2024届高考数学一轮复习第1章第4节不等式的性质与基本不等式学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第1章第4节不等式的性质与基本不等式学案，共22页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第四节　不等式的性质与基本不等式
考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
2．掌握基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b>0⇔a>b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－bc⇒a>c.
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(同向可加性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(正数同向可乘性)
(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(6)可开方性：a>b>0⇒na > nb(n∈N，n≥2)．

倒数性质的两个必备结论
(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.
(2)a＜0＜b⇒1a＜1b.
3．基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中a+b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大)．

1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
5．常用结论
(1)a2+b22≥a+b22(a，b∈R)．
(2)ba+ab≥2(ab＞0)(当且仅当a＝b时取等号)．
(3)21a+1b≤ab≤a+b2≤ a2+b22(a＞0，b＞0)．
(4)若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b+ma+m；ba＞b-ma-m(b－m＞0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变． (　×　)
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小． (　×　)
(3)不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的． (　×　)
(4)函数f(x)＝sin x＋4sinx的最小值为4. (　×　)
2．设b0)，即x＝1时取等号，所以f(x)有最大值1.
4．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)
A．P≤Q B．PQ
A　解析：不妨取a＝b＝12，则P－Q＝14(x＋y)2－12x2－12y2＝－14(x－y)2≤0，所以P≤Q.
5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为_______________．
a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b　解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b.


考点1　不等式的性质——基础性

1．下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则1ab，则a2>b2
C．若a>b，cb－d
D．若a>b，c>d，则ac>bd
C　解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则1ab，取a＝0，b＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，cb－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．
2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　)
A．若a>b，则acbc2，则a>b
C．若ab2
D．若a>0>b，则|a|bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若ab2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．
3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a1.
(1)求证：a＋b≤2；
(2)判断等式ac+bd＝c＋d能否成立，并说明理由．
(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3a+b22＋1，当且仅当a＝b时，等号成立．
解得(a＋b)2≤4.又a>0，b>0，所以a＋b≤2.
(2)解：不能成立．
理由：a>0，b>0，c>0，d>0，由基本不等式得ac+bd≤a+c2+b+d2，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．
因为a＋b≤2，所以ac+bd≤1＋c+d2.因为c>0，d>0，cd>1，
所以c＋d＝c+d2+c+d2≥c+d2+cd>c+d2＋1≥ac+bd，
故ac+bd＝c＋d不能成立．
B组　新高考培优练
10．已知正实数a，b满足a＋b＝3，则11+a+44+b的最小值为(　　)
A．1 B．78
C．98 D．2
C　解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+a+44+b＝18[(1＋a)＋(4＋b)]·11+a+44+b＝185+4+b1+a+41+a4+b≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝53，b＝43时等号成立．
11．(2022·滨州联考)已知a>0，b>0，若不等式4a+1b≥ma+b恒成立，则m的最大值为(　　)
A．10 B．12
C．16 D．9
D　解析：由已知a>0，b>0，若不等式4a+1b≥ma+b恒成立，则m≤4a+1b(a＋b)恒成立，转化成求y＝4a+1b(a＋b)的最小值．y＝4a+1b(a＋b)＝5＋4ba+ab≥5＋24ba·ab＝9，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以m≤9.故选D.
12．(多选题)(2023·重庆模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当cab取最小值时，下列说法正确的是(　　)
A．a＝4b
B．c＝6b2
C．a＋b－c的最大值为34
D．a＋b－c的最大值为38
BD　解析：对于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，则cab＝ab+4ba－1≥2ab·4ba－1＝3，当且仅当ab＝4ba，即a＝2b时等号成立，故A不正确；对于B，当cab取最小值时，由cab=3，a=2b，得c＝6b2，故B正确；对于C，D，a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－6b-142＋38≤38，当且仅当a＝12，b＝14，c＝38时等号成立，所以(a＋b－c)max＝38，故C不正确，D正确．
13．若不等式1x+11-4x－m≥0对x∈0，14恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
C　解析：将不等式化为1x+11-4x≥m，只需当x∈0，14时，m≤1x+11-4xm即可．
由1x +11-4x＝1x+11-4x(4x＋1－4x)
＝4＋1-4xx+4x1-4x＋1≥5＋21-4xx·4x1-4x
＝5＋4＝9，
当且仅当x＝16时，等号成立，故m≤9.故m的最大值为9.故选C.
14．(2022·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式1x+3y＝2.
(1)求xy的最小值；
(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)2＝1x+3y≥23xy，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.
(2)3x＋y＝12(3x＋y)1x+3y＝126+9xy+yx≥126+29xy·yx＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.
15．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是R(x)＝-14x2＋500x(单位：元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．
销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售， b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定．
(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？求P(x)的最大值．
(2)求乐观系数λ的值．
(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．
解：(1)依题意，总利润为－14x2＋500x－100x－40 000＝－14x2＋400x－40 000，
所以P(x)＝-14x2+400x-40 000x＝－14x－40 000x＋400≤－200＋400＝200.当且仅当14x＝40 000x，即x＝400时，等号成立，
故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．
(2)由b＝a＋λ(c－a)得λ＝b-ac-a.
因为b－a是c－b，c－a的比例中项，
所以(b－a)2＝(c－b)(c－a)，
两边除以(b－a)2，得1＝c-a-b-ab-a·c-ab-a＝c-ab-a-1·c-ab-a，
所以1＝1λ-1·1λ，解得λ＝5-12.
(3)由(1)知，当x＝400时，厂家平均利润最大，
所以a＝40 000x＋100＋P(x)＝40 000400＋100＋200＝400(元)．
每件产品的利润为b－a＝λ(c－a)＝100(5－1)，所以b＝100(5＋3)，
所以a＝400，b＝100(5＋3)．