2024届高考数学一轮复习第3章第2节第3课时利用导数证明不等式——构造法证明不等式学案

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考点1 移项作差构造函数证明不等式——综合性
已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0，1)处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)求证：当x>0时，x20，
所以g(x)在R上单调递增，
因此，当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，所以x20，f(x)单调递增，
当x∈π3，2π3时，f′(x)0，f(x)单调递增．
(2)证明：注意到f(x＋π)＝sin2(x＋π)·sin[2(x＋π)]＝sin2x sin2x＝f(x)，
故函数f(x)是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：f(0)＝f(π)＝0，
fπ3＝322×32＝338，
f2π3＝322×-32＝－338，
据此可得：f(x)max＝338，f(x)min＝－338，
即|f(x)|≤338.
(3)证明：结合(2)的结论有：sin2x sin22x sin24x·…·sin22nx
＝sin3x sin32x sin34x…sin32nx23
＝[sin x(sin2x sin2x)(sin22x sin4x)·…·
sin22n-1xsin2nxsin22nx23
≤sinx×338×338×…×338×sin22nx23
≤338n23＝34n.
对于一些不等式，直接构造函数不易求最值，可以利用条件及不等式的性质，适当放缩后，再构造函数进行证明．常见放缩不等式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．
(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号．
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋12x2 ，当且仅当x＝0时取等号．
(4)当x≥0时，ex≥e2x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号．
(5)x-1x≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号．
(6)当x≥1时，2x-1x+1≤ln x≤x-1x，当且仅当x＝1时取等号．
已知函数f(x)＝a ln (x－1)＋2x-1，其中a是正实数．证明：当x>2时，f(x)0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)2时，ln (x－1)0，所以a ln (x－1)2，所以h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(2，＋∞)上单调递增，
所以h(x)>h(2)＝e2－4>0，所以当x>2时，f(x)0)，
即证(x－2)ex-2＋2e＞lnxx(x>0)．
令g(x)＝(x－2)ex-2＋2e，g′(x)＝(x－1)ex-2，
于是g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1e(x＝1时取等号)．
再令h(x)＝lnxx，则h′(x)＝1-lnxx2，
于是h(x)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，所以h(x)≤h(e)＝1e(x＝e时取等号)．
又g(x)与h(x)等于1e时x的取值不同，
所以g(x)＞h(x)，即f(x)＞0.
课时质量评价(十八)
A组 全考点巩固练
1．已知函数f(x)＝ax－lnxx，a∈R.
(1)设a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)证明：当a≥12e时，f(x)≥0.
(1)解：当a＝1时，f(x)＝x－lnxx，f′(x)＝1－1-lnxx2，
f′(e)＝1，f(e)＝e－1e，
则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为x－y－1e＝0.
(2)证明：当a≥12e时，f(x)≥12ex－lnxx.
设g(x)＝12ex－lnxx，g′(x)＝12ex2+lnx-1x2，
设h(x)＝12ex2＋ln x－1，知其在(0，＋∞)上单调递增，且h(e)＝0，
当0