2024届高考数学一轮复习第2章第4节二次函数与幂函数学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第2章第4节二次函数与幂函数学案，共20页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第四节　二次函数与幂函数
考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x-1，y＝x2，y＝x12，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．

幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．
(2)xα的系数为1.
(3)解析式只有一项．
2．常见的五种幂函数的图象

3．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(－x)的图象为(　　)


D　解析：因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax2－x－c＝0的两根．把x＝－2，1分别代入方程得4a+2-c=0，a-1-c=0，联立解得a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0)．故选D.
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

A　解析：若0b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C.又f(0)＝c＜0，排除选项B.故选D.
2．(多选题)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)
A．f(－1) B．f(1)　
C．f(2) D．f(5)
ACD　解析：因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝2.当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．
3．函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．-∞，13 B．(－∞，0)
C．0，13 D．0，13
D　解析：若a＝0，则f(x)＝x－3，f(x)在区间[－1，＋∞)上是增函数，符合题意．
若a≠0，因为f(x)在区间[－1，＋∞)上是增函数，故a>0， a-12a≤-1，解得00，4a＋b＝0 B．a0，2a＋b＝0 D．af(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.
6．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝_________．
x2－2x＋3　解析：由f(0)＝3，得c＝3.又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以b2＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
7．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1