2024届高考数学一轮复习课时质量评价50含答案

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课时质量评价(五十)
A组　全考点巩固练
1．B　解析：由y=x+2，x2m+y23=1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ＝16m2－4m(m＋3)>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.
2．C　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，x1＋x2＝－8k1+4k2，因为AB中点的横坐标为1，所以－4k1+4k2＝1，解得k＝－12. 故选C．
3．D　解析：根据题意可得直线l的斜率存在．因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，所以直线l的方程可设为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立得：y=kx-1，y2=4x ⇒k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.设(A(x1 ，y1)，B(x2，y2)，Δ＝[－2(k2＋2)]2－4k4>0.
因此x1＋x2＝2k2+2k2，x1x2＝1.
因为AB，AF，BF成等差数列，
所以2AF＝AB+BF，
于是有2(x1＋1)＝x1＋1＋x2＋1＋x2＋1，化简得：x1＝2x2＋1，而x1x2＝1，
所以解得x2=12 ，x1=2 或x2=-1，x1=-1 (舍去)．
因为x1＋x2＝2k2+2k2，所以52＝2k2+2k2，
解得k2＝8⇒k＝±22.
4．A　解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±3x，可得双曲线的方程为x2－y23＝λ(λ>0)，把点(2，3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以双曲线的方程为x2－y23＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(2，0)，可得A(2，23)，B(2，－23)，可得S△AOB＝12×2×43＝43.故选A．
5．BD　解析：对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－42＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M13，43，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程x22+y24＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－43，所以|AB|＝1+12·-43-0＝423，所以D项正确．
6．－12　解析：依题意联立直线与椭圆方程得y=kx+1，x22+y2=1，消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kx＝0，解得x＝0或x＝-4k2k2+1，不妨取xA＝0，则yA＝1，xB＝-4k2k2+1，yB＝k·-4k2k2+1＋1＝1-2k22k2+1，所以A(0，1)，B-4k2k2+1，1-2k22k2+1.又F(1，0)，所以kAF＝－1.因为AF⊥BF，所以kBF＝1，即1-2k22k2+1-4k2k2+1-1＝1，即1-2k22k2+1＝-4k2k2+1－1，所以1－2k2＝－4k－(2k2＋1)，解得k＝－12.
7．y＝±12(x－2)　解析：由题意知，点P(2，0)在双曲线内，故满足条件的直线l只能是与双曲线的两条渐近线y＝±12x平行的直线．又该直线过点P(2，0)，因此该直线l的方程为y＝±12(x－2)．
8．解：(1)因为椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，所以ca＝22.
又双曲线x22－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－2y＝0，椭圆C的左焦点F1(－c，0)，
所以由题意知，-c1+2＝33，解得c＝1，所以a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.
(2)由(1)知F2(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由原点O到直线l：y＝kx＋m(k＜0)的距离为255，得m1+k2＝255，
即m2＝45(1＋k2). ①
将y＝kx＋m代入x22＋y2＝1中，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝－4km1+2k2，x1x2＝2m2-21+2k2.
又以线段AB为直径的圆经过点F2，所以F2A·F2B＝0，
即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，
所以(1＋k2)·2m2-21+2k2＋(km－1)·-4km1+2k2＋m2＋1＝0，
化简得3m2＋4km－1＝0.②
由①②，得11m4－10m2－1＝0，所以m2＝1.
又k＜0，所以m=1，k=-12，满足Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，所以直线l的方程为y＝－12x＋1.
B组　新高考培优练
9．D　解析：直线y＝kx＋2恒过定点(0，2)，若直线y＝kx＋2与椭圆x27+y2m＝1总有公共点，则点(0，2)在椭圆x27+y2m＝1内部或在椭圆上，所以4m≤1，由方程x27+y2m＝1表示椭圆，则m>0且m≠7，综上知m的取值范围是m≥4且m≠7.
10．B　解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立y=kx+a，x2a2+y2b2=1，消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0.
由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，
得k＝ca，从而y＝cax＋a，交x轴于点A-a2c，0，
又F(c，0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°.
11．C　解析：设M(c，y0)，则MF1的中点为N0，y02，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒kABkBF1＝－1⇒ba·-bc＝－1.故b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，所以e＝5-12.
12． ABD　解析：设P(x0，y0)，则kPA·kPB＝y02-9x02＝y02-91-y029＝－9.设kPA＝k(k＞0)，则kPB＝－9k.
直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5，5k－3)，
直线BP的方程为y＝－9kx＋3，则点N的坐标为5，-45k+3.
所以|MN|＝5k-3--45k+3＝5k+45k-6≥25k·45k-6＝24，
当且仅当5k＝45k，即k＝3时等号成立．从而△DMN面积的最小值为12×24×6＝72.故选ABD．
13．－13　解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，43，13，所以OA·OB＝－13，同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－13.
14．(－∞，0)∪0，12　解析：因为双曲线方程为x2－y22＝λ，所以λ≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为点P恰为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
将A，B两点坐标代入双曲线方程，
得x12-y122=λ，x22-y222=λ，两式相减并化简可得y1-y2x1-x2＝2×x1+x2y1+y2＝2.
即直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x－1.
联立y=2x-1，x2-y22=λ，化简可得2x2－4x＋2λ＋1＝0.
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λ