2024届高考数学一轮复习第2章第7节函数的图象学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第2章第7节函数的图象学案，共19页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
一、教材概念·结论·性质重现
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)．
最后：描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)函数图象平移变换八字方针
①“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
(2)对称变换
①f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称．
②f(x)与－f(x)的图象关于x轴对称．
(3)翻折变换
①|f(x)|的图象是将f(x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变．
②f(|x|)的图象是将f(x)的图象中x轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧．
(4)关于两个函数图象对称的三个重要结论
①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
③若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称．
(6)函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
②函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．
③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．( × )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( × )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
( √ )
2．函数f(x)＝x＋1x的图象关于( )
A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
C 解析：因为f(x)是奇函数，所以该函数的图象关于原点对称．
3．函数y＝－ex的图象( )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
D 解析：由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
4．若图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )
B 解析：由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的越来越慢，结合选项可知选B.
5．若函数f(x)＝ax+b，x＜-1，lnx+a，x≥-1的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－12B．－54
C．－1D．－2
C 解析：由图象可得－a＋b＝3，ln (－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x+5，x＜-1，lnx+2，x≥-1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.故选C.
考点1 作函数的图象——基础性
分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x+2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝lgx，x≥1， -lgx，0(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位长度．图象如图(2)所示．
(3)y＝x2-2x-1，x≥0，x2+2x-1，x<0.图象如图(3)所示．
解决这类问题要优先考虑直接法，以及由函数解析式直接得出函数图象(一般都是我们熟悉的基本初等函数)，或者利用图象变换(如平移、翻折、对称)得出函数图象的方法．
考点2 判断函数的图象——综合性
考向1 由函数的解析式判断图象
(1)函数f(x)＝2csx-x2ex在[－π，π]上的图象大致为( )
A 解析：因为f(－x)＝2cs-x--x2ex＝2csx-x2ex＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，排除C.
又因为fπ2＝－π24eπ2<0，f(π)＝－2+π2eπ>－2+π2e3>－1，
所以排除BD.故选A.
(2)设函数f(x)＝x cs x－sin x的图象上的点(x0，y0)处的切线的斜率为k.若k＝g(x0)，则函数g(x)的大致图象为( )
B 解析：由f(x)＝x cs x－sin x求导得f′(x)＝cs x－x sin x－cs x＝－x sin x，
于是得g(x)＝－x sin x，显然g(－x)＝－(－x)sin (－x)＝g(x)，即函数k＝g(x)是偶函数，A，D选项不满足；
当x0＝π6时，k＝－π12<0，显然C不正确，B正确．故选B.
由函数的解析式判断函数图象的技巧
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象.
考向2 由动点探究函数图象
在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
B 解析：依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合．
借助动点探究函数图象的两种方法
(1)根据已知条件求出函数解析式，然后判断函数的图象．
(2)采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置考查图象的变化特征，从而作出选择．
1．已知图(1)中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是( )
A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
C 解析：对于选项A，x＞0时，图象应与图①中x＞0时的图象一致，所以选项A错误；因为图(2)是一个偶函数的图象，因此排除选项B；对于选项C，x＞0时，图象应与图①中x＜0时的图象一致，又因为y＝f(－|x|) 是偶函数，所以该选项正确；对于选项D，由y＝－f(－|x|)可知，该函数的图象应将选项C中的函数图象沿x轴旋转180°得到，所以选项D错误．
2．(2021·天津卷)函数y＝lnxx2+2的图象大致为( )

A B

C D
B 解析：设y＝f(x)＝lnxx2+2，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝ln-x-x2+2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除AC；
当x∈(0，1)时，ln |x|<0，x2＋2>0，所以f(x)<0，排除D.故选B.
3．(2022·河北高三模拟)为了得到函数y＝lg2x-1 的图象，可将函数y＝lg2x的图象上所有的点( )
A．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
A 解析：y＝lg2x-1＝lg2x－112＝12lg2(x－1)，由y＝lg2x图象的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y＝12lg2x的图象，再向右平移1个单位长度，可得y＝12lg2(x－1)的图象，也即y＝lg2x-1的图象．故选A.
考点3 函数图象的应用——应用性
考向1 研究函数的性质
已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减
C．f(x)是奇函数，在区间(－1，1)上单调递减
D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增
C 解析：f(x)＝x2-2x，x≥0，-x2-2x，x<0，画出函数f(x)的图象，如图．
利用函数的图象研究函数的性质
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
考向2 解不等式
已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示．若不等式－21 解析：由图象可知不等式－2当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
考向3 求参数的取值范围
设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_________．
[－1，＋∞) 解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
在本例中，若将“g(x)＝x－1”改为“g(x)＝x＋1”，结果如何？
[1，＋∞) 解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x＋1的图象，如图，观察图象可知，当且仅当－a≤－1，即a≥1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[1，＋∞)．
与函数相关的不等式问题的求解方法
当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下位置关系问题，从而利用数形结合法求解．
1．下列函数y＝f(x)的图象中，满足f14＞f(3)＞f(2)的只可能是( )
A B C D
D 解析：因为f14＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除AB.在C中，f(3)＞f(2)＝f(0)＞f14，即f14＜f(3)，排除C.故选D.
2．已知函数f(x)＝|x2－1|.若0A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)
C．(1，2)D．(1，2)
C 解析：作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象，如图所示．作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B.由x2－1＝1可得xB＝2，结合函数图象可得b的取值范围是(1, 2)．
3．使lg2(－x)(－1，0) 解析：在同一直角坐标系内作出y＝lg2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．
4．对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，b，a32 解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示．由图象可得，其最小值为32.
课时质量评价(十二)
A组 全考点巩固练
1．(2023·威海月考)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为( )
A．f(x)＝sinxx
B．f(x)＝ex-e-xx
C．f(x)＝|sin x|cs x
D．f(x)＝ln (x2+1－x)＋sin x
A 解析：函数的定义域为{x|x≠0}，故排除选项CD；
又当x＞0时，ex＞e－x，则ex-e-xx＞0，故排除选项B.故选A.
2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cs x在区间-π2，π2的图象大致为( )

A B

C D
A 解析：令f(x)＝(3x－3－x)cs x，x∈-π2，π2，
则f(－x)＝(3－x－3x)cs (－x)＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当x∈0，π2时，3x－3－x>0，cs x>0，所以f(x)>0，排除C.故选A.
3．已知f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点中心对称( )
A．(1，0)B．(－1，0)
C．12，0D．-12，0
C 解析：因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(2x＋1)的图象关于原点成中心对称．而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移12个单位长度得到的，故y＝f(2x)的图象关于点12，0中心对称．
4．(多选题)几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换．在平面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换．以下两个函数f(x)与g(x)，其中g(x)能由f(x)通过平移刚体变换得到的是( )
A．f(x)＝sin x，g(x)＝cs x
B．f(x)＝x2，g(x)＝x2＋2x
C．f(x)＝2x，g(x)＝2x＋1
D．f(x)＝lg2x，g(x)＝lg4x
ABC 解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)＝sin x，g(x)＝cs x＝sin x+π2，即g(x)＝fx+π2，g(x)可以由f(x)通过平移刚体变换得到；
对于B，f(x)＝x2，g(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，即g(x)＝f(x＋1)－1，g(x)可以由f(x)通过平移刚体变换得到；
对于C，f(x)＝2x，g(x)＝2x＋1，即g(x)＝f(x)＋1，g(x)可以由f(x)通过平移刚体变换得到；对于D，f(x)＝lg2x，g(x)＝lg4x＝12lg2x，g(x)不能由f(x)通过平移刚体变换得到．故选ABC.
5．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝lg2f(x)的定义域是_________．
(2，8] 解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝lg2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0的x∈(2，8].
6．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，则h(x)＝_________．
－lg2(x－1) 解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－lg2x，再将其图象右移1个单位长度得到h(x)＝－lg2(x－1)的图象．
7．设函数f(x)＝lnx，x≥1，1-x，x＜1，则f(f(0))＝________；若f(m)＞1，则实数m的取值范围是_________．
0 (－∞，0)∪(e，＋∞) 解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝lnx，x≥1，1-x，x＜1的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)＞1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
8．(2022·许昌模拟)已知函数f(x)＝3-x2，x∈-1，2，x-3，x∈2，5.
(1)在如图所示的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5].
(3)由图象知当x＝2时，fxmin＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
B组 新高考培优练
9．(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋14，g(x)＝sin x，则图象为如图的函数可能是( )
A．y＝f(x)＋g(x)－14B．y＝f(x)－g(x)－14
C．y＝f(x)g(x)D．y＝gxfx
D 解析：对于A，y＝f(x)＋g(x)－14＝x2＋sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，y＝f(x)－g(x)－14＝x2－sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，y＝f(x)g(x)＝x2+14sin x，则y′＝2x sin x＋x2+14cs x，
当x＝π4时，y′＝π2×22+π216+14×22>0，与图象不符，排除C.故选D.
10．将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f(x)能满足条件的是( B )
A．f(x)＝1x+1B．f(x)＝ex-1－e1-x
C．f(x)＝x＋2xD．f(x)＝lg2(x＋1)＋1
11．(多选题)函数f(x)＝ax+bx+c2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0B．c<0
C．b>0D．a<0
BCD 解析：由函数图象可知，当x＝0时，f(0)＝bc2>0，所以b>0；渐近线方程为x＝－c，－c>0，即c<0；当x<0时，由f(x)>0恒成立可知a<0.故选BCD.
12．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＝2x，0≤x≤1，12x+1，x＞1. 若关于x的方程2fx2－af(x)＝0有三个不相等的实数根，则a的取值范围为_________．
(0，2]∪[3，4] 解析：由方程2[f(x)]2－af(x)＝0得f(x)＝0或f(x)＝a2.
因为f(x)是R上的偶函数，f(0)＝0，所以只需当x＞0时，f(x)＝a2有唯一解即可．
如图所示，a2∈(0，1]∪32，2，即a∈(0，2]∪[3，4].
13．设函数f(x)＝1-1x(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)因为f(x)＝1-1x＝1x-1，x∈0，1，1-1x，x∈1，+∞，
故f(x)在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
由0(3)由函数f(x)的图象可知，当014．(2023·临沂质检)若关于x的不等式4ax-1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，求a的取值范围．
解：不等式4ax-1＜3x－4等价于ax-1＜34x－1.
令f(x)＝ax-1，g(x)＝34x－1，
当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件．
当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x≥2时，f(2)≤g(2)，
即a2-1≤34×2－1，解得a≤12，所以a的取值范围是0，12.