2024届高考数学一轮复习第2章第6节对数与对数函数学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第2章第6节对数与对数函数学案，共16页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
2．了解对数函数的概念及其单调性．
3．知道同底的对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
一、教材概念·结论·性质重现
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN．
②lgaMN＝lgaM－lgaN．
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①lga1＝0.②lgaa＝1．③algaN＝N.④lgaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
lgab＝lgcblgcaa>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1.
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
对数函数图象的特征
(1)由图可知，00且b≠1，c>0且c≠1，m，n∈R.
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN.( × )
(2)lgax·lgay＝lga(x＋y)．( × )
(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(4)函数y＝ln 1+x1-x与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．( √ )
2．已知x·lg32＝1，则4x＝( )
A．4B．6
C．4lg32D．9
D 解析：因为x·lg32＝1，所以x＝lg23，所以4x＝4lg23＝4lg49＝9.故选D.
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．lg2xB．12x
C．lg0.5xD．2x-2
A 解析：由题意知f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)．因为f(2)＝1，所以lga2＝1.所以a＝2.所以f(x)＝lg2x.
4．函数y＝lg |x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B 解析：y＝lg |x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
5．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝_________．
－7 解析：因为f(x)＝lg2(x2＋a)，且f(3)＝1，所以f(3)＝lg2(9＋a)＝1，所以a＋9＝2，所以a＝－7.
考点1 对数的运算——基础性
1．计算：lg29×lg34＋2lg510＋lg50.25＝( )
A．0B．2
C．4D．6
D 解析：原式＝2lg23×(2lg32)＋lg5(102×0.25)＝4＋lg525＝4＋2＝6.
2．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(1010≈1.259)( )
A．1.5B．1.2
C．0.8D．0.6
C 解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，
则V＝10-0.1＝10-110＝11010≈11.259≈0.8.
3．若2a＝5b＝10，则1a+1b＝( )
A．－1B．lg 7
C．1D．lg710
C 解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝lg210，b＝lg510，
所以1a+1b＝1lg210+1lg510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
1．解决这类问题首先了解代数式的结构，判断是利用对数运算法则，还是换底公式进行求解，然后利用法则或公式进行运算或化简．
2．有些题目，如第2题、第3题要注意指数式与对数式的互化问题．
考点2 对数函数的图象及应用——综合性
(1)在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝lgbx的图象如图，则下列关系正确的是( )
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．f1xg(1)＞0(x＞0)
D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0
D 解析：由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故选项A，B不正确；又g(1)＝0，故选项C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故选项D正确．
(2)当0＜x≤12时，4x＜lgax，则实数a的取值范围是( )
A．0，22B．22，1
C．(1，2)D．(√2，2)
B 解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝lgax的大致图象如图．
由题意可知只需满足lga12＞412，解得a＞22，所以22＜a＜1.故选B.
1．将本例(2)中“4x＜lgax”变为“4x＝lgax有解”，则实数a的取值范围为_________．
0，22 解析：若方程4x＝lgax在0，12上有解，则函数y＝4x与函数y＝lgax的图象在0，12上有交点．
由图象可知0＜a＜1，lga12≤2，解得0＜a≤22，即a的取值范围为0，22.
2．若本例(2)变为：已知不等式x2－lgax