设计意图：让学生经历动手操作、观察发现的过程，在操作、观察中认识圆的各部分名称，发现圆的特征，理解和掌握在同圆或等圆中直径与半径之间的关系，体验自主感悟新知的过程。
（5）体会圆的美的真正内涵。
师：我们刚才学习了圆，知道圆的半径和直径都有无数条，而且所有的半径都相等，所有的直径都相等。试想一下，在同一个圆里，如果它们的半径不是都相等的，而是有的长，有的短，那你觉得最后连起来的还是一个圆吗？还可能光滑饱满匀称吗？想一想是什么原因，使圆看起来那样光滑饱满匀称？
【学情预设】所有的半径都相等，所有的直径都相等。
3.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第56页“做一做”第1题。
先尝试解答，再全班讨论交流。
设计意图：要求找到一个画在纸上的圆的圆心，需要利用圆的特征——直径是圆里面最长的线段，通过反复测量、调整，方能找到圆心。如果把它剪下来，通过两次对折，交点即是圆心。
（2）完成教材第56页“做一做”第2题。
学生自主解答，展示交流。
（3）完成教材第58页“练习十三”第2题。
先在教材上填空，再交流。交流时让学生说说是怎样想的。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第58页“练习十三”第1题。
巩固用圆规画圆的方法。
2.完成教材第58页“练习十三”第4题。
提高动手实践和解决问题的能力。
新课标指出：“学生是数学学习的主人”，教师要“向学生提供充分从事数学活动的机会”，并指出：“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”。本节课教学通过问题引领、动手操作、合作交流组织教学，使整节课在思考中充满了“做数学”的过程，学生的主体性得到充分展现。本课教学设计还着力利用信息技术让学生经历体验的过程，将抽象的数学知识形象化，引导学生积极主动地参与学习过程，培养学生的数学意识和探究能力。对于六年级上学期的学生，他们开始对“有用”的数学更感兴趣。此时，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排更应当关注数学在学生的学习和生活中的应用，使他们感觉到数学就在自己的身边，而且学数学是有用的、必要的，从而愿意并且想学数学。对于本节课教学的圆，学生在生活中有大量的接触，有了一定的知识、经验基础，同时学生具备了很强的动手操作能力，有较强的交流与表达的愿望，使课堂教学引导学生主动探究，开展小组合作学习，培养创新意识和实践能力成为可能。
第2课时
用圆设计图案
课时内容
教材第59页内容及相关习题。
课时
目标
1.认识到圆是轴对称图形，且对称轴有无数条。
2.利用前面所学的对称知识，用圆设计图案。
3.培养学生动手操作能力，提高观察能力和欣赏能力。
重点
难点
重点：能准确地找出学过的平面图形的对称轴，能根据对称轴画出与给定图形对称的图形。
难点：画出由多个圆组成的组合图形的对称轴，以圆为基本图形设计美丽的图案。
一、创设情境，导入新课
师：我们已经知道圆是轴对称图形，生活中有很多美丽的图案由圆构成，让我们一起来看一个美丽的图案。（课件出示）
师：构成这些图案的基本图形都是圆，这节课我们一起来学习如何利用圆设计精美的图案。（板书课题：用圆设计图案）
设计意图：呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。
二、自主探索，互动授新
1.认识对称图形。
（1）认识圆的对称性。
①认识圆的对称轴。
师：圆是轴对称图形，那么圆的对称轴在哪里呢？可以拿出圆片折一折。
学生讨论，师生归纳：直径所在的直线都是圆的对称轴。
板书：圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。
②探究圆的对称轴的数量。
师：先折一折，再想一想，圆有多少条对称轴呢？
【学情预设】 学生会根据圆有无数条直径以及直径所在的直线都是圆的对称轴推理知道圆有无数条对称轴。
板书：圆有无数条对称轴。
师：对称轴要用虚线表示。
（2）认识平面轴对称图形及其对称轴。
课件出示教材第59页“练习十三”第6题。
结合学生的交流，课件展示长方形、正方形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形，并出示它们的对称轴。
（3）画组合图形的对称轴。
课件出示教材第59页“练习十三”第8题。
师：你能分别画出几条对称轴呢？
①学生在教材上画对称轴。
②展示学生的画法，进行分析判断。
③课件展示完整的画法。
2.用圆设计图案。
课件出示图案。
（1）分析图案。
师：这个图案就是充分利用圆的对称性设计出来的。仔细观察这个图案，它是由哪些部分组成的？
【学情预设】 引导学生观察图案特征，发现：四个“花瓣”实际上是由四个半圆组成的。
师：思考一下四个半圆的圆心在哪里？半径是多少？
【学情预设】 引导学生通过画辅助线帮助分析，确定四个半圆的圆心在大圆里最大的正方形的边长上，半径是正方形边长的一半。
设计意图：引导学生对图案进行分析，培养学生对图形的观察和分析能力，提升空间观念。
（2）学生尝试画图案。
师：我们要画这个图案的话，要先确定什么？
引导学生知道，画图案先要确定某个圆或半圆的圆心和半径。
展示学生作品，交流归纳画法。
（3）规范画法。
根据学生的交流，整理画图的步骤。
师：通过观察图案，我们发现要想确定圆心的位置和半径的大小，需要找到大圆里最大的正方形。正方形的边长就是小圆的直径。正方形各边的中点就是四个半圆的圆心位置。
以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）（课件出示23-27页）
……
选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因，及时订正问题。带领学生按步骤再画一遍，边画边分析每一步隐含的数学原理。
设计意图：引导学生观察图案特征，尝试确定圆心和半径的大小，适当的时候给予直接的帮助，最后通过对错误的讨论确定半圆的半径和圆心的重要性。
（4）归纳画图案的方法。
师：刚才我们用圆规画出了一个图案，大家想一想，画一个图案应该经历哪几个步骤？
此处学生容易将画上一个图案的步骤与画一般图案的步骤混淆，教师进行提示：上面所画的是具体的图案，画一般的图案我们要经历哪几个步骤？
【学情预设】 引导学生知道：
第一步，分解图案，看图案包括哪几个部分。
第二步，分析图案，看图案中每部分是怎么来的。
第三步，确定图案的具体画法，确定画图的顺序。
第四步，画图。
第五步，涂色。（板书）
（5）独立设计图案。
①小组合作设计一个喜欢的图案，然后给自己的作品涂色并适当修饰。
②教师在学生设计过程中巡视，发现问题立即给予帮助。
③交流展示，作品欣赏。
设计意图：由于课堂时间所限，学生完成任务可能有困难，通过小组合作可以提高学习效率。通过作品展示拓宽学生的思维，培养学生的创造性。
3.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第59页“练习十三”第7题。
学生完成后，集中交流评价。
（2）完成教材第59页“练习十三”第10题。
师：请大家看教材第59页第10题，任选一个图案，用圆规和三角尺画一画、涂一涂。
学生根据选择的图案，交流自己画的过程。
【学情预设】 第一个图案，圆心是正方形四边的中点，半径是正方形边长的一半；第二个图案，圆心是4条半径的中点，且这4条半径恰好组成2条互相垂直的直径，小圆半径是大圆半径的一半；第三、四个图案基本步骤同第二个图案，擦去辅助线条涂色即可。
设计意图：教材第59页下面让学生试一试的两个图案比较复杂，所以在此选用相对简单的“练习十三”中的第10题，让学生进一步巩固观察图案、分析图案、再画图案的一般过程。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：利用圆规和直尺可以设计出许多漂亮的图案，作图的关键是确定圆心和半径。有时为了设计方便，还可先添加一些辅助线。
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第59页下面的试一试。
小组合作完成，集体交流画图的思路。
用圆设计图案
圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴。
用圆规和直尺绘制图案的步骤及方法：
第一步，分解图案，看图案包括哪几个部分。
第二步，分析图案，看图案中每部分是怎么来的。
第三步，确定图案的具体画法，确定画图的顺序。
第四步，画图。
第五步，涂色。
本课时引导学生从日常生活中的轴对称图形入手，先重温了有关轴对称图形的知识，进而让学生能够更深入地理解圆是轴对称图形。接着以此为切入点，让学生利用圆的这一特性来设计图案。整个教学过程都十分注重情景互动，让学生经历由特殊到一般，再到特殊的过程，非常巧妙地抓住了学生的心理。不足的是，在引导学生分解图案、确定画的顺序时，花费的时间过多，导致有些图案放在课后完成。
2.圆的周长
第1课时
圆的周长（1）
课时内容
教材第60～61页内容及相关习题。
课时
目标
1.使学生认识圆的周长的意义，能用滚动、绕线等方法测量圆的周长，在实践活动中探索并发现圆的周长与直径的关系。
2.使学生初步掌握圆周率的意义和近似值，理解和掌握圆的周长计算公式，能正确地计算圆的周长。
3.培养学生的问题意识和应用意识，发展学生的空间观念，培养学生的抽象概括能力。
4.让学生了解祖冲之在圆周率研究方面所作出的贡献，增强民族自豪感，激发学生的探索精神。
重点
难点
重点：圆的周长计算公式的推导，能利用公式正确计算圆的周长。
难点：理解圆周率的意义。
一、复习旧知，迁移导入
师：同学们，回想一下之前我们都学习过哪些平面图形？
【学情预设】长方形 、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆。
师：长方形的周长等于什么呢？正方形呢？
【学情预设】长方形的周长=（长+宽）×2 ，正方形的周长=边长×4。
师：那么圆的周长又应该怎样计算呢？这节课我们就一起来学习一下圆的周长。[板书课题：圆的周长（1）]
设计意图：从学生熟悉的图形入手，引起学生的学习兴趣。
二、自主探索，互动授新
1.理解圆周长的意义。
（1）课件出示教材第60页的情境图。
师：王叔叔家的圆桌和菜板都有点开裂，需要在它们的边缘箍上一圈铁皮，分别需要多长的铁皮呢？思考一下，铁皮的长度与圆有什么关系？
教师用教具模仿把铁皮绕在菜板上。
【学情预设】 铁皮的长度等于围成圆的曲线的长度，那么围成圆的曲线的长度也就是圆的周长。
师：请同学们拿出课前准备好的圆形物体，先想一想，再向你的同桌比划一下它的周长在哪里。
设计意图：初步感知圆的周长就是圆一周的曲线长度，增强了学生对圆周长的感性认识，并形象理解圆周长的意义。
（2）课件演示圆的一周。
板书：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
2.动手操作，探究圆周长的计算方法。
（1）尝试测量圆的周长。
师：现在请同学们以小组为单位，想办法量出这个圆形物体的周长。（每个小组量一个圆形物体）
学生讨论并动手测量，教师巡视，必要时给予帮助。
师：谁愿意代表你们小组到讲台上来向大家展示一下你们的测量方法？
小组派一个代表上台动手操作，同时向大家讲解。
【学情预设】 在圆形物体上找一个起点，然后把绳子的一端对准起点绕圆一周，在绳子对接处作个标记，再把绳子拉直。量出绳子从一端到标记的这段绳子的长度就是这个圆形物体的周长。
教师提醒学生注意绕的时候要尽量贴合一些，这样测量结果会更准确一些。
师：这种用绳子辅助测量的方法叫绳绕法，下面请同学们一起来看一下用绳绕法测量圆形物体的周长的动画演示过程。（课件出示）
师：其他小组还有没有别的测量方法？可以到讲台上来展示一下。
小组派一个代表上台动手操作，同时向大家讲解。
【学情预设】 先在圆形物体的边缘作一个标记作为起点并对准直尺的“0刻度线，然后把圆形物体在直尺上滚动一周（也就是作的标记又一次对准直尺的刻度时），标记指向几，圆的周长就是几。
教师提醒学生注意滚动时不要滑动。
师：这种方法叫滚动法，下面请同学们一起来看一下用滚动法测量圆形物体的周长的动画演示过程。（课件出示）
师：请同学们想一想，这两种方法有什么相同点？
【学情预设】都是把围成的圆的曲线的长度转化成了一条线段的长度。
师：这就是数学中经常用到的“化曲为直”的方法，这是一种转化的思想方法。再想一想，你们用这两种方法测量圆的周长时遇到什么问题了吗？
师：看一下这是什么？同学们能用刚才的方法测量出它的周长吗？
【学情预设】不能。
师：现实生活中到处都存在着大大小小的圆，所以用这两种方法测量圆的周长都有一定的局限性，这就需要我们去探索一种更简单、更科学的求圆周长的方法。
设计意图：让学生明白 “绳绕法”“滚动法” 是有局限性的，引发其探索“计算公式”的积极性、必要性，为深入研究圆周长的计算问题作好了心理铺垫。
师：现在老师手里有大、小两个圆片，你认为哪个圆的周大更长？为什么？你是怎么知道的？
【学情预设】学生有测量圆的周长的经验，知道大圆的周长长，因为这个圆大。
师：所以圆的周长与圆的大小有关，而圆的大小是由圆的什么决定的？
【学情预设】半径或直径。
师：这两个圆相比较而言，大圆的直径比较长，它的周长就比较长，小圆的直径比较短，它的周长就比较短，由此可见圆的周长与圆的什么有关呢？（师拿着大小两个圆片比划）
【学情预设】半径或直径。
设计意图：引发学生探索圆的周长与直径关系的兴趣。
（2）探究圆周长与直径的关系。
师：圆的周长跟直径是不是存在着固定的倍数关系呢？下面我们来做一个实验。请大家拿出提前准备好的圆形物品，测量出它的周长，并计算同一物品的周长和直径的比值，得数保留两位小数，将结果记录在表格中。
学生先分组进行测量、计算、填表。根据学生的汇报，教师用课件出示一组结果。（课件出示）
师：请同学们看大屏幕，从这些测量的和计算的数据中你发现了什么？周长与直径的比值有什么特点？
【学情预设】 一般情况下，学生会得到周长与直径的比值是三点几，但由于测量有些误差，其结果有所不同，教学时要正视问题，可让学生通过讨论来统一认识。
设计意图：让学生通过实践活动自己探索并总结规律。
（3）揭示圆周率的概念。
师：原来一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，其实在很早以前就有人研究了周长和直径的关系，发现任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。（板书）
教师解释“任意”也就是任何一个，“固定”就是不变的。
师：既然圆周率是一个固定的数，那么大圆的圆周率和小圆的圆周率有什么关系？
【学情预设】相等。
师：圆周率用字母π表示。它是一个无限不循环小数。π＝3. 1415926535…，但在实际应用中常常只取它的近似值，π≈3.14。
（4）了解圆周率的历史。
课件播放圆周率的发展史。
师：听完圆周率的发展史，你想说些什么？
设计意图：让学生了解祖冲之在求圆周率中作出的贡献，增强民族自豪感。
（5）推导圆周长的计算公式。
师：根据刚才的探索，用字母C表示圆的周长，用d表示直径，用r表示半径，你能用字母表示出圆周长的计算公式吗？
小组交流，师生推导圆周长的计算公式：C=πd，C=2πr。（板书）
3.巩固练习，强化新知。
完成教材第62页“做一做”第1题。
学生独立解答后全班交流展示。
设计意图：让学生巩固圆周长计算公式。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第63页“练习十四”第7题。
巩固对π值的记忆和圆的周长计算公式的应用。
2.完成教材第64页“练习十四”第10题。
先将周长分成几段，分别求出每一段的长，再求和。
圆的周长（1）
圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
测量方法：滚动法、绳绕法→化曲为直
任意一个圆的周长和直径的比值都是一个固定不变的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数。圆周率一般取3.14。
圆的周长计算公式：C=πd或 C= 2πr
这节课通过创设生活情境，让学生感受生活中和圆有关的问题，然后通过观察得出圆的周长的概念。“圆的周长与直径有关，究竟有什么关系呢？”一语激起千层浪，学生在教师的启发下动手实践，完成实验报告单，探索出圆的周长是直径的3倍多一些。让学生经历猜想、实验、验证、概括等数学学习过程，不仅有利于掌握数学知识，而且有利于培养学生探索科学知识的意识和能力。总之，本节课的设计从学生的实际出发，通过测量圆的周长、探讨圆的周长与直径的关系、推导圆的周长的计算公式等活动，让学生在亲身经历数学知识的探究过程中发现知识、理解知识、应用知识。
第2课时
圆的周长（2）
课时内容
教材第62页例1及相关习题。
课时
目标
1.通过实例，巩固圆的周长公式，使学生学会根据圆的周长公式解决问题。
2.能熟练解决日常生活中和圆的周长相关的问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑推理能力以及初步掌握变换和转化的方法。
重点
难点
重点：灵活应用圆的周长公式解决问题。
难点：根据实际情况灵活运用公式解决问题。
一、复习旧知，迁移导入
师：上节课我们学习了圆的周长公式，请大家计算下面几个圆的周长。（课件出示）
学生独立完成，全班汇报交流。
设计意图：通过求圆的周长，加深对圆的周长计算公式的应用。
师：课外让大家观察自行车车轮转动一周所走的距离跟车轮的关系，谁来说一说自己的想法？
【学情预设】 车轮转动一周所走的距离其实就是车轮（圆）的周长，它跟车轮的半径有关系，半径越大走的越远。
师：今天我们一起来学习利用圆周长的知识解决实际问题。［板书课题：圆的周长（2）］
二、自主探索，互动授新
1.圆的周长计算公式的应用。
（1）联系实际，解决问题。
课件出示教材第62页例1。
师：这辆自行车轮子转1圈，大约可以走多远？实际就是求什么？
【学情预设】就是求半径为33厘米的圆的周长。
师：小明家离学校1 km，骑车从家到学校，轮子大约转了多少圈？又是求什么？
【学情预设】求轮子大约转多少圈就是求1 km里面有多少个周长。
学生独立完成后，教师指名学生板演，汇报交流。
【学情预设】C=2πr=2×3.14×33=207.24（cm）≈2（m）
1 km=1000 m 1000÷2=500（圈）（板书）
师：如果告诉我们的不是轮子的半径，而是直径，又该怎么解答呢？不需要计算，说说计算方法。
【学情预设】周长=圆周率×直径。
设计意图：通过解决这个问题，让学生了解数学与生活的联系，提高学生运用圆的知识解决实际生活中问题的能力。
（2）周长公式的变换。
师：前面我们运用圆的周长公式计算出了圆的周长。如果已知圆的周长，要求圆的直径或半径，又该怎么求呢？
学生思考后，交流想法。根据学生的交流，教师板书。
板书：
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第62页“做一做”第2题。
学生独立完成，交流结果。
【学情预设】
（2）完成教材第63页“练习十四”第2题。
学生独立完成，全班交流。
师：要求圆的周长，需要知道圆的直径或半径，这道题中圆的直径或半径是多少呢？
【学情预设】直径=步长×步数。
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
（3）完成教材第63页“练习十四”第3题。
学生自主解答。
师：你是怎样解答的？怎样想的？
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
（4）完成教材第63页“练习十四”第4题。
先让学生独立思考，再组织学生进行交流。
引导学生明确：钟面一圈是60分钟，分针经过30分钟、45分钟所走的路程分别是转动一周所走路程的几分之几。也可以让学生想：30分钟、45分钟分别是60分钟的几分之几，就表示针尖所走的路程是一周的几分之几。
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
（5）完成教材第63页“练习十四”第5题。
引导学生理解题意，让学生明确：求“要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈”就是求圆周长的3倍是多少。
学生独立解决问题，并组织全班交流。
在解决第二个问题时，可以引导学生回忆以前所学的“植树问题”，让学生明白，在一个封闭的圆上分段，分隔点的数目与分成的段数相等，从而解决这个问题。
结合学生的汇报，课件呈现完整答案。
设计意图：在读图的过程中培养学生用变化的眼光观察事物的习惯。培养学生的观察分析能力，初步感知面积和周长的区别。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：本节课我们利用圆的周长计算公式来解决实际问题，加深了对圆的周长公式的理解。与圆的周长相关的计算无非是对两个公式的正反两方面的运用，解题时关键要理解题意，可以通过画草图来理清题目中已知什么，要求的是什么，从而找到解题方法。
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第63页“练习十四”第6题。
巩固用圆的周长公式解决实际问题。
2.完成教材第64页“练习十四”第9题。
注意木条的长度包括两部分：（1）半圆的弧长；（2）正方形的周长。
本节课在掌握了圆的周长计算公式后，让学生自己推导出已知圆的周长求圆的半径或直径的公式。这一部分内容可让学生自主练习，充分发挥学生的主体性，巩固已经学过的知识。在反馈练习中，把教师的指导和学生的独立练习结合起来，既提高了练习的有效性，又培养了学生运用知识解决数学问题的能力。但整节课的教学内容较综合，练习中渗透着新的知识，花费了较多的时间探究，学生学习的强度较大。
3.圆的面积
第1课时
圆的面积
课时内容
教材第65～66页例1及相关习题。
课时
目标
1.通过操作、观察、验证、讨论和归纳等过程，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。
2.激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。
3.引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。
重点
难点
重点：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。
难点：理解圆的面积计算公式的推导过程。
一、复习旧知，迁移导入
师：同学们，我们已经学过了面积。那“长方形的面积”指的是什么？
【学情预设】长方形所占平面的大小。
师：那正方形呢？
【学情预设】正方形所占平面的大小。
师：长方形所占平面的大小叫长方形的面积，正方形所占平面的大小叫正方形的面积，那圆所占平面的大小叫什么呢？
【学情预设】圆的面积。
师：今天，我们一起来学习圆的面积。
回忆平行四边形、三角形、梯形的面积推导公式。（课件出示）
师：这是一个平行四边形，怎样计算平行四边形的面积？
【学情预设】平行四边形的面积=底×高。
师：你们还记得平行四边形面积是怎样推导出来的吗？
边讲解边课件展示：把平行四边形的左边割下一部分平移到右边，这样就把平行四边形转化成了长方形。
师：那你们还记得三角形、梯形的面积公式又是怎样推导出来的？
先抽几名代表学生回答，教师再进行详细补充。
师：同学们，那我们能不能把圆转化成学过的图形，从而推导出圆的面积的计算公式呢？这就是下面我们要学习的内容。（板书课题：圆的面积）
设计意图：通过启发学生回忆平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导过程，激起学生用旧知探索新知的兴趣，并加深对“转化”的数学思想方法的理解。
二、自主探索，互动授新
1.推导圆的面积计算公式。（课件出示）
（1）讨论将圆转化为学过的图形。
师：我们在学习推导几何图形的面积公式时，总是把新的图形通过分割、拼组等方法，转化成我们熟悉的图形。你们能将圆转化成学过的图形吗？
小组讨论，交流汇报。
【学情预设】 通过讨论，大部分学生可以想到将圆平均分成若干份，将圆“化曲为直”转化为近似的长方形或平行四边形。
（2）分组探究将圆转化成学过的图形。
①启发思考。
师：如果我们把一个圆平均分成8份，其中的每一份都是这个样子的。同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？（课件出示）
师：如果我们继续平均分，把一个圆平均分成16份，其中的每一份都是这个样子的。这时你们觉得它像一个什么图形呢？（课件出示）
师：对比两次平均分，你发现了什么？
【学情预设】 平均分得的每一份都是一个近似的三角形，平均分的份数越多，每份越接近三角形。
师：请同学们再想一想，这个近似三角形跟圆有什么关系呢？
【学情预设】 引导学生观察，明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径。
师：想一想，三角形跟我们学过的哪些图形又有联系？那圆可以转化为我们学过的哪些图形呢？
【学情预设】三角形跟长方形、平行四边形甚至梯形都有联系。圆可以转化为学过的三角形、长方形、平行四边形……
师：通过刚才的讨论，大家认为可以将圆转化为长方形、平行四边形或三角形甚至梯形，再来研究圆面积的计算，同学们的猜想和推理是否正确呢？
②学生分组操作，把圆形学具剪裁、拼组，转化成学过的其他图形。
把圆平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形。课件演示剪拼的过程。
师：大家观察一下，拼成的图形像什么图形？为什么说它像长方形而不是长方形？谁有办法把边变得更直些？把这个近似长方形变得更近似长方形？
【学情预设】 学生会想到拼成的图形像长方形。拼成的四边形的长远大于宽，所以更像长方形。平均分的份数越多，边更直，拼成的图形就越接近长方形。
课件动画演示将圆平均分成8份、16份、32份后拼成的近似平行四边形
师：把圆分成64等份，拼接后的图形的边会怎么样？图形会怎么样？
师：闭眼想象，如果把圆面等分成128份、256份……一直这样下去分成很多很多份，剪拼后的图形是什么情形？
【学情预设】分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
设计意图：渗透“转化”的数学思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识来解决。先让学生想象出等分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。再借助课件的演示，生动形象地展示了“化曲为直”的剪拼过程。在想象的过程中蕴含了另一个重要的数学思想——极限思想。
（3）推导圆的面积计算公式。
师：现在请同学们观察一下，这个长方形的长和宽与原来的圆有什么联系吗？如果圆的半径为r，那么这个长方形的长和宽各是多少呢？请同学们在小组里讨论一下。
学生讨论后汇报。
【学情预设】这个长方形的长约等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。如果圆的半径为r，那么这个长方形的长就是πr，宽就是r。
师：拼成的长方形的面积与圆的面积有什么关系？
【学情预设】拼成的长方形与圆形状不同，面积相等。
师：如果用S表示圆的面积，那么圆的面积S等于什么？
【学情预设】S＝πr²。
师：原因是什么？
【学情预设】 因为拼成的长方形的面积等于原来圆的面积，拼成的长方形的长相当于原来圆的周长的一半，宽相当于原来圆的半径，且长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=圆的周长的一半×圆的半径。即。
。
设计意图：通过动手操作，引导学生理解和掌握把圆转化成长方形推导出圆的面积计算公式的方法，培养学生的动手操作能力，渗透转化思想和极限思想。
（4）介绍数学文化。
师：我国早在魏晋时期就有数学家用“割圆术”来计算圆的面积，他利用此方法将圆周率精确到了小数点后第4位。
学生自主阅读教材第66页“你知道吗？”。
设计意图：给学生介绍数学文化，不仅让学生了解我国古代的数学成就，还让学生初步了解“割圆术”，产生继续探究的兴趣。
2.初步运用公式，解决问题。
课件出示教材第66页例1。
师：大家试试看，能解决吗？
学生尝试独立解决，指名学生上台板演，集体订正。
设计意图：学生已经掌握了圆面积的计算公式，通过练习让学生能运用公式解答一些简单的实际问题。
3.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第66页“做一做”第1题。
学生自主解答，展示交流。
【学情预设】问题中已知的是直径，学生往往会忽略，直接把直径当作半径计算。提醒学生要仔细读题。
（2）完成教材第69页“练习十五”第2题。
学生自主解答后展示交流。
【学情预设】计算周长和面积时，学生一般都会计算，但是有的时候容易弄错单位。
设计意图：本节课是圆的面积的第1课时，主要是理解并掌握圆的面积的计算公式。此处设计两道基础题，重在应用公式计算，并将面积与周长同时解答，加深对面积的理解。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第69页“练习十五”第3题。
巩固圆的面积的计算。
2.完成教材第69页“练习十五”第4题。
注意知识的综合应用，先求出半径，再求面积。
3.完成教材第71页“练习十五”第13题。
先求半径，再算两个圆的面积，最后相减。
本节课较好地完成了教学目标，学生学习积极性高，课堂气氛活跃、和谐。在学习新知之前，引导学生回忆以前探究平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法，引导学生发现“转化”是探究新的数学知识、解决数学问题的好方法，为下面探究圆的面积计算的方法奠定基础。在推导圆的面积计算公式的过程中，为学生创造充分的动手机会，让学生在动手操作的过程中逐步明确圆与所转化成的图形之间的关系，掌握圆的面积计算公式，从而使学生在操作中积累更多的数学活动经验。整个知识的形成过程，对提高学生的动手操作能力，小组合作能力，探索和创新能力以及培养学生良好的思维品质，具有十分积极的作用。
第2课时
圆环的面积
课时内容
教材第66页例2及相关习题。
课时
目标
1.使学生认识圆环，掌握计算圆环面积的方法，让学生进一步巩固已学过的圆的面积公式。
2.通过解决实际问题，理解圆环面积公式的推导过程。
3.培养学生综合运用知识的能力，会利用所学知识解决实际问题。
重点
难点
重点：掌握圆环的特征以及圆环面积的计算方法，并能正确的计算圆环的面积。
难点：理解圆环面积计算公式的推导过程以及圆环面积与外圆、内圆面积之间的关系。
一、创设情境，导入新课
师：上节课我们学习了圆的面积计算公式，你能求出下面各圆的面积吗？（课件出示）
学生计算后交流。
师：我们来欣赏一组美丽的图片。
师：同学们，你们从图中发现了什么？
【学情预设】它们都是由两个大小不同的圆组成的。
教师拿出环形光盘，说明像这样的图形，我们称它为圆环或环形。
师：你还知道生活中有哪些环形的物体？
学生结合生活实际谈谈已经知道的环形物体。
师：这节课我们一起来学习圆环的面积。（板书课题：圆环的面积）
设计意图：从学生掌握的常识和熟悉的事物入手，使其感受到数学就在我们身边，学生从直观上也感受到了圆环的特点，为后面学习圆环的面积奠定基础。
二、自主探索，互动授新
1.探究圆环的面积计算方法。
（1）介绍圆环。
师：看看这个圆环，你们觉得圆环跟圆有什么相同和不同的地方？（课件出示）
【学情预设】学生可能说圆环也是圆形的，圆环是由两个圆组成的，圆环只是圆外面的一部分，等等。
师：圆环中，较大的圆叫外圆，较小的圆叫内圆，两个圆之间的宽度叫环宽。
设计意图：让学生认识身边的圆环，感受生活与数学的紧密联系，初步认识圆环的基本特征，为后面解决问题打好基础。
（2）课件出示教材第66页例2。
学生试做，指名学生板演。
（4）交流算法。
师：你们都是怎样计算的？
【学情预设】 一般学生会根据“外圆的面积-内圆的面积”得到圆环的面积，不容易想到简便计算。也有学生会出现3.14×（6-2）²的错误。教师要根据实际情况进行引导和分析。
方法一：外圆的面积：3.14×6²=113.04（cm²）
内圆的面积：3.14×2²=12.56（cm²）
圆环的面积：113.04-12.56=100.48（cm²）
方法二：3.14×（6²-2²）=100.48（cm²）
（5）比较异同，深化理解。
①比较两种方法。
师：比较一下，这两种方法有什么不同？
引导学生发现，两种方法的计算方法是一致的，都是“圆环的面积＝外圆的面积-内圆的面积”，只是第二种方法用的是简便计算。
师小结：外圆：圆环中较大的圆叫做外圆，外圆半径用R表示；内圆：圆环中较小的圆叫做内圆，内圆半径用r表示；圆环的面积=外圆面积-内圆面积，用字母表示为S环＝πR²-πr²或S环＝π（R²-r²）。（板书）
②错误辨析。
师：有少数同学列出“3.14×（6-2）²=50.24（cm²）”这个算式，是否正确？
让学生讨论、辨析，说说为什么。
【学情预设】学生会说，4是环宽，并不是圆的半径，不能这样计算；也有学生会说6²-2²不等于（6-2）²；也会有学生说，πr²是圆的面积计算公式，圆环没有半径，不能用圆的面积计算公式计算。针对学生的辨析，教师适时引导。
设计意图：例题主要由学生自己完成，最后老师引导学生列出综合算式，使学生领会两种方法的区别，好中选优，展现学生的创新精神。
（6）解决前面的问题。
师：刚上课时老师出示了两个圆环，请大家猜哪个圆环的面积大。现在我们再来看一下。（课件出示）
师：现在你能比较了吗？
学生独立计算，集体汇报。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第66页“做一做”第2题。
学生自主解答，集体评价。
【教学提示】此题是对环形面积公式的简单应用，难度不大，需注意的是题中给出的条件是直径，要先转化再计算。
（2）完成教材第70页“练习十五”第6题。
学生自主解答，集体讨论交流。
【教学提示】此题跟前面学习的圆环有区别，两个圆不是同心圆，而且大圆的直径是隐含条件，对于学生来说，有一定的难度。
师：这个阴影部分的面积是圆环吗？怎么求面积呢？说说你是怎么想的。
【学情预设】引导学生分析得出：这道题是圆环的变式，虽然不是标准的圆环，但是它的面积也是用大圆的面积减去小圆的面积，计算方法与求圆环面积的方法相同。
设计意图：两道题由浅入深，从基础到整式，帮助学生理解圆环面积的计算方法，培养学生具体问题具体分析、认真读题、分析图中信息、灵活解决问题的能力。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第69页“练习十五”第5题。
巩固环形面积的计算。
2.完成教材第70页“练习十五”第7题。
注意计算周长时先分成几个小段，再求和。
本节课是在学生学习了圆的面积的基础上进行教学的，主要教学圆环的面积及应用。对于圆环的认识，学生也已经有了生活经验，教学时从学生熟悉的情境出发，让他们知道圆环的组成，再教学例题。选择有层次性的练习，通过变式、对比练习使学生加深对圆环的认识，培养学生结合实际分析图形、解决问题的能力。整节课教学内容充实、丰富，调动了学生学习的积极性。
第3课时
解决问题
课时内容
教材第67～68页例3及相关习题。
课时
目标
1.结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2.在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。
重点
难点
重点：理解并掌握“外方内圆”和“外圆内方”图形中圆和正方形面积的计算方法，并能准确计算。
难点：对组合图形的特征进行分析。
一、创设情境，导入新课
师：古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅，故有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。虽然这种说法是错误的，却对建筑设计有深远的影响。（课件出示）
师：谁能说说这两种设计有什么联系和区别？
【学情预设】预设1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的。（课件出示）
预设2：都是由圆和正方形这两个图形组成的。
师：我们可以将具有上述特征的两类图形分别概括地称为外方内圆、外圆内方。今天我们就来利用已有的知识研究与圆和正方形有关图形的面积计算，并解决相应的实际问题。（板书课题：解决问题）
设计意图：由传统文化对建筑设计产生的影响导入新课，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情，提高了学生的专注程度。
二、自主探索，互动授新
1.有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
（1）观察图形，呈现问题。
课件出示教材第67页例3。
①阅读与理解。
师：你读到了哪些数学信息？
学生讨论交流。
师：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？先想一想，再和同桌交流自己的观点。
【学情预设】预设1：左图是正方形的面积减去圆的面积；右图是圆的面积减去正方形的面积。
预设2：要求正方形和圆的面积，需要知道两个正方形的边长和圆的半径。
学生思考，尝试解答。
②解答“外方内圆”。
师：谁来说说你是怎么计算左图中正方形和圆之间部分的面积的？
【学情预设】正方形的面积是2×2=4（m²），减去圆的面积3.14×1²=3.14（m²），等于0.86 m²。
师：你是怎么知道正方形的边长的？
根据学生回答展示课件：正方形的边长=圆的直径。
③解答“外圆内方”。
师：在右图中你能得出正方形的边长吗？该如何计算正方形的面积呢？
【学情预设】预设1：可以把右图中的正方形看成两个三角形。
师：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？
【学情预设】底是2 m，高是1 m，相当于圆的直径和半径。
结合学生回答展示课件。
【学情预设】预设2：也可以看成四个三角形。
师：这样一来，每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？
【学情预设】底和高都是1 m，相当于圆的半径。
师：那么，圆与正方形之间部分的面积可以怎样计算？
学生练习，分析订正。
【学情预设】圆的面积是3.14×1²=3.14（m²），减去正方形的面积
12×2×2=2（m²），等于1.14 m²。
设计意图：经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主运用已有的知识解决问题。教学过程中，注重学生自主探索，教师只用几个简单的设问，引出的却是学生自主学习的过程展示。
（2）回顾与反思。
师：如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。
【学情预设】左图：（2r）²－3.14×r²＝4r²－3.14r²＝0.86r²
师：像这样，你能计算出右图中正方形和圆之间部分的面积吗？
学生练习，反馈讲评。
【学情预设】右图：3.14×r²－ ×2＝1.14 r²
师：我们可以把题目中的条件r＝1 m代入上述的两个结果算一算，有什么发现？
【学情预设】和之前计算的结果完全一致。
设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的重要内容。在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的情境，提高学生解决问题的能力和发散思维的能力。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第68页“做一做”。
学生独立完成，指名板演，集体订正。
（2）完成教材第70页“练习十五”第9题。
学生独立完成，汇报交流。
【学情预设】本题中的铜钱也是一个外圆内方的典型素材，只不过正方形不是圆的内接正方形，要引导学生看图，同时结合题中的信息解答。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第70页“练习十五”第10题。
巩固不规则图形面积的计算。
本节课是在学习了圆的面积的基础上进行教学的，通过解决中国建筑设计中经常出现的“外方内圆”和“外圆内方”图案的问题，指导学生综合运用所学的几何知识来解决日常生活中的实际问题。“外圆内方”问题有一定难度，是本节课的难点，由于正方形只有对角线的长，而没有边长，学生不懂得怎样计算正方形的面积，这时候教师没有直接告诉学生计算的方法，而是鼓励学生通过画辅助线将正方形分成两个完全相等的三角形。这样，学生就很容易体会到用画辅助线来解决几何图形问题的方法。
第4课时
练习课
教材第69～72页“练习十五”。
1.进一步巩固圆的面积的计算方法，能根据具体情境，灵活地运用公式进行计算。
2.培养学生具体问题具体分析、结合实际解决问题的能力。
3.探寻周长与面积的关系，加深对周长、面积意义的理解。
一、回顾旧知，复习导入
师：同学们，我们已经学习了圆的面积计算，计算公式是怎样的？（S=πr²）根据公式，要知道哪些信息才能求出圆的面积呢？（半径）如果有的问题中没有直接告诉圆的半径，又该如何求圆的面积呢？
【学情预设】学生可能会说，想办法求出它的半径或半径的平方。（课件出示）
师：小组讨论，如果知道了圆的直径或圆的周长，该怎么求圆的面积？
学生讨论后交流。
【学情预设】
设计意图：通过推理分析，理清半径、直径、周长、面积之间的关系，为灵活运用面积公式打下基础。
二、基础练习，巩固所学
1.完成教材第69页“练习十五”第1题。（课件出示）
学生独立完成，全班集中交流。
2.完成教材第69页“练习十五”第5题。
【学情预设】本题是求圆环面积，一般学生都能正确解答。需要注意的是，这儿给出的都是直径，需要先求出半径。
3.完成教材第71页“练习十五”第11题。
学生独立完成，汇报交流。
【学情预设】此题需要将图形分解，学生在求周长时可能会出错，教师在巡视时需要个别指导。
4. 完成教材第71页“练习十五”第12题。
（1）学生自主解答，点两名同学板演。
（2）展示交流。
【学情预设】学生可能对“占地面积”不是很清楚。引导学生明白两座土楼的占地面积就是两个圆环的面积。
师：求两座土楼的占地面积相差多少该怎么求呢？
【学情预设】 一般学生都知道先分别求出两座土楼的占地面积，再求它们的差。
师：我们来看看这两位同学的解答是否正确。
针对学生的板演进行评价、分析。
设计意图：通过练习，进一步巩固基础知识，培养学生利用圆的面积公式来解决问题的基本能力。
三、能力提升，发散思维
1.完成教材第71页“练习十五”第15题。
（1）启发思考。
师：这块地可以是怎样的图形？
【学情预设】学生可能说任意图形都行。
师：在围成的图形中，什么不变？
【学情预设】周长。
师：可以围成任意的图形，但是要探究怎样围面积最大，我们该怎么办呢？
【学情预设】启发学生围成我们学过的图形——长方形、正方形、平行四边形、圆等等，再算出面积进行比较。
（2）自主探究。
师：我们真的需要拿绳子围吗？该怎么办？
【学情预设】引导学生有序思考，列举部分围成的图形，进行比较。
（3）展示交流，发现规律。
师：你们围成了哪些图形？它们的面积分别是多少？
展示学生围成的多种图形及它们的面积，进行比较。
师小结：周长一定，围出的图形中，圆的面积最大。
本节练习课教学内容较多，涉及了圆面积计算的变式、周长与面积之间的关系等，这些都是新知识，需要学生理解和掌握。通过自主解答、集中交流等数学活动既进一步巩固了圆面积的计算，也培养了学生结合实际情况解决问题的能力。在探究第16题时，由于可以围成的形状很多，有些形状不好计算出面积，还有长方形有多种围法，所以有少数学生对这个规律还不是很认同，这也是一种好的现象，说明学生有深度思考。
4.扇形
扇形
课时内容
教材第73页内容及相关习题。
课时
目标
1.结合生活中的物品，认识扇形，能指出扇形的各部分名称。
2.通过动手操作、实验观察，理解在同一个圆中扇形的大小与圆心角的大小有关。
3.通过自主探究，理解扇形是圆的一部分，能分别计算出以半圆为弧和以四分之一圆为弧的扇形的圆心角度数。
重点
难点
重点：认识弧、圆心角、扇形，并能对它们作出准确判断。
难点：理解在同一个圆中扇形的大小与圆心角的大小有关。
一、创设情境，导入新课
师：老师给大家带来了一些美丽的图片，请大家欣赏一下。（课件出示）
让学生说出图片上物体的名称。
【学情预设】学生依次回答：扇贝、扇形藻、折扇。
师：这些物体的名称中都有一个“扇”字，它们的形状统称为扇形，那么同学们回忆一下，在生活中，还有哪些物体的形状也是扇形？
【学情预设】银杏叶，扇形的盘子……
师：大家见到的扇形真不少，这节课我们就来学习扇形的有关知识。（板书课题：扇形）
设计意图：从生活中熟悉的事物导入，直观形象，学生能很快建立扇形的表象，从而激发学生主动学习的热情，产生探索新知的欲望。
二、自主探索，互动授新
1.认识扇形。
（1）师：观察这些扇形，猜猜这些美丽的扇形可能与我们已经学过的哪些数学知识有关呢？
【学情预设】预设1：扇形可能与角的知识有关，因为每个扇形上都有角。
预设2：扇形可能和圆有关，因为扇形是从圆上剪下来的，圆是由曲线围成的，而扇形有一条边也是曲线。
预设3：扇形会不会和三角形有关呢？因为它们看上去很像。
设计意图：通过猜测，唤起学生已有的知识基础，让学生在脑海中出现模糊的扇形的形象，并巧妙地将扇形和学过的知识联系起来，为新知的探索做好铺垫。
（2）自学新知，验证猜测。
师：同学们的猜测都有些道理，那到底什么是扇形，扇形都是由哪些部分组成的？请同学们自学教材第75页，同桌之间互相说一说什么是扇形，学有余力的同学可以试着画一画。
【学情预设】预设1：我们通过自学了解到扇形有一条弧，而这条弧正好是圆的一部分；而且扇形的两条边就是圆的两条半径，所以我们小组讨论的结果是扇形是圆的一部分，扇形就是由一条弧和经过这条弧的两端的半径所围成的图形。
师：通过汇报，老师捕捉到一个新的知识——弧的概念。
师：我这样画（一个端点在圆上，一个不在圆上，连起来画一条弧线），是否能称作弧呢？
【学情预设】学生讨论，得出在圆上的两个点之间，也就是圆周长上的连线部分才是“弧”。
课件出示弧的概念。
教师指图强调：这段彩色的线叫做“弧”。因为这条弧的两个端点分别是A和B，所以称这条弧为“弧AB”，弧是圆上的一部分。
【学情预设】预设2：我们小组通过自学觉得扇形的知识和角的知识有关。因为扇形是由两条半径和一条弧围成的，两条半径相交就形成了角，因为这个角的顶点在圆心上，所以这个角就叫做圆心角。但它和其他角一样，两条边（也就是两条半径）张开的越大，圆心角的度数就越大。
师：通过汇报，你们又引出圆心角的概念。什么是圆心角？
课件呈现圆心角。
师：两条半径所夹的角∠AOB，它的顶点在哪儿？
【学情预设】顶点在圆心。
师：像这样，顶点在圆心的角叫作圆心角。
师生共同总结：圆心角应该满足两个条件：一是角的顶点在圆心；二是角的两条边是圆的半径。
师：我们通过自学知道了什么是弧，什么是圆心角，那到底什么是扇形？
课件展示扇形。引导学生明白扇形的特点：一、顶点在圆心；二、它的两条边其实就是半径；三、它所对的弧就是圆周长的一部分。
【学情预设】预设3：我们小组通过学习了解到扇形和三角形看上去很像，但它们有本质上的区别。三角形由三条线段围成的，有三个角；而扇形只有一个角，扇形是由两条半径和一条弧围成的，是圆的一部分。
设计意图：通过学生互相反馈交流、教师质疑的活动，既检测了学生的学习成果，又培养了学生的口头表达能力。
（3）分析推理，判断扇形的大小。
师：我们已经认识了扇形，那么扇形的大小与哪些因素有关呢？
【学情预设】有的学生回答扇形的大小与圆心角有关，圆心角越大，扇形就越大，反之，扇形就越小；有的学生回答扇形的大小与半径有关，半径越长，扇形就越大；还有的学生会回答扇形的大小与圆心角和半径都有关。
师：在同一个圆中，怎样判断扇形的大小？
用课件直观演示：在同一个圆中，圆心角变大，扇形变大，圆心角变小，扇形变小。
师：不在同一个圆中，扇形的大小还与什么有关呢？
用课件直观演示：圆心角的大小一样时，半径越长，扇形越大。
师小结：扇形的大小与圆心角和半径都有关系。
（4）认识圆心角为180°的扇形。
师：想一想，以半圆为弧的扇形的圆心角是多少度？
学生自由交流，发表自己的见解。
结合学生的交流，课件出示：以半圆为弧的扇形的圆心角是180°。
教师出示圆形纸片。
师：想一想，用这个圆形纸片折出一个圆心角为180°的扇形，该怎么折？
学生交流自己的想法。（对折）
（5）认识圆心角为90°的扇形。
师：如果要折出一个以 圆为弧的扇形，又该怎么折呢？你怎么得到这个扇形的圆心角的度数的？
【学情预设】通过两次对折，相当于把周角平均分成了4份，其中一份的度数是360°× =90°，即以 圆为弧的扇形的圆心角是90°。
（6）认识扇形是轴对称图形。
师：在折的过程中，你们发现扇形是一个什么图形？
【学情预设】它是一个轴对称图形。
师：有几条对称轴呢？
【学情预设】有的学生受到圆的影响会回答有无数条对称轴，有的学生会回答有1条对称轴。
师小结：扇形是一个只有1条对称轴的轴对称图形。
设计意图：教学此内容加深学生对扇形的全面认识。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第74页“练习十六”第1题。
学生交流，课件呈现答案。
（2）完成教材第74页“练习十六”第2题。
师：这些图形中哪些角是圆心角？为什么？
学生交流，课件呈现答案。
设计意图：由实物到几何图形，加深对扇形的知识的理解。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第74页“练习十六”第3题。
巩固扇形的画法。
2.完成教材第74页“练习十六”第4题。
结合扇形面积的计算来推导出扇环的面积公式。
本课时只要求学生知道“扇形”，能看得懂、听得懂、讲得出，能在图上找出相关对象，知道圆心角和半径都在变化时，扇形大小也在随着变化就可以了。但是在后面的扇形统计图及练习中，都出现了画规定半径和圆心角的扇形，如果仅仅落实本课时目标，就会影响后面的学习。因此结合以后学习的实际情况，本课时还应对扇形的圆心角和面积稍微拓展。
整理和复习
教材第75～75页的相关内容。
1.通过整理和复习使学生进一步认识圆的特征，熟练掌握圆的周长和面积的计算公式。
2.提高学生整理知识的能力，掌握整理知识的方法。
3.能灵活运用圆的周长和面积的有关知识解决生活中的实际问题，培养学生解决实际问题的能力，增强学生对数学的应用意识。
一、小组交流，整理归纳
师：请同学们回忆一下，圆这一单元我们主要学习了哪些知识？
学生自由交流。
【学情预设】学生可能回答出本单元的部分知识，可能有重复或遗漏，也可能是杂乱无序的，需要同学之间的互相补充。
1.学生自主整理。
师：刚才，同学们说的都是圆这一单元的重点内容，但有点乱，怎样让这些知识更有条理呢？这就需要我们对这些知识进行整理。下面就请同学们先看一遍教材，然后根据这些知识要点和它们之间的联系用自己喜欢的方式进行整理。要求整理的结果一定要简洁，清晰，一目了然。
学生整理，教师巡视指导。
设计意图：先让学生根据自己的学习状况自主地对知识点进行归纳、分类、整合，使学过的知识系统化。
2.以小组为单位相互交流，讨论完善整理结果，取长补短，构建新的认知结构。
3.全班交流，找有代表性的小组代表汇报，其他小组进行评价、补充。
设计意图：面向全班同学汇报交流，目的是让不一样的整理方式、不一样的思维模式进行碰撞，让学生在交流中相互矫正、相互补充、相互借鉴，让学生在头脑中形成完整的知识体系。
课件出示本单元的知识网络。
4.梳理内化，细化知识点。
师：你能对照知识结构图为大家介绍每个知识点的相关知识吗？
在教师的引导下，有序地回顾、剖析本单元的每个知识点。
结合学生的交流，课件完善知识结构图。
二、复习巩固，提升认识
1.完成教材第75页“整理和复习”第1 题。（课件出示）
小组交流讨论，怎样找到这两幅图的圆心和直径。
【学情预设】学生会根据正方形、圆的轴对称性来找圆心和直径。左图和右图均是利用正方形两条对角线相交，找到圆心和直径。
师：如果左图中圆的半径是2 cm，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？如果右图正方形的面积是16 cm²，你能求出圆的面积吗？
学生自主解答。
设计意图：为了能让此题囊括更多知识点，教学时在此题完成后又提出了两个问题，借机对外圆内方和外方内圆的知识进行巩固，力求达到一题多练，体现精练的效果。
2.完成教材第75页“整理和复习”第2题。（课件出示）
学生读题，交流解题思路。
【学情预设】第一个问题是已知直径求面积，要先求出半径，再利用公式进行计算；第二个问题要用周长除以每个人需要的宽度来求能坐多少人；第三个问题是求环形的面积。
学生独立解答，组织交流。
设计意图：这是一道综合性较强的习题，结合实际生活巩固圆的面积、周长计算以及圆环的面积计算，进一步提高学生用数学知识解决实际问题的能力。
3.完成教材第76页“练习十七”第3题。
自主解答，交流反馈。在反馈过程中，教师要问一问采取什么方法取近似值。（去尾法）
三、补充练习，发散思维
1.完成教材第76页“练习十七”第4题。
师：求这块场地的占地面积就是求什么？请画图并解答出来。
学生自主完成，再交流自己的计算方法。
师：这块场地的直径是多少？为什么不是8 m加1 m？
【学情预设】因为路宽1 m，相当于半径大1 m，所以直径为8 m加2 m。
2.完成教材第77页“练习十七”第8题。
师：从图中你读到了哪些数学信息？
【学情预设】有4个相同的扇形，这4个扇形可以组合成一个圆。
此时教师要追问“你怎么知道它们会组合成一个圆”，引导学生将圆心角与圆联系起来。
师：怎么解答呢？
【学情预设】 学生回答这个图形的面积就是用中间正方形的面积加上一个以正方形边长为半径的圆的面积。
学生自主解答，集中反馈评价。
3.完成教材第77页“练习十七”第9 题。
引导学生分析半圆的周长是圆周长的一半加一条直径，两个半圆的周长相当于一个圆的周长加两条直径。根据这个数量关系，先求出直径或半径，再求面积。
【学情预设】这里的数量关系比较复杂，学生理解有一定的难度，可引导学生设未知数，用方程解答。学生计算容易出错，教师要引导学生能简算的进行简算。有的学生可能会根据半圆周长直接推导出圆的半径，这种方法也是可以的，要积极鼓励。
本堂课对圆这个单元的知识进行了系统的整理和复习。在这个过程中，主要是对圆的认识、圆的周长和面积的计算方法进行了回顾梳理。其中，对周长和面积的区别进行了着重复习，以进一步地让学生学会区分这两个概念，并通过相应的练习加以强化。相应配套的练习题的使用，与课堂教学的每个步骤环环相扣，既复习，又练习，再提高，使后进生能牢固掌握基础知识，优等生能再度提高，使复习与练习有机结合，从而真正提高复习课的效率。
☆ 确定起跑线
课时内容
教材第78～79页内容。
课时准备
1.收集有关跑道尺寸的资料或实地测量。
2.课件。
课时
目标
1.通过该活动使学生了解田径场跑道的结构，学会确定起跑线的方法。
2.使学生经历观察、计算、推理等数学活动过程，发展综合运用数学知识解决实际问题的能力，体会抽象、推理等基本的数学思想。
3.通过活动让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
重点
难点
重点：通过圆的周长计算公式，了解田径场跑道的结构，能根据起跑线设定原理正确计算起跑线的位置。
难点：综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设定与什么有关。
一、创设情境，导入新课
师：同学们，你们参加过田径比赛吗？下面是100米比赛和400米比赛的场面。（课件出示）
师：看了两个比赛的场面，在起跑线上你发现了什么情况？
组织学生交流。
【学情预设】预设1：100米跑运动员站在同一条起跑线上，而400米跑运动员站在不同的起跑线上。
预设2：外面跑道的运动员站在前面，里面跑道的运动员站在后面，这样公平吗？
预设3：400米跑的起跑线位置是怎样安排的？
师：今天，我们就带着这些问题走进运动场，用我们学过的知识来研究、解决这些问题，了解比赛的时候各跑道的起跑线是如何确定的。（板书：确定起跑线）
设计意图：引导学生观察不同的起跑场景，比较不同点，从而引入需要研究的数学问题。
二、自主探索，互动授新
1.研究起跑线的位置。
课件出示完整跑道图。
（1）观察思考，找出问题关键。
师：这是一张400米正规跑道图，观察跑道图，每一条跑道具体是由哪几部分组成的？
【学情预设】 2条直道和2条弯道。
师：每条跑道一圈的长度相等吗？差别在哪里呢？
【学情预设】 2条直道相等，差别在于2条弯道。
师：内外跑道的差异是怎样形成的？
【学情预设】实际上每两条跑道之间的长度差别就是2条弯道长度的差别。
师：2条弯道合起来就是1个整圆。
学生充分交流得出结论：①跑道一圈长度=2条直道长度+一个圆的周长；
②内外跑道的长度不一样是因为圆的周长不一样。
（2）小组讨论：怎样找出相邻两个跑道的长度之差？
【学情预设】预设1：分别把每条跑道的长度算出来，也就是计算2条直道长度与一个圆周长的总和，再相减，就可以知道相邻两条跑道的长度之差。
预设2：因为各跑道的直道都一样长，所以各跑道的长度之差与直道无关，只要计算出各圆的周长，再算出相邻两圆的周长相差多少米，就是相邻跑道的长度之差。
设计意图：通过观察分析，使学生明白问题的本质和解决问题的方法，培养学生分析问题的能力。
（3）计算验证，解决问题。
师：计算圆的周长要知道什么？
【学情预设】直径。
师：第一跑道的直径为72.6米，第二跑道是多少？第三跑道呢？（让学生选择自己喜欢的方法进行计算。）
【学情预设】预设1：计算每一条跑道的长度。
预设2：弯道长度相减。
75.1×3.14159-72.6×3.14159≈7.85（m）；
77.6×3.14159-75.1×3.14159≈7.85（m）；
……
预设3：先求弯道直径之差，再计算长度之差。
（75.1－72.6）×3.14159≈7.85（m）；
（77.6－75.1）×3.14159≈7.85（m）；
……
师：刚才大家通过计算已经知道了400米跑道相邻两个跑道长度大约相差7.85米，也就是相邻跑道的起跑线应该相差7.85米。哪一种方法更快、更简便呢？
【学情预设】第三种方法更简便。
师：75.1－72.6表示什么？
【学情预设】跑道宽度的2倍，也就是两个圆的直径之差。
师：如果我们在计算圆的周长时直接用π来表示，看看有什么发现？
（72.6＋1.25×2－72.6）π＝1.25×2×π；
（75.1＋1.25×2－75.1）π＝1.25×2×π；
……
【学情预设】 每相邻两条跑道起跑线相差的长度都可以用“跑道宽×2×π”来计算。
师：从这里可以看出，起跑线的确定与什么关系最为密切？
【学情预设】与跑道的宽度关系最为密切。
师小结：同学们经过努力终于找到了确定起跑线的秘密！只要知道了跑道的宽度，就能确定起跑线的位置。相邻跑道起跑线相差的长度都是“跑道宽×2×π”。
设计意图：通过不同的方式，计算相邻跑道的长度差，不断对探究方法进行优化，接近造成相邻跑道长度差的根源，让学生明白相邻跑道长度差和跑道宽度的关系。
2.拓展延伸，强化新知。
（1）问题拓展。
师：校园运动会的跑道宽比成人比赛的跑道宽要窄些，400米的跑步比赛，跑道宽为1米，你能帮裁判计算出相邻两条跑道的起跑线应该依次提前多少米吗？如果跑道宽是1.2米呢？
【学情预设】跑道是由两个弯道和两个直道组成。如果跑道宽为1 m，相邻起跑线相差2π m；如果跑道宽是1.2 m，相邻起跑线相差2.4π m。
（2）巩固提高。
师：如果在400 m的跑道上进行200 m跑步比赛，跑道宽还是1.25 m，相邻起跑线的差又该如何确定呢？
学生讨论。
【学情预设】根据前面的规律，学生知道200 m是400 m的一半，由一个弯道和一个直道组成，跑道宽1.25 m，所以相邻起跑线相差1.25π m；可能有的学生会想到7.85÷2＝3.925（m）。
设计意图：促进学生举一反三，设置不同难度的问题，让学生用最简洁的方法计算起跑线应该依次提前多少米，尤其是200米比赛，只有一个弯道，也就是只相差圆周长的一半。
师：如果一共有八条跑道，那么请你利用学过的知识，算一算400米比赛中，第三道起跑线比第一道起跑线提前了多少米？第五道与第二道呢？第八道与第一道呢？你能得出什么结论？
师小结：不相邻的跑道起跑线之间的差距的算法：相隔几道×跑道宽×2×π。
3.课外扩展：了解黄金跑道。
师：同学们今天学到的知识可真不少，其实，在田径运动场上还有黄金跑道之分。让我们一起来看一看。（课件出示）
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结：知道了跑道的宽度，就能确定起跑线的位置。400米比赛中，相邻跑道起跑线相差的长度=跑道宽×2×π。
确定起跑线是一节综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过这个活动一方面让学生了解田径跑道结构，学会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。确定起跑线密切结合数学学科课内学习内容，从多个方面培养学生的数学能力，有效地提高了学生的数学素养。教学时，引导学生从数学角度去发现并解决问题，增强了学生解决问题的能力和综合应用的意识，通过自主探索、计算推理、合作学习、交流辩论、互相启发，把相邻两条跑道的长度差的计算方法从繁杂化到简洁，最后得出规律，让学生享受成功的喜悦。
